01 junio 2019

”bozeto” de exopto

Un vino pitagórico


Las etiquetas de las botellas de vino intentan ser impactantes para llamar la atención del pretendido comprador y tratar de permanecer en su memoria. También tratan de transmitir un mensaje, en ocasiones conceptual. Todas tienen contenido matemático relacionado con los números: volumen contenido, grado alcohólico, cosecha, porcentajes de las distintas variedades de uva empleadas en la elaboración, código de barras… Pero algunas destacan especialmente al contemplarlas con mirada matemática.

Es el caso de la etiqueta de bozetode Bodegas Exopto de Laguardia,  muy lograda estéticamente. Según la propia bodega, “bozeto” es su primer proyecto, en el que presentan las grandes líneas de toda su gama de vinos. Para expresar la marca se ha elegido un decágono regular inscrito en una circunferencia en el que se han dibujado todas sus diagonales usando distintos trazos y colores. Una imagen de gran belleza por su complejidad, estructura ordenada y simetría. Y muchas matemáticas.


Apreciada con sensibilidad y emulando el estilo de las “notas de cata” de los vinos, podríamos decir que 
“la imagen presenta una aritmética sofisticada alcanzando la combinatoria. Una geometría ordenada basada en la semejanza y la proporcionalidad, en la que aparece con abundancia la divina proporción. Y un álgebra que estructura armoniosamente la complejidad de todos los componentes. De final largo y sabroso. Muy elegante.”

Entre las numerosas proporciones áureas que se pueden encontrar en la figura de la etiqueta destacan tres que merecen especial atención:
  1. El radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono regular y su lado están en proporción áurea (r = φ·l).
  2. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su tercero consecutivo  (que es el lado del decágono regular estrellado) y el radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono están en proporción áurea (d = φ·r).
  3. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su cuarto consecutivo  (que es el lado del pentágono regular estrellado) y la diagonal del decágono definida por un vértice y su segundo consecutivo  (que es el lado del pentágono regular convexo) están en proporción áurea (d’ = φ·l’).


El pentágono regular estrellado, denominado “pentalfa”, es una figura a la que, en distintas culturas y desde los tiempos más remotos hasta la actualidad, se ha atribuido un fuerte poder simbólico y místico. En particular, fue usado por los pitagóricos como distintivo identificador de su secta.


La imagen de la etiqueta puede ser interpretada desde la teoría matemática de grafos, englobando conceptos de geometría, aritmética, álgebra, topología y combinatoria. Se trata del “grafo completo de orden 10” (K10), La teoría de grafos es un área de las Matemáticas que trata de abstraer una idea tan general como es la de “relaciones entre elementos”. Por ello encuentra aplicaciones prácticas en multitud de contextos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.

Desde un punto de vista algebraico, la imagen representa al “grupo cíclico de orden 10”  (Z10). La importancia de los grupos cíclicos está en que son los "bloques elementales" con los que se construye una clase muy amplia de grupos. El concepto de “grupo” es clave en las Matemáticas, tanto puras como aplicadas. Encuentran utilización práctica en campos muy diversos que se extienden por todas las ciencias, naturales y sociales, y llegan hasta el arte.



Actividades

Identificar proporciones áureas en la etiqueta de “bozeto” es una magnífica forma de aprender geometría y de ejercitar el razonamiento lógico y el pensamiento matemático. Acepta el reto e intenta demostrar las anteriores proposiciones sobre proporciones áureas.


Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.


También es una actividad interesante calcular con algún razonamiento el número de segmentos que hay en la etiqueta uniendo los diez vértices.

Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

desmos en ESO y Bachillerato


desmos es una herramienta gratuita, sencilla y muy potente, creada para representar gráficamente funciones de forma interactiva e instantánea. Desde su lanzamiento está en continua evolución y va incorporando nuevas funcionalidades. 

Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la curiosidad y la intuición, y aprender haciendo

Estos son algunos de los escenarios desmos con los que trabajamos en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia.


Sucesiones

Sucesiones I

Representación gráfica de una sucesión de números reales.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), tablas.

Progresiones

Progresiones aritméticas vs geométricas.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables.
 

Funciones - Definición y características

Móvil lanzado desde una muralla

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, carpetas.

Tipos de crecimiento: lineal, cuadrático y exponencial

Elementos utilizados: Funciones, tablas, deslizadores, carpetas.

Función definida a trozos

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio.

Funciones a trozos - 2 formas de definirlas

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio. Sintaxis condicional.

Funciones a trozos – Discontinuidades

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas.

Transformaciones elementales de funciones

Elementos utilizados: Funciones, subíndices, deslizadores, carpetas.

Desplazamiento horizontal de una función

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, carpetas.
 

Funciones - Ejercicios

Ofertas editoriales a un escritor

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas editoriales a un escritor

Oferta de telefonía

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas de telefonía

Cantidad de medicamento que permanece en el cuerpo

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Medicamento

Salarios de agentes comerciales

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Salarios
 

Derivadas

Concepto de derivada de una función

Concepto de derivada como "Tasa de Variación Instantánea".

Elementos utilizados: Funciones, puntos manejados con deslizadores, etiquetas dinámicas, carpetas, función para usar cierto número de cifras significativas.

Derivabilidad de función definida a trozos

Ejercicio de "Matemáticas II. Ed Anaya. Pág. 243. Ej. 7.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, función derivada predefinida.

Derivada de una función implícita

Procedimiento para hallar la tangente a una curva en el punto de abscisa dada.

Elementos utilizados: Funciones implícitas, manejadores, puntos manejados con deslizadores, carpetas, notas.

Optimización de funciones: EAU UPV - Jun 2018 - A2

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones, tablas.
 

Integrales

Integral definida – Calculadora

Cálculo y visualización de la integral definida.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…

Integral definida - Área entre dos curvas

Cálculo y visualización del área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Estadística y probabilidad

Regresión Mates – Física

Distribuciones bidimensionales.

Elementos utilizados: Complicado. Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, sumatorios, representación función discreta…

Distribución binomial de probabilidad

Cálculo y representación como histograma de la función de densidad de una distribución de probabilidad binomial. Aproximación por una normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, representación función discreta, histograma…

Distribución normal de probabilidad

Cálculo y representación de la probabilidad de un intervalo en una distribución de probabilidad normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Programación lineal

Camioneros y porteadores

Obtención del máximo en un contexto de variables discretas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Abonado parcela

Calcular el mínimo en un caso de variables continuas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Programación lineal: EAU UPV - Jun 2018 - A1

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
 

Modelización

Crecimiento exponencial - Progresión geométrica vs. Función exponencial

Modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.
Progresiones geométricas como modelo discreto y funciones exponenciales como modelo continuo.

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables, representación función discreta, histograma, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…

Datación por radiocarbono

Desintegración C14 - Calculadora del número de átomos restante - Calculadora de la edad radiológica.

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas, tablas.

Ley de Boyle-Mariotte

Ajuste de datos experimentales de volumen y presión de un gas.

Elementos utilizados: Deslizadores, tablas, ajuste de datos, regresión.