miércoles, 10 de noviembre de 2021

Relaciones de recurrencia en Desmos

Ejemplos de uso de objetos Desmos de tipo "regla de actualización" y "contador"

 
Lo que hace algún tiempo fueron características "poco documentadas" de Desmos, como objetos de los tipos "simulaciones" o "clicables", desde agosto de 2021 están soportadas oficialmente, quedando integradas en lo que Desmos ha denominado "Actions".
 
"Actions" proporcionan en Desmos una forma de reaccionar ante eventos, como clics o lapsos de tiempo. Un objeto tipo "Actions" se compone de una o más reglas de actualización, cada una de las cuales especifica un nuevo valor para una variable, dependiendo de un evento específico dentro de la lista de expresiones o en el área de representación gráfica.
 


Relaciones de recurrencia

Una de las aplicaciones de "Actions" más elementales, y de implementación muy sencilla, es utilizar reglas de actualización para generar sucesiones numéricas definidas por relaciones de recurrencia.
 
Por ejemplo este escenario que genera la sucesión de Fibonnaci. O este otro que calcula el número e como límite de los términos de una sucesión y como límite de los términos de una serie (suma de los términos de una sucesión), comparando ambas formas.
 
También se pueden utilizar reglas de actualización para resolver algunos tipos sencillos de ecuaciones diferenciales aplicando métodos numéricos como el de Euler. Por ejemplo en esta simulación del modelo epidemiológico SIR de propagación de una epidemia.  

Para saber +:

- Desmos Help Center > Graphing Calculator > Advanced Features > Actions.

domingo, 31 de octubre de 2021

Deconstruyendo el 57

Un primo no primo que da nombre a un vino excelente

Si a un matemático de los "cansinos" le pides que descomponga el número 57, muy probablemente, hará esto:


Si se lo pides a un diseñador gráfico es posible que el resultado sea éste:


 
Es la forma alternativa de factorizar el número 57 desde una mirada artística que ha sido utilizada como elegante imagen gráfica de un vino de Rioja Alavesa. 

Campillo 57 Gran Reserva 

El vino "Campillo 57 Gran Reserva" debe su nombre al año 1957. Con él "Bodegas Campillo", de Laguardia, quiere homenajear a la 4ª generación al frente de la bodega, el primero de cuyos miembros, José Miguel Martínez Zabala, nació en ese año. Vino, por cierto, galardonado el pasado agosto con el "Premio Alimentos de España al Mejor Vino 2021" por el Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación.

Alexander Grothendieck

Casualmente 57 es el número con el que la comunidad matemática recuerda a Alexander Grothendieck, uno de los matemáticos más brillantes e influyentes del siglo XX. Consiguió destacados logros en la unificación de la Matemática con importantes aportaciones en distintas áreas. En 1966 fue galardonado con la Medalla Fields, una de las mayores distinciones matemáticas a nivel mundial, pero por razones políticas se negó a acudir a Moscú a recoger su premio. Fue miembro del colectivo matemático Bourbaki.

Grothendieck nació en 1928 en Berlín, hijo de padres anarquistas y de familia paterna judía, fue apátrida hasta que tomó la nacionalidad francesa en los años 1980. Con una fuerte personalidad nada convencional, pacifista, ecologista y activista radical antisistema, tuvo una vida muy agitada y apasionante cuyo relato supera a muchas ficciones de aventuras. Durante sus últimos 20 años de vida se aisló por completo voluntariamente. Falleció en 2014, en Saint-Girons, Ariège, Francia.

El primo de Grothendieck

Los matemáticos clasificamos los números enteros mayores que uno en dos categorías: primos y compuestos. Un número es primo si no se puede descomponer en factores. Dicho en forma gráfica e intuitiva si "está hecho de una pieza que no se puede desmontar en piececillas más pequeñas". Por ejemplo 5 es primo y 6 no lo es porque 6 = 2 x 3. Los números primos son uno de los conceptos clave de las Matemáticas; tan sencillo en su definición, que a todos se nos enseña en la escuela; y con una profundidad que llega a las investigaciones matemáticas actuales más avanzadas y a problemas pendientes de resolución.

¿Puede un número ser primo y también ser compuesto? Evidentemente, no. Pero, en cierto sentido, podría decirse que 57 lo es. Una anécdota ampliamente extendida entre la comunidad matemática relata cómo después de una conferencia, alguien del público pidió a Grothendieck que fuera menos abstracto, sugiriéndole que debería considerar un número primo particular. “¿Te refieres a un número concreto?” preguntó Grothendieck. La otra persona respondió “Sí, un número primo concreto”. Y Grothendieck contestó accediendo: “De acuerdo, tomemos el 57”.

Evidentemente 57 no es un número primo; se puede descomponer como 3 x 19. Desde entonces a este número se le conoce, en broma, como "el primo de Grothendieck". La anécdota es un magnífico ejemplo de que las Matemáticas son mucho más que cálculos con números; y de que los cálculos no son, ni mucho menos, lo más importante de ellas.

Jugando con las descomposiciones de los números

Afortunadamente la mayoría de la gente de mates no somos de los "cansinos" y nos gusta divertirnos con nuestras "cosillas" dándoles un toque lúdico, eso sí, siempre con mucho orden.



Una muestra de ello podría ser la aplicación "Primitives", desarollada por Alec McEachran, que representa los números enteros en términos de sus factores primos desvelando muy gráficamente su estructura. Esta es la aplicación:
Y estos son algunos de los resultados obtenidos.


También es molona esta "danza" de Stephen Von Worley que visualiza de forma muy dinámica la factorización de cada número en sus factores primos. 


Creo que se trata de creaciones basadas en ideas simples, realizadas de forma brillante, obteniendo excelentes resultados llenos de belleza.


Para saber +:

- Marta Macho Stadler. (2018). Alexandre Grothendieck, el genio rebelde. Cuaderno de Cultura Científica. Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

- Allyn Jackson. (2004). Comme Appelé du Néant-As If Summoned from the Void. The Life of Alexandre Grothendieck (parte 1 y parte 2), Notices AMS, vol. 51, pp 1038-1056 y vol. 51, pp. 1196-1212

- Philippe Douroux. (2012). Alexandre Grothendieck. Un voyage à la poursuite des choses évidentes. Images des Mathématiques. CNRS.


Jugando con los primos en este mismo blog

domingo, 26 de septiembre de 2021

La eficacia de las vacunas

Sobre la engañosa sencillez de los porcentajes


«Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más»

[Una de tantas frases que se dice que Einstein dijo ;-)]

Créditos: Dado Ruvic - REUTERS

¿Qué significa realmente que una vacuna tenga una eficacia del 90%?

Vivimos tiempos acelerados poco propicios para la reflexión sosegada necesaria para entender la complejidad de lo que nos rodea. Tampoco nos llevamos bien con la incertidumbre y nos cuesta comprenderla y enfrentarnos a ella. La pandemia de la COVID-19 nos está dando buenas muestras de ello.

El concepto de eficacia de las vacunas es un claro ejemplo. En él se encierra la complejidad de la estadística para acotar la incertidumbre y predecir el futuro, y también alguna sutileza aritmética en el manejo de los porcentajes.

Reducir la eficacia de una vacuna a un simple número sin darle más sentido que el de “ver quién la tiene más grande” es un gran error que favorece la manipulación de la opinión pública. Una ciudadanía crítica necesita conocimientos matemáticos o al menos interés por llegar a ellos y una mínima preparación que sirva de punto de partida para comprenderlos. 


Para iniciar el curso en las asignaturas de Matemáticas de 1º de Bachiller de Ciencias y 2º de Bachiller de Ciencias Sociales del IES Samaniego - Laguardia BHI, tomando como base el artículo ¿Qué significa realmente que una vacuna tenga una eficacia del 90%?, publicado en The Conversation, hemos desarrollado una actividad sobre la eficacia de las vacunas como instrumento para profundizar en las sutilezas matemáticas de los porcentajes y fomentar el espíritu crítico del alumnado. 


Objetivos de la actividad

  •  Conocer cómo se realizan los ensayos sobre la eficacia de las vacunas para evitar el desarrollo y trasmisión de ciertas enfermedades. Entender la definición y significado de la “eficacia de una vacuna”. 
  • Aplicar porcentajes dotándolos de sentido en un contexto de la vida cotidiana. Incidir en que la diferencia de porcentajes no es un porcentaje (diferencia entre porcentajes y puntos porcentuales).P.e. si en un determinado grupo de personas, en el trascurso de un año, los no fumadores han pasado de un 40% a un 50%, han aumentado 10 puntos porcentuales pero no un 10%. Han aumentado un 25%. 
  • Poner en práctica competencias digitales como: búsqueda y evaluación de la información; identificación de los datos relevantes, y de las relaciones entre ellos; manejo de una herramienta de hoja de cálculo para representar datos, modelizar cómo están relacionados y experimentar con distintos escenarios.
  • Refrescar el manejo de Google Classroom tanto por el alumnado como por el profesorado. 
  • Cultivar el espíritu crítico y el escepticismo ante la información que se ofrece en los medios de comunicación.


Actividad


Materiales

Puedes descargar los archivos relacionados con esta actividad (documentos, hojas de cálculo, formularios…) clicando aquí.


lunes, 29 de marzo de 2021

Materiales para formación en Desmos

Comparto el material utilizado en la formación en Desmos que hemos realizado en el IES Samaniego –Laguardia BHI como parte del proyecto Sare_Hezkuntza Gelan de transformación educativa a través de la utilización de metodologías activas y de tecnologías y recursos digitales.

Desmos encaja perfectamente en este planteamiento de enseñanza-aprendizaje al permitir al alumnado manipular y experimentar y así desarrollar su curiosidad e intuición, para aprender haciendo.

El objetivo de la formación ha sido conocer las posibilidades didácticas ofrecidas por el conjunto de herramientas Desmos.  Se ha centrado principalmente en el desarrollo de escenarios con la “Calculadora Gráfica” y la exploración de su uso en enseñanza secundaria y bachillerato.  También dedicamos una sesión a una visión panorámica de las “Actividades en el Aula” y las herramientas relacionadas “Activity Builder” y “Desmos Classes”. 

Los materiales están organizados en una presentación con un esquema de los contenidos tratados y multitud de enlaces a recursos de distintos tipos:

  • Materiales para el aprendizaje de Desmos: guías, tutoriales, ejemplos, ejercicios, foros en redes sociales… 
  • Repositorios de escenarios y actividades utilizables con el alumnado en la enseñanza-aprendizaje de matemáticas y física.

El trabajo de cada una de las sesiones prácticas queda recogido en su correspondiente “hoja” de la calculadora gráfica con ejemplos de uso de los elementos y funcionalidades Desmos tratados, y enlaces a construcciones analizadas y a ejercicios planteados.

Espero que estos materiales sean útiles a quienes puedan interesar. Por supuesto, se agradece cualquier sugerencia, comentario o advertencia de errores.


lunes, 8 de febrero de 2021

Matemáticas contra la viruela

Primer modelo matemático de la transmisión de una enfermedad infecciosa.


“Simplemente deseo que,
en un asunto que tanto afecta al bienestar de la humanidad,
no se tome ninguna decisión sin todo el conocimiento
que un pequeño análisis y cálculo pueden proporcionar”

D. Bernoulli (1760)

Tal día como hoy, en 1700, nació Daniel Bernoulli en Groninga (Países Bajos). En realidad su fecha de nacimiento fue el 29 de enero ya que en la zona protestante de Holanda el calendario juliano siguió aplicándose hasta el 30 de junio de ese año. 

Perteneció al linaje matemático de los Bernoulli que formaron parte de la élite de los hombres de ciencia europeos en la segunda mitad del s. XVII y todo el s. XVIII, época de vertiginoso desarrollo económico, científico y tecnológico. Médico, matemático y físico, aunó el saber teórico y sus aplicaciones prácticas. 

Por sus características personales y por la época en la que vivió, gran parte de los trabajos científicos de Daniel Bernoulli, como sus aportaciones a la dinámica de fluidos o al problema de la cuerda vibrante, son ejemplos paradigmáticos de modelización matemática; identificar un problema, descubrir su esencia matemática, encontrar la forma más simple de solucionarlo utilizando las herramientas proporcionadas por las matemáticas, e interpretar los resultados en el contexto del problema. 


«Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir»

Entre sus numerosas e importantes aportaciones científicas elaboró el primer modelo matemático describiendo la transmisión de una enfermedad infecciosa, presentado en  la Real Academia de Ciencias de París en 1760 y publicado en 1766.


Utilizando los datos de población recopilados en 1693 por Halley (conocido especialmente por el estudio del cometa que hoy lleva su nombre)  y estimando los parámetros de incidencia y letalidad del modelo, aplicó el cálculo infinitesimal para cuantificar las muertes producidas por la viruela, en una época en la que era desconocida la causa de dicha enfermedad. Hoy hablaríamos de “minería de datos”.

Calculó el aumento de la esperanza de vida y de las cantidades de personas que alcanzarían ciertas edades en una población no afectada por la viruela y en una sistemáticamente variolizada, teniendo en cuenta los riesgos de la inoculación que se efectuaba en aquella época.

Usó sus resultados para argumentar las ventajas de la variolización con el objetivo de influir a favor de la vacunación contra la viruela de toda la población.


La viruela fue declarada como erradicada a nivel mundial por la OMS en 1980, gracias a las campañas de vacunación, la vigilancia y las medidas de prevención emprendidas para contener los focos epidémicos, así como la mejor información suministrada a las poblaciones afectadas. No puede afirmarse lo mismo de la oposición en los países occidentales desarrollados a la aplicación de vacunas, a pesar de los avances científicos y de la extensión de la educación a toda la población.


Desmos permite experimentar fácilmente con valores de tasas de infección y recuperación/mortalidad distintos a los estimados por Bernoulli.

Para saber más:


- Bernoulli, Daniel. (1766). «Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir». Mémoires de mathématiques et de physique, Académie royale des sciences. París. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3558n/f220.item#

- Harpe, Pierre de la, & Gabriel, Jean-Pierre. (2010). "Daniel Bernoulli, pionnier des modèles mathématiques en médecine" https://images.math.cnrs.fr/Daniel-Bernoulli-pionnier-des-modeles-mathematiques-en-medecine.html

- Blower, S., & Bernoulli, D. (2004). An attempt at a new analysis of the mortality caused by smallpox and of the advantages of inoculation to prevent it. 1766. Reviews in medical virology, 14(5), 275–288. https://doi.org/10.1002/rmv.443

- Halley, E. (1693). An estimate of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the price of annuities upon lives. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 17, No.196, 596-610. https://journals.openedition.org/asterion/docannexe/image/2143/img-1.png

- Dietz, K., & Heesterbeek, J. A. (2002). Daniel Bernoulli's epidemiological model revisited. Mathematical biosciences, 180, 1–21. https://doi.org/10.1016/s0025-5564(02)00122-0

- Mario Castro Ponce, Manuel de León y Antonio Gómez Corral. (2020). Vacunas y matemáticas: lecciones de la viruela. http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2020/04/05/147618

- Condorcet, Nicolas. (1782). Éloge de Daniel Bernoulli. Histoire de l ‘Académie Royale. París. https://www.academie-sciences.fr/pdf/eloges/bernoulli_p82_vol3581.pdf

jueves, 28 de mayo de 2020

Progresión geométrica vs. Función exponencial

Modelización discreta vs continua


Comparto aquí una actividad desarrollada con el alumnado de Matemáticas I y de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II del “IES Samaniego –Laguardia BHI”. En ella se manejan distintos contenidos como magnitudes discretas y continuas, crecimiento, progresiones geométricas, funciones exponenciales e integral definida. Se trabaja la modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.

En cierto vertedero de residuos se ha observado que cada año los camiones del Consorcio depositan un 5% más de basura que el año anterior. Como la basura no se retira, se va acumulando.
(a) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura depositada cada año por los camiones del Consorcio en el vertedero.
(b) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n años.
(c) Si inicialmente el vertedero estaba vacío y al cabo de un año contenía 1.000 toneladas de basura, calcular cuántos años han de pasar para que la basura acumulada supere las 90.000 toneladas.



Para acceder a un escenario desmos asociado con la actividad haz clic aquí

Puede servir de apoyo en las explicaciones al alumnado durante la realización de la actividad. También puede plantearse como parte de la actividad construir un escenario semejante.


Se trata de describir en términos matemáticos la situación planteada explorando dos opciones:
  • La primera, basada en simples razonamientos aritméticos, es un modelo discreto que utiliza sucesiones, concretamente progresiones geométricas.
  • La segunda, basada en conceptos analíticos más complejos, es un modelo continuo que utiliza funciones, en concreto la función exponencial.

Descarga de documentos relacionados:


- Documentación de los razonamientos y cálculos de esta actividad, en formato PDF, aquí.
- El mismo documento en formato LaTeX, aquí.

jueves, 9 de abril de 2020

Planilandia - Evasión en tiempos de confinamiento

Hasta la cuarta dimensión y más allá...sin salir de casa ;-) 😉


“Pero vivo con la esperanza de que estas memorias…
 puedan impulsar la aparición de una raza de rebeldes
que se nieguen a estar confinados en una dimensionalidad limitada”

A. Square

La novela “Planilandia” puede ser considerada como una obra de literatura científica fantástica escrita en forma de relato de aventuras. Como bien indica el juego de palabras que la subtitula, se trata de "una novela de muchas dimensiones" por su temática y por las múltiples interpretaciones que inspira su lectura. No daré más pistas, salvo que fue publicada en 1884 por el profesor y teólogo inglés Edwin A. Abbott (1838-1926) y que desde entonces se ha reeditado ininterrumpidamente en numerosos idiomas.

"Empieza a leerla y caerás bajo su hechizo" declara incitante Banesh Hoffmann en la introducción de la novela. Así fue en mi caso, por lo que recomiendo con entusiasmo su amena lectura. Seguro que es una actividad placentera e interesante para estos tiempos de “confitamiento”.

Para quien no tenga referencias de “Planilandia”,  sugiero un acercamiento directo; sin buscar previamente información sobre ella. Puede ser una experiencia sorprendente disfrutar con su lectura, reflexionar y sacar conclusiones desde los propios conocimientos y valores.

La novela ha servido de base para la realización de varios largometrajes. La película de animación Flatland, realizada en 2007 por Ladd Ehlinger con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater, se ajusta en gran medida a la narración de Abbott y es fácilmente localizable en la red en su versión original en inglés con subtítulos en castellano.

Como ampliación a la lectura directa de la novela, es especialmente reveladora  la versión “The annotated Flatland. A romance of many dimensions”, anotada por el matemático y reconocido divulgador inglés Ian Stewart. Además de una introducción que contextualiza la novela con información sobre el autor y la época, aporta muchos datos en forma de comentarios  y referencias a lo largo de toda la obra.


Para saber más:

- “Una visita a Planilanda. Juan Núñez Valdés y Manuel Ponce Escudero. Revista SUMA nº 41. Noviembre 2002. Impresiones y reflexiones personales de los autores sobre el mundo de “Planilandia”.
https://revistasuma.es/IMG/pdf/41/103-112.pdf
“Focus on...Flatland”. Secondary Magazine. Issue 65. National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics (NCETM). Guía didáctica, en inglés, que propone actividades y recopila recursos.
https://www.ncetm.org.uk/resources/26210

- Edición de “Flatland” en el Proyecto Gutenberg (en inglés).
http://www.gutenberg.org/ebooks/201

Flatland. Película de animación basada en la novela, realizada por Ladd Ehlinger, con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater. Versión original en inglés con subtítulos en castellano.
https://youtu.be/OgiO32MDq3k