10 enero 2020

Gigapiano

Sucesiones melodiosas


A partir del desafío matemático Un piano gigantesco presentado por José Garay de Pablo, catedrático jubilado de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza y publicado por “El País” hemos elaborado esta actividad para desarrollar el pensamiento matemático y trabajar la resolución de problemas con contenidos de sucesiones y progresiones.

Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos solo las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla (Mi) y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas (Sol y La) y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas (Do, Re y Mi) y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1.- ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2.- ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?


Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000.
  

Relacionando nuestro piano con las sucesiones y progresiones


Supongamos que todas las teclas de nuestro gigapiano están numeradas, tanto las que tocamos como las que no. El primer Do (que tocamos) es la tecla 1, la siguiente, un Re (que también tocamos) es la 2, la siguiente, un Mi (que no tocamos) es la 3, y así sucesivamente:

Considerando la sucesión de los números de las teclas que vamos tocando:

3.- ¿Qué número tiene la séptima tecla que pulsamos?

4.- ¿Y la octava?¿Y la que tocamos en decimocuarto lugar?

5.- Escribe una relación de recurrencia entre dos términos consecutivos de la sucesión (tn y tn-1)

6.- Escribe la expresión del término general de la sucesión (tn)

7.- ¿Cuántas teclas debe tener, como mínimo, el piano?

  
“Como todo el mundo sabe” una de las características de un sonido es su frecuencia (de oscilación de la onda que lo provoca), que en música se denomina altura. Cada nota musical tiene su altura que la identifica como más grave (menor frecuencia) o más aguda (mayor frecuencia). Como mencionamos anteriormente, al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re… aumentando la frecuencia de las notas. La frecuencia del segundo Do es el doble que la frecuencia del primer Do. En realidad se sigue una regla más general, la frecuencia de una nota cualquiera es el doble de la frecuencia de la anterior nota con el mismo nombre.

La primera tecla que tocamos en nuestro gigapiano, el primer Do que tenemos por la izquierda, tiene una frecuencia de 32,7032 Hz.

8.- ¿Cuál es la frecuencia del segundo Do que pulsamos?

9.- ¿Y la del tercero (tercer Do que pulsamos)?

10.- ¿Y la del último Do que pulsamos?
  

Reformulado el problema

Nuestro dilema musical convertido en una cuestión amorosa:

El desesperado matemático Desiderio, incapaz de poner fin a su relación con la inaccesible y deseada Euterpe, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le hace. La visita un lunes. Tras (casi) un día sin verla, la visita el martes. Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo. Tras cuatro más, la visita el jueves, y así sucesivamente. Finalmente llega a visitarla en 7.000 ocasiones.


1.- ¿Cuántas veces la habrá visitado en lunes?

2.- ¿Habrá algún día de la semana en que no la haya visitado?


Descarga de documentos de la actividad:


- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

- Puedes descargar un programa "Octave" que genera un archivo con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar el archivo generado por el anterior programa "Octave" con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar las soluciones a los ejercicios de esta actividad aquí.