Geometría de Tortuga

Exploración matemática y pensamiento computacional.

 

Me gusta volver a los clásicos en estos tiempos de novedades que se presentan a un ritmo acelerado para su consumo rápido e inmediato. De la profundidad de los clásicos siempre es posible extraer algo más con cada relectura. Cualquier momento es bueno para ello. La coincidencia de esta semana académicamente tan corta con la "Computer Science Education Week" es una buena razón; tan buena como otra cualquiera.

Dentro de la CSEdWeeek, Google dedicó el pasado día 4 su "doodle" a celebrar los 50 años desde que los lenguajes de programación para niños se hicieron públicos. De hecho, el "doodle" interactivo creado por Google es un juego de programación para niños. En la década de 1960, mucho antes de la aparición de los ordenadores personales, Seymour A. Papert e investigadores del MIT desarrollaron LOGO, el primer lenguaje de codificación diseñado para niños que programando los movimientos de una tortuga tenían la oportunidad de explorar ideas de matemáticas y ciencias a la vez que adquirían confianza en una tecnología entonces incipiente. Papert y sus colegas materializaron así su visión de cómo las computadoras podrían ser utilizadas como una poderosa herramienta para la enseñanza y el aprendizaje.

El libro "Geometría de Tortuga. El Ordenador como medio de exploración de las Matemáticas", escrito por Harold Abelson en colaboración con Andrea diSessa, y publicado originalmente en 1981 por el MIT y en castellano en 1986 por Anaya Multimedia, es un clásico sobre cómo una aproximación computacional puede cambiar la relación entre los estudiantes y el conocimiento matemático. En palabras de Seymour Papert en el momento de su lanzamiento, es "el primer libro de texto para la educación matemática del futuro".

En su introducción puede leerse: "Todavía la mayor parte de cualquier plan de matemáticas está dedicado a la práctica de algoritmos rutinarios y a la repetición de antiguos teoremas. Es raro el estudiante que tiene la ocasión de aproximarse a las matemáticas haciéndolas, en vez de aprendiéndolas, mediante la investigación de nuevos fenómenos, formulando hipótesis originales o probando nuevos teoremas. La computación -en especial la actividad de programar- puede ofrecer muchas oportunidades a los estudiantes para que participen en tal tipo de actividades sin necesidad de dominar un aparato formidable". Estas palabras de hace más de 35 años parecen no haber penetrado aún en los currículos de Matemáticas de secundaria y bachillerato a tenor de sus contenidos y extensión. A pesar de ello, y afortunadamente, conozco muchos docentes que orientan su enseñanza de forma exploratoria y tratan de conseguir que sus estudiantes "construyan" Matemáticas.

En la misma introducción los autores manifiestan su deseo de "presentar un plan que muestre la influencia computacional en la elección de ideas, así como en la de actividades"; y cómo lo más importante en este empeño es "la expresión de los conceptos matemáticos en términos de formulaciones constructivas orientadas hacia procedimientos, que a menudo son más asimilables y concuerdan más con los modos intuitivos del pensamiento que con el formalismo axiomático-deductivo".

El capítulo con el que comienza "Geometría de Tortuga" hace una introducción a un tipo de Geometría, conocida con este nombre, diseñada no solo para presentar teoremas y demostraciones, sino fundamentalmente para explorar y ayudar a concebir nuevas ideas, y para pensar sobre los descubrimientos realizados y comprenderlos. El capítulo introduce también el lenguaje de esa geometría en términos de las acciones más simples necesarias para describir el movimiento de una tortuga; se trata de los conceptos básicos de LOGO. Una de las ideas más iluminadoras del capítulo es la consideración de los comandos de control de los movimientos de la tortuga como una forma de dibujar figuras en la pantalla de un ordenador y también como una forma de describir figuras.

Geometría de tortuga vs Geometría de coordenadas

Es muy reveladora la comparación entre la Geometría de tortuga y la Geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga se basa en las propiedades intrínsecas de las figuras geométricas; es decir, de aquellas propiedades que dependen únicamente de las propias figuras y no de su relación con un sistema de referencia, como en el caso de la geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga es más local que la de coordenadas; la tortuga en su movimiento solo tiene en cuenta un pequeño entorno del punto en el que se encuentra, mientras que en la Geometría de coordenadas se establecen relaciones entre puntos distantes (por ejemplo, define una circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro). La Geometría de coordenadas describe los objetos en términos de ecuaciones. La Geometría de Tortuga lo hace mejor mediante procedimientos. Ello permite establecer relaciones y aplicar conceptos y técnicas de computación, como la iteración y la recursividad, que facilitan enormemente la exploración matemática.

La actividad planteada

Durante la realización del curso "Impulso al estudio de Matemáticas mediante Computational Thinking", impartido por miembros del Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S. de Ingenieros de la UPV/EHU dentro del programa de formación Prest_Gara, encontré en el primer capítulo de "Geometría de Tortuga" un buen punto de partida para desarrollar una actividad con contenido matemático que relacionara resolución de problemas y pensamiento computacional.

Está pensada para alumnado de 3º/4º de la ESO. Su objetivo es hacer ver un polígono como un camino cerrado y guiar en el descubrimiento del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono simple de cualquier número de lados. Puedes descargar la ficha de la actividad en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí. En ella se relacionan las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se aplican en esta actividad. Está dividida en cinco fases que comprenden un total de 18 tareas.

• Introducción al entorno para practicar la geometría de tortuga (intérprete LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell): Comenzando por la presentación del escenario de trabajo y de los comandos básicos para desplazar y dibujar gráficos con la tortuga. A través de ejemplos sencillos se introducen los conceptos de procedimiento, iteración y variable. 
• Introducción a la Geometría de tortuga: Utilizando el triángulo equilátero y buscando provocar la sorpresa del alumno se introduce la idea de ángulo exterior y se reflexiona entre las diferencias entre la Geometría de coordenadas y fórmulas, y la Geometría de tortuga.
• Exploración de las figuras geométricas asociadas a procedimientos sencillos: Se construye un procedimiento muy sencillo que admitiendo una longitud y un ángulo como variables avanza y gira indefinidamente. Se exploran algunos casos sencillos que producen polígonos, simples y estrellados. Se tantean algunos cambios en el valor del ángulo para estudiar su influencia en la figura que se obtiene.
• Introducción de los conceptos de  giro total y camino cerrado. Teorema del camino cerrado: Se estudia, en algunos casos sencillos, la relación entre el ángulo indicado al procedimiento POLI y el nº de lados de la figura dibujada.  Se introducen los conceptos de giro total de un camino y de camino cerrado (que vuelve a colocar a la tortuga en su posición y con su orientación iniciales). Se conduce al alumno hacia la “deducción” del teorema del camino cerrado.
• Teorema del camino cerrado simple y algunas aplicaciones inmediatas como propiedades de los ángulos interiores de un polígono: Se presenta el teorema del camino cerrado simple: “El giro total realizado a lo largo de cualquier camino cerrado simple es +-360º” como una generalización difícil de probar de lo observado al experimentar con el comando POLI. Se conduce al alumno, de forma alternativa a la tradicional triangularización, hacia la demostración del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. Se demuestra el valor de la medida del ángulo interior de un polígono regular de n-lados.

En la documentación para el profesorado se identifican las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se trabajan en cada tarea. También se añaden los cuadros de progreso y resultados de aprendizajes de la actividad. Puedes descargarla en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.

Puedes descargar la actividad para el alumnado en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.

Harold Abelson

Matemático e informático teórico, es profesor de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación del MIT. A principios de los 80 del pasado siglo dirigió la primera implementación del lenguaje de programación LOGO de Apple y publicó "Geometría de Tortuga", en colaboración con Andrea diSessa. A mediados de la misma década cambió la enseñanza de la computación desde un enfoque revolucionario que mucho más allá del código, la sintaxis y las máquinas, considera la programación como un modo formal y sistemático de pensar sobre cómo hacer las cosas.

Abelson, con un alto nivel de conciencia y compromiso sociales, y una visión ética de la programación, es cofundador de "Creative Commons" y de la "Free Software Foundation". También desempeñó un papel clave en la puesta en marcha del proyecto "OpenCourseWare" del MIT.

Uno de sus proyectos más recientes, en colaboración con Google, es la creación de "MIT App Inventor", un sistema de desarrollo basado en la web que facilita la creación de aplicaciones para dispositivos móviles, sin necesidad de tener grandes conocimientos técnicos de programación. Al describir sus motivaciones para el proyecto, Abelson confiesa estar un poco aterrorizado porque la tecnología se está introduciendo a las nuevas generaciones solamente como un producto de consumo, sin considerar la idea de que el teléfono móvil sea algo que se pueda querer programar.

Para saber más:

- Harold Abelson: "OCW Faculty Profile"

- LOGO:
  - LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell.
  - Centro de recursos, ejercicios y manuales del lenguaje LOGO en castellano.
  - La Academia de la Tortuga: Para aprender el lenguaje de programación Logo.

- Pensamiento computacional:

  - "CS Unplugged - Computer Science without a computer": Recursos y actividades para enseñar pensamiento computacional.
 - Brebas: Certamen sobre informática y pensamiento computacional para centros de primaria y secundaria.
  - Brebas: International Challenge on Informatics and Computational Thinking.