¡Feliz y afortunado 2019!

Sobre lo que los matemáticos consideran "números de la suerte"

2019 es un número "feliz" y "de la suerte". En inglés suena más rotundo, "happy and lucky".

Los matemáticos somos gente ordenada... y a veces también juguetona. Nos gusta organizar y poner nombre a nuestras cosas. Por eso utilizamos numerosas clasificaciones de los números. En algunas aparecen conceptos matemáticos muy relevantes como los números primos. Otras pueden parecer un puro divertimento. Siempre es posibles utilizarlas para ejercitar el cálculo y lo que es más interesante, para practicar el razonamiento matemático y estimular la curiosidad y la capacidad de hacerse preguntas, de generalizar, de relacionar... 

Ya se ha tratado el tema de los números felices en otros artículos de este blog, como la felicitación del año 2014 o el monólogo "La felicidad del número 7" .

La comprobación de que 2019 es un número feliz es sencilla, basta aplicar el método "SES" (Separar-Elevar-Sumar):

2019 -> 4 + 0 + 1 + 81 = 86 -> 64 + 36 = 100 -> 1 + 0 + 0 = 1 -> 1 -> 1 ...

2019 además de feliz, también es un número "de la suerte".

"Lucky numbers"

La traducción al castellano de "lucky" es problemática porque puede significar tanto "que trae suerte (de la suerte, propicio)" como "que tiene suerte (afortunado)". En la literatura matemática tradicionalmente se ha traducido por "números de la suerte". Los "números afortunados" son otro tipo de números que se corresponden con los "Fortunate numbers" en inglés, que toman su nombre de Reo F. Fortune.

Los números de la suerte aparecen de un "cribado" de los números naturales (los de contar, 1,2,3...) de forma análoga a como con la criba de Eratóstenes se obtienen los números primos.

Para obtener una lista de números de la suerte hay que aplicar el método de cribado propuesto por los científicos Ulam, Metropolis, Lazarus y Gardiner en un artículo publicado en 1955. Ellos mismos sugirieron la denominación de "Criba de Flavio Josefo" para este proceso.

LuckySieve.gif en Wikipedia

Escribir una lista de números naturales (1,2,3...) y seguir los siguientes pasos:

• Tachar el segundo número de cada grupo de dos: 2, 4, 6, 8..., dejando solo los impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... 
• Como el segundo número que no se ha tachado es 3, de los que quedan, hay que eliminar el tercer número de cada grupo de tres. Esto tachará 5, 11, 17, 23... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25... 
• Como el tercer número que sobrevive es 7, hay que tachar el séptimo número de cada grupo de siete: 19, 39... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31...
• Y continuar siguiendo la misma regla.

Los cuatro científicos llamaron "lucky numbers" a la secuencia de números "supervivientes".

Algo que hace interesantes a este tipo de números es que comparten ciertas propiedades con los números primos. Por ejemplo, que son infinitos; o las proporciones en las que se distribuyen entre todos los números; o la distancia entre uno y el siguiente. Uno de los problemas más antiguos pendientes de resolver en Matemáticas es la "Conjetura de Goldbach", que hace referencia a la posibilidad de escribir todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos. Existe una conjetura semejante referida a números de la suerte, también pendiente de resolver: "Todo número par es la suma de dos números de la suerte".

La felicidad de un número depende de sus cifras, y por tanto, del sistema de representación utilizado. Por ejemplo, en el sistema binario todos los números son felices. Contrariamente, ser afortunado es algo intrínseco al número; no se puede alterar cambiando de sistema de representación. Me parece una bella alegoría.

¡Mis mejores deseos para 2019!

Ya que ser afortunado forma parte de lo aleatorio de la vida, ¡que seamos capaces de hacer todo lo posible para ser felices!


Para saber más:

Gardiner, V.; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. "On certain sequences of integers defined by sieves". Math. Mag. 29, 117-122 (1956). 

Definición de "número de la suerte" en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.

Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS).
- Artículo sobre los números de la suerte.
- Lista de los 200000 primeros números de la suerte.
- Artículo sobre los números que son "felices" y "de la suerte": "Happy-go-Lucky numbers: numbers that are both Happy (A007770) and Lucky (A000959)". 
- Lista de los 10000 primeros números felices y de la suerte.

La felicidad del número 7

Sobre números felices e infelices

¿Es posible hablar de la felicidad de los números? ¿Hay números felices y números infelices? ¡¡Sí!!

El concepto de número feliz es una creación matemática que con una definición muy sencilla es suficientemente rica como para que merezca la pena ser estudiada; tiene la posibilidad de ser abordada con distintos niveles de dificultad, que van desde la aritmética más básica hasta algunas cuestiones abiertas en Teoría de Números.

La felicidad de los números puede considerarse como un juguete para pasar un rato de forma entretenida. También como un pequeño laboratorio donde experimentar la creatividad y el razonamiento matemáticos. Me pareció interesante desde que tuve noticias sobre ella. Suelo utilizarla con mis alumnos de secundaria y bachillerato con muy buenos resultados; en ocasiones para ejercitar el cálculo mental; otras veces para practicar el razonamiento matemático o para estimular la curiosidad y la capacidad de hacerse preguntas, de generalizar, de relacionar...

Todo ello me ha llevado a desarrollar el monólogo "La felicidad del número 7" sobre la felicidad de los números.

  

¡Con la ilusión y los errores del principiante!

Dejo la transcripción del monólogo en formato PDF y DOC.

Y también el cuestionario sobre el monólogo que utilizo con mis alumnos, en formato PDF y DOC.

Narrando Ciencia

Este monólogo es el resultado de la participación, en septiembre del año pasado, en un curso de verano de la Universidad de La Rioja sobre "Técnicas escénicas y de narración oral para la comunicación científica", impartido por "Big Van Científicos sobre ruedas". El pasado 8 de abril hicimos en la "Casa de las Ciencias" de Logroño la presentación en público de los monólogos elaborados por distintos participantes en el curso. ¡Magnífica experiencia!

Dejo aquí el enlace a los vídeos de todas las intervenciones. ¡Merecen la pena!

Lista de reproducción de YouTube #NarrandoCiencia

  

• Irene Gil: "Estamos vigilados"
• Rafa Cámara - Akusmatico: "La felicidad del número 7"
• Aurora Grueso: "¡Zasca! Las neuronas espejo"
• Mario Martín: "Evolución: ¡Has sido seleccionado!"
• Marta Isabel Gutiérrez: "El sueño hipster de Kekulé"
• Bittor Rodríguez: "Dietas Milagro... ¿A quién vas a llamar?"
• Alberto Coz: "Los residuos... ¿Valen para algo?"
• Diego Herranz: "La foto más vieja del Universo"
• Laura Parro: "¿Ser geóloga en la Tierra o en Marte?"
• Guillermo Pérez: "Nuestra forma de ligar"

Para saber más:

Definiciones:
- De número feliz en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.
- De número infeliz en Wolfram MathWorld.

Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS):
- Artículo sobre los números felices.
- Lista de los números felices menores o iguales que 1.000.000. Hay 143.071.
- Artículo sobre los números infelices.
- Lista de los 1.000 primeros números infelices.
- Artículo sobre los números primos felices.
- Artículo sobre parejas de números felices consecutivos.
- Artículo sobre trios de números felices consecutivos.
- Artículo sobre la cantidad de números felices menores o iguales que cada una de las 21 primeras potencias de 10.
- Artículo sobre el número de iteraciones necesarias para alcanzar el 1 desde un número feliz.

Artículos:
- Guy, R. K.: "Happy Numbers" §E34 in "Unsolved Problems in Number Theory". New York, Springer-Verlag, 2ª ed., 1994, pp. 234-235, / 3ª ed., 2004, pp. 234-235.
- El-Sedy, Esam y Siksek, Samir: "On happy numbers". Rocky Mountain Journal of Mathematics, nº 30, 2000, pp. 565-570.
- Hargreaves, Kathryn y Siksek, Samir: "Cycles and fixed points of happy functions". Journal of Combinatorics and Number Theory, Vol 2, nº 3, 2010, pp. 65-77.
- H. Pan: "On Consecutive Happy Numbers". Journal of Number Theory, Vol. 128, nº 6, 2008, pp. 1646–1654.
- Grundman, H.G. and Teeple, E.A.: "Sequences of consecutive happy numbers". Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol 37, Nº 6, 2007, pp. 1905–1916.
Generalizaciones del concepto de número feliz:
- Grundman, H.G. and Teeple, E.A.: "Iterated sums of fifth powers of digits". Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol 38, Nº 4, 2008, pp. 1139–1146.
- Grundman, H.G. and Teeple, E.A.: "Generalized Happy Numbers". The Fibonacci Quarterly, Vol 39, part 5, 2001, pp. 462-466.
- Grundman, H.G.: "Semihappy Numbers". Journal of Integer Sequences, Vol. 13, 2010, Article 10.4.8
Sobre "Parejas felices" de números enteros:
- Conway, J. H.: "On Happy Factorizations". Journal of Integer Sequences, Vol. 1, 1998, Article 98.1.1

¿Es 2014 un número feliz?

Llevo "unos cuantos" añitos interesándome por esto de las Mates, y algunos menos comiendo de ellas, pero hasta hoy no me había enterado que los números pueden ser felices o infelices. De no haber sido porque estaba leyendo "Desafíos Matemáticos propuestos por la Real Sociedad Matemática Española en su centenario" hubiera pensado que se trataba de un asunto esotérico.

Para saber si un número es feliz o no, tenemos que calcular los cuadrados de las cifras que los expresan y sumarlos. Con la suma que nos salga repetimos la misma operación y seguimos procediendo igualmente de forma reiterada. Pueden suceder dos cosas en esta cadena de números:

• que llegue a aparecer el número 1. En este caso el numero de partida es feliz. Y por lo tanto también lo son todos los intermedios.
• en algún paso aparece de nuevo un número que ya había aparecido previamente. En este caso el número de partida es infeliz. Y como en el caso anterior también lo son todos los que aparecen en la cadena.

Por ejemplo el número 7 es feliz porque:

7 -> 49 -> 16+81=97 -> 81+49=130 -> 1+9=10 -> 1 

¿Qué pasa si investigamos la felicidad del número 2014?

2014 -> 4+0+1+16=21 -> 4+1=25 -> 4+25=29 -> 4+81=85 -> 64+25=89 -> 64+81=145 -> 1+16+25=42 -> 16+4=20 -> 4+0=4 -> 16 -> 1+36=37 -> 9+49=58 -> 25+64=89 que como ya forma parte de la cadena nos hace entrar en un bucle.

Así que, ¡mala suerte! 2014 es un número infeliz.

Seguro que los más curiosos ya os habréis preguntado cuál es el primer número feliz posterior a 2014. Pues resulta que hay que esperar hasta el 2019 para tener un número feliz, y si seguimos investigando comprobaremos que el primer número feliz anterior a 2014 es el 2008.

Unhhh, ¡esto me suena! esperemos que no quiera decir nada ;-)
Ya sabemos que siempre nos queda cambiar de sistema y utilizar el binario en lugar del decimal. 

Mis mejores deseos para 2014 ¡qué seamos capaces de hacer todo lo posible para ser felices!

Para saber más:
Definiciones:
- De número feliz en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.
- De número infeliz en Wolfram MathWorld.
Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS).
- Artículo sobre los números felices.
- Artículo sobre los números infelices.
- Lista de los números felices menores o iguales que 1000000. Hay 143071.
- Lista de los 1000 primeros números infelices. Ocupa la posición milésima el nº 11747.