¡¿ π = 2 ?!

Una π-Paradoja para que π-enses un rato

Hoy 14 de marzo, 3/14 según se escriben las fechas en euskera o en inglés, además del nacimiento de Albert Einstein (14 de marzo de 1879), celebramos, por primera vez oficialmente en España, el "Día de Pi". Celebración con larga tradición en Estados Unidos hasta el punto de en 2009 su Cámara de Representantes declaró oficialmente el 14 de marzo como "Día Nacional de Pi".

Es un buen motivo para reflexionar entorno a una π-Paradoja. Y no me refiero al hecho de que π sea un número "irracional", aunque curiosamente haya sido definido como la razón entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia, sino a la que nos lleva a que el valor de π es el número entero 2.

Comencemos con un segmento AB de longitud 2, construyendo una semicircunferencia tomándolo como diámetro. Así el radio de la semicircunferencia es R = 1 y su longitud es π·R = π. A continuación dividiremos el segmento AB en dos partes iguales, y tomando como diámetro cada mitad, construiremos dos semicircunferencias disponiendo una a cada lado del segmento AB. Estas dos semicircunferencias forman una línea ondulada continua cuya longitud es igual que la de la primera semicircunferencia; es decir π. En efecto, el radio de cada semicircunferencia es 1/2 y su longitud π·1/2 = π/2. Por lo que la longitud conjunta de las dos semicircunferencias es 2·π/2 = π. Continuemos este proceso indefinidamente, dividiendo el segmento AB en 4, 8, ... partes iguales y tomando como diámetro cada parte, construyendo semicircunferencias dispuestas alternativamente una a cada lado del segmento AB. Obtendremos una sucesión de líneas onduladas que se aproximan cada vez más al segmento AB.

A medida que el número de semicircunferencias aumenta se obtiene una sucesión de líneas onduladas dentro de una banda cada vez más estrecha, que contiene al segmento AB. La anchura de la franja que contiene a cada línea ondulada coincide con el diámetro de las semicircunferencias que la forman, es decir 2/n.

Pero la longitud de todas las líneas onduladas es siempre la misma, π. Y tal debe ser la longitud del límite de las líneas onduladas, es decir del segmento AB. Con lo que tenemos ¡¿π = 2?!.

El siguiente escenario GeoGebra te ayudará a visualizar la construcción.

¡¿Es posible?!

Tómate tu tiempo para pensar...y solo después de ello, si quieres conocer una explicación de esta paradoja, haz clic aquí ▼▲

Evidentemente que no lo es. π sigue siendo el número irracional 3,14159...

Detectar el fallo en la anterior argumentación necesita comprender conceptos de cierta sofisticación técnica que se estudian en el primer curso de análisis matemático de los estudios universitarios de ciencias e ingenierías.

Tratemos de ver un esquema general del razonamiento:

Al tratar las sucesión de funciones reales, se define la función límite basándose en el concepto de límite de una sucesión de números reales; y se habla de "convergencia puntual" de la sucesión de funciones hacia la función límite. Al estudiar cuestiones relacionadas con la conservación de ciertas propiedades de las funciones, se observa que no siempre el límite de una sucesión de funciones continuas es una función continua. Y lo mismo sucede con las funciones derivables e integrables; las operaciones de "paso al límite" y "derivación", o de "paso al límite" e "integración" no son siempre intercambiables.

Se continúa definiendo un tipo de convergencia de funciones más exigente que la puntual; la llamada "convergencia uniforme", que intuitivamente se visualiza como que para cualquier banda de anchura constante, simétricamente situada respecto a la gráfica de la función límite, no importa lo estrecha que sea, se puede determinar una función en la sucesión de funciones a partir de la cual todas las funciones de la sucesión tienen su gráfica dentro de la banda. En este caso de convergencia uniforme sí se puede asegurar que la función límite de una sucesión de funciones continuas, es continua. Y también que son intercambiables el "paso al límite" y la "integración". Pero el asunto de la derivación es más delicado; la convergencia uniforme tampoco asegura que el "paso al límite" y la "derivación" sean intercambiables.

El caso de la paradoja que nos ocupa es especialmente interesante. Se trata de una sucesión de funciones, las líneas onduladas, que son continuas y que convergen uniformemente a una función, el diámetro de la primera semicircunferencia. Utilizamos la operación "longitud" y, éste es precisamente el punto de fallo en el razonamiento, estamos considerando como iguales "el límite de las longitudes" (π) y "la longitud del límite" (2). La operación "longitud" implica integración y derivación. Este ejemplo es uno de los casos en los que el "paso al límite" y la "derivación" no son intercambiables, a pesar de que la convergencia de las funciones, que no de las derivadas, es uniforme.


Conclusiones

Esta paradoja es un magnífico ejemplo de la complejidad y sutileza del infinito, presente en el concepto de límite; y de la necesidad de rigor en la comprobación de las condiciones al realizar operaciones de "paso al límite". También es una muestra de cómo las visualizaciones son una buena guía para la intuición que puede facilitar la comprensión, e incluso el descubrimiento, pero que no siempre sirven como demostración. Asimismo, este ejemplo invita a reflexionar sobre el significado de conjetura, demostración y paradoja.

Un poco más alla
 
Siguiendo con este planteamiento paradójico nos podemos plantear cuestiones como ¿influye la longitud del radio de la primera semicircunferencia?¿cómo hacer variable la longitud de la sucesión de líneas onduladas?¿cambia en este caso la esencia del planteamiento inicial?¿cómo conseguir otros valores distintos para π? Se trata de unos buenos y recomendables ejercicios.

Y una vuelta de tuerca más. En realidad al definir π como el cociente entre las medidas de dos longitudes, su valor depende de la métrica utilizada y en estos casos sí, y de forma veraz, π tiene otros valores distintos al euclídeo 3,14159... Dejamos este asunto como tema para otra entrada.


Para saber más:

- Dubnov, Ya. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Lecciones populares de matemáticas. Ed. Rubiños-1860. Ávila. 1994
- Apostol, Tom M.: Calculus. Vol I. Ed. Reverté, Barcelona. 1980.
- Giaquinto, Marcus: Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study. Ed. Oxford University Press. Oxford. 2007.
- Cortés López, Juan Carlos y Aledo Sánchez, Juan Ángel: Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas. Revista Suma nº 34, junio 2000.