28 mayo 2020

Progresión geométrica vs. Función exponencial

Modelización discreta vs continua


Comparto aquí una actividad desarrollada con el alumnado de Matemáticas I y de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II del “IES Samaniego –Laguardia BHI”. En ella se manejan distintos contenidos como magnitudes discretas y continuas, crecimiento, progresiones geométricas, funciones exponenciales e integral definida. Se trabaja la modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.

En cierto vertedero de residuos se ha observado que cada año los camiones del Consorcio depositan un 5% más de basura que el año anterior. Como la basura no se retira, se va acumulando.
(a) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura depositada cada año por los camiones del Consorcio en el vertedero.
(b) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n años.
(c) Si inicialmente el vertedero estaba vacío y al cabo de un año contenía 1.000 toneladas de basura, calcular cuántos años han de pasar para que la basura acumulada supere las 90.000 toneladas.



Para acceder a un escenario desmos asociado con la actividad haz clic aquí

Puede servir de apoyo en las explicaciones al alumnado durante la realización de la actividad. También puede plantearse como parte de la actividad construir un escenario semejante.


Se trata de describir en términos matemáticos la situación planteada explorando dos opciones:
  • La primera, basada en simples razonamientos aritméticos, es un modelo discreto que utiliza sucesiones, concretamente progresiones geométricas.
  • La segunda, basada en conceptos analíticos más complejos, es un modelo continuo que utiliza funciones, en concreto la función exponencial.

Descarga de documentos relacionados:


- Documentación de los razonamientos y cálculos de esta actividad, en formato PDF, aquí.
- El mismo documento en formato LaTeX, aquí.

09 abril 2020

Planilandia - Evasión en tiempos de confinamiento

Hasta la cuarta dimensión y más allá...sin salir de casa ;-) 😉


“Pero vivo con la esperanza de que estas memorias…
 puedan impulsar la aparición de una raza de rebeldes
que se nieguen a estar confinados en una dimensionalidad limitada”

A. Square

La novela “Planilandia” puede ser considerada como una obra de literatura científica fantástica escrita en forma de relato de aventuras. Como bien indica el juego de palabras que la subtitula, se trata de "una novela de muchas dimensiones" por su temática y por las múltiples interpretaciones que inspira su lectura. No daré más pistas, salvo que fue publicada en 1884 por el profesor y teólogo inglés Edwin A. Abbott (1838-1926) y que desde entonces se ha reeditado ininterrumpidamente en numerosos idiomas.

"Empieza a leerla y caerás bajo su hechizo" declara incitante Banesh Hoffmann en la introducción de la novela. Así fue en mi caso, por lo que recomiendo con entusiasmo su amena lectura. Seguro que es una actividad placentera e interesante para estos tiempos de “confitamiento”.

Para quien no tenga referencias de “Planilandia”,  sugiero un acercamiento directo; sin buscar previamente información sobre ella. Puede ser una experiencia sorprendente disfrutar con su lectura, reflexionar y sacar conclusiones desde los propios conocimientos y valores.

La novela ha servido de base para la realización de varios largometrajes. La película de animación Flatland, realizada en 2007 por Ladd Ehlinger con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater, se ajusta en gran medida a la narración de Abbott y es fácilmente localizable en la red en su versión original en inglés con subtítulos en castellano.

Como ampliación a la lectura directa de la novela, es especialmente reveladora  la versión “The annotated Flatland. A romance of many dimensions”, anotada por el matemático y reconocido divulgador inglés Ian Stewart. Además de una introducción que contextualiza la novela con información sobre el autor y la época, aporta muchos datos en forma de comentarios  y referencias a lo largo de toda la obra.


Para saber más:

- “Una visita a Planilanda. Juan Núñez Valdés y Manuel Ponce Escudero. Revista SUMA nº 41. Noviembre 2002. Impresiones y reflexiones personales de los autores sobre el mundo de “Planilandia”.
https://revistasuma.es/IMG/pdf/41/103-112.pdf
“Focus on...Flatland”. Secondary Magazine. Issue 65. National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics (NCETM). Guía didáctica, en inglés, que propone actividades y recopila recursos.
https://www.ncetm.org.uk/resources/26210

- Edición de “Flatland” en el Proyecto Gutenberg (en inglés).
http://www.gutenberg.org/ebooks/201

Flatland. Película de animación basada en la novela, realizada por Ladd Ehlinger, con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater. Versión original en inglés con subtítulos en castellano.
https://youtu.be/OgiO32MDq3k

10 enero 2020

Gigapiano

Sucesiones melodiosas


A partir del desafío matemático Un piano gigantesco presentado por José Garay de Pablo, catedrático jubilado de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza y publicado por “El País” hemos elaborado esta actividad para desarrollar el pensamiento matemático y trabajar la resolución de problemas con contenidos de sucesiones y progresiones.

Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos solo las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla (Mi) y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas (Sol y La) y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas (Do, Re y Mi) y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1.- ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2.- ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?


Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000.
  

Relacionando nuestro piano con las sucesiones y progresiones


Supongamos que todas las teclas de nuestro gigapiano están numeradas, tanto las que tocamos como las que no. El primer Do (que tocamos) es la tecla 1, la siguiente, un Re (que también tocamos) es la 2, la siguiente, un Mi (que no tocamos) es la 3, y así sucesivamente:

Considerando la sucesión de los números de las teclas que vamos tocando:

3.- ¿Qué número tiene la séptima tecla que pulsamos?

4.- ¿Y la octava?¿Y la que tocamos en decimocuarto lugar?

5.- Escribe una relación de recurrencia entre dos términos consecutivos de la sucesión (tn y tn-1)

6.- Escribe la expresión del término general de la sucesión (tn)

7.- ¿Cuántas teclas debe tener, como mínimo, el piano?

  
“Como todo el mundo sabe” una de las características de un sonido es su frecuencia (de oscilación de la onda que lo provoca), que en música se denomina altura. Cada nota musical tiene su altura que la identifica como más grave (menor frecuencia) o más aguda (mayor frecuencia). Como mencionamos anteriormente, al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re… aumentando la frecuencia de las notas. La frecuencia del segundo Do es el doble que la frecuencia del primer Do. En realidad se sigue una regla más general, la frecuencia de una nota cualquiera es el doble de la frecuencia de la anterior nota con el mismo nombre.

La primera tecla que tocamos en nuestro gigapiano, el primer Do que tenemos por la izquierda, tiene una frecuencia de 32,7032 Hz.

8.- ¿Cuál es la frecuencia del segundo Do que pulsamos?

9.- ¿Y la del tercero (tercer Do que pulsamos)?

10.- ¿Y la del último Do que pulsamos?
  

Reformulado el problema

Nuestro dilema musical convertido en una cuestión amorosa:

El desesperado matemático Desiderio, incapaz de poner fin a su relación con la inaccesible y deseada Euterpe, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le hace. La visita un lunes. Tras (casi) un día sin verla, la visita el martes. Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo. Tras cuatro más, la visita el jueves, y así sucesivamente. Finalmente llega a visitarla en 7.000 ocasiones.


1.- ¿Cuántas veces la habrá visitado en lunes?

2.- ¿Habrá algún día de la semana en que no la haya visitado?


Descarga de documentos de la actividad:


- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

- Puedes descargar un programa "Octave" que genera un archivo con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar el archivo generado por el anterior programa "Octave" con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar las soluciones a los ejercicios de esta actividad aquí.