No es brujería. ¡Son Matemáticas!

La magia de un teorema con nombre de aficionado a las sucesiones numéricas

 

Un teorema puede provocar sorpresa y admiración entre los matemáticos profesionales o las personas con sensibilidad y conocimientos matemáticos. Para epatar a todo tipo de público, qué mejor que convertir el teorema en un truco de magia.

Las cartas mágicas de Brousseau

 

Eso es lo que propuso el matemático americano Alfred Brousseau (1907-1988), cofundador en 1963 de la "Fibonacci Association", en el artículo "Fibonacci Magic Cards" publicado en 1972 en la revista "Fibonacci Quarterly".

 

Blogdemaths recoge la idea de Brousseau y la presenta de forma mucho más atractiva en el artículo "Un tour de magie mathématique…", en el que proporciona una versión imprimible de las "cartas mágicas" a utilizar y varias sugerencias de puesta en escena. Marta Macho explica con su maestría de siempre la mecánica del juego y su fundamento matemático en "La magia del teorema de Zeckendorf" en la sección "Matemoción" de "Cuaderno de Cultura Científica" de la UPV/EHU. Es a través de ese blog como he llegado a este truco "matemágico".

 

Miguel Ángel Olalla, en el blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, teniendo en cuenta que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas, -según se presenten, claro- añade una vuelta de tuerca al juego para hacerlo más interesante.

 

Completamente seducido por el truco y su contenido matemático, lo suelo usar con el alumnado del IES Samaniego - Laguardia BHI como muestra del lado lúdico de las Matemáticas. Para su puesta en escena comenzamos utilizando varias veces tarjetas de papel con las "cartas mágicas" y en posteriores repeticiones del juego usamos esta hoja de cálculo. Para profundizar en las mates del truco utilizamos esta otra hoja de cálculo.

El teorema de Zeckendorf

El fundamento matemático de este truco fascinante es sencillo y se conoce como "Teorema de Zeckendorf":

"Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos".

A esa escritura única se le llama la "Representación de Zeckendorf" del número en cuestión.

Cabe recordar que la sucesión de Fibonacci comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”. Cuando se relaciona con la representación de Zeckendorf, para lograr que sea de forma única, se considera que la secuencia de Fibonacci empieza con los números 1 y 2.

La sucesión de Fibonacci además de estar relacionada con numerosos conceptos matemáticos aparece por todas partes en la naturaleza, en las ciencias sociales, en el arte, y sí, también en la magia.

El teorema debe su nombre al médico, oficial del ejército belga y aficionado a las Matemáticas, Edouard Zeckendorf (1901-1983) que 1972 publicó el artículo "Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas".

En realidad el resultado ya había sido publicado 20 años antes por el matemático holandés Gerrit Lekkerkerker (1922 -1999) en su etapa en el CWI (Centrum Wiskunde & Informatica - Instituto Nacional de Investigaciones en Matemáticas e Informática) de Amsterdam. Y completado y generalizado en 1960 por David E. Daykin, matemático inglés, profesor en la Universidad de Reading entre 1956 y 1998. Según Ron Knott, Zeckendorf menciona que lo demostró en 1939 pero que no lo publicó hasta 1972.

Que este teorema se haya quedado con el nombre de un aficionado a las series numéricas y no con el del profesor de la Universidad de Amsterdam, especialista en teoría de números, que lo publicó por primera vez, es un curioso ejemplo de la ley de la Eponimia de Stigler.

Usos didácticos en ESO y Bachillerato

La demostración del teorema puede hacerse por inducción utilizando matemáticas elementales. Aunque es excesivamente compleja para estar al alcance de la mayoría del alumnado de Bachillerato, sí puede ser apropiada para un "Taller de desarrollo del pensamiento matemático" con alumnos avanzados.

El resultado establecido por el teorema utiliza conceptos sencillos que deberían hacerlo comprensible por la mayoría del alumnado de segundo ciclo de la ESO y de Bachillerato, lo que permite su explotación didáctica.

RepresentacionDeZeckendorf.xlsx

Proponer la búsqueda de varias descomposiciones distintas de un entero positivo como suma de números de Fibonacci y su representación de Zeckendorf puede ser un buen ejercicio y una oportunidad para profundizar en el concepto de sistema de numeración. Tratar de sumar o multiplicar números en "base Fibonacci" obliga a plantearse la relación entre los algoritmos tradicionales y el sistema decimal posicional. Tratar de modelizar el algoritmo de la representación de Zeckendorf con un lenguaje de programación o con una hoja de cálculo puede ser un buen modo de trabajar la competencia matemática y la digital; lo mismo que diseñar un algoritmo para encontrar todas las descomposiciones de un entero positivo como suma de números de la sucesión de Fibonacci.

R. Knott, del Departamento de Matemáticas de la universidad inglesa de Surrey, ofrece en las secciones "You Do The Maths.." de "Using the Fibonacci numbers to represent whole numbers" unas actividades de investigación de distintos niveles de dificultad muy inspiradoras.

Por otra parte, el teorema es un buen ejemplo para matizar los términos "existencia" y "unicidad" y la dependencia de las condiciones enunciadas.

El "Nim de Fibonacci"

Dada su relación con la sucesión de Fibonacci, no es de extrañar que el teorema de Zeckendorf cuente con numerosas aplicaciones en ámbitos muy diversos.

El juego “Nim de fibonacci” es una variante del juego Nim apta para todo tipo de público a la que se le puede sacar partido matemático con el alumnado de ESO y Bachillerato. Participan dos jugadores que deben ir retirando de forma alterna fichas de un montón hasta que no queda ninguna, ganando el último jugador que retira fichas.

Las reglas del juego son las siguientes:

• En cada jugada se debe retirar al menos una ficha.
• En la primera jugada no se puede retirar todas las fichas.
• Un jugador no puede retirar más del doble de fichas que el otro jugador en la jugada anterior.

Se trata de un juego en el que si el número inicial de fichas es un número de Fibonacci el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, y si no lo es, la tiene el primer jugador. Dicho de otra forma, el jugador que tiene que retirar fichas de una cantidad que es número de Fibonacci pierde si el otro juega bien.

La estrategia ganadora consiste en retirar una cantidad de fichas igual al número de Fibonacci más pequeño que aparece en la representación de Zeckendorf de la cantidad de fichas que hay:
Supongamos que el número de fichas del comienzo del juego, N, no es un número de Fibonacci.

1. Descomponemos mentalmente N como suma de números de Fibonacci no consecutivos. Retiramos tantas fichas como el número más pequeño de la descomposición anterior.
2. El oponente juega según las reglas.
3. Al volver a ser nuestro turno, si las reglas del juego lo permiten, retiramos todas las fichas y ganamos. De lo contrario, volvemos a aplicar la estrategia anterior (1).

Esta estrategia ganadora fue publicada en 1963 por Michael J. Whinihan en el artículo "Fibonacci Nim" de la revista "Fibonacci Quarterly".

Jean-Paul Davalan ha desarrollado un simulador que permite practicar con el Nim de Fibonacci.

Un problema de probabilidad

Para finalizar dejamos planteado un problema:

Calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras sucesivas al lanzar una moneda n veces.

Como pista diremos que, no podía ser de otra manera en el contexto en el que nos encontramo, una de las formas más elegantes de llegar a la solución se basa en la aplicación del teorema de Zeckendorf.

En un segundo artículo veremos la solución a este problema y otras aplicaciones tecnológicas y artísticas del teorema de Zeckendorf.

Para saber +:

- Henderson, Nik. (2016). What is Zeckendorf's Theorem? The Ohio State University. Recuperado el 28 de diciembre de 2021, de https://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/henderson_zeckendorf.pdf