Hace unos días, revisando la biblioteca del Departamento, aparecieron de forma fortuita entre algunos libros de la primera mitad del siglo pasado, unos números de la "Gaceta Matemática". Al curiosear su contenido comprobé con deleite que en el fascículo de 1955 correspondiente a los números 5 y 6 del tomo VII de la 1ª serie aparece el "Decálogo de la Didáctica Matemática Media" publicado por Pedro Puig Adam.
Puig Adan (1900-1960), ocupó la cátedra de Matemáticas en el Instituto San Isidro de Madrid desde 1926 hasta su prematuro fallecimiento en 1960. También se hizo cargo de la cátedra de Metodología y Didáctica de la Facultad de Ciencias. Es, por sus contribuciones a la renovación de los métodos de enseñanza, la figura clave de la didáctica de las Matemáticas en España.
Se acerca el día 12 de mayo, fecha en la que la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas celebra el "Día Escolar de las Matemáticas", coincidiendo con la fecha del nacimiento de P. Puig Adam en el año 1900.
Me parece una buena ocasión para traer aquí su "Decálogo de la Didáctica Matemática Media".
DECÁLOGO
DE LA DIDÁCTICA MATEMÁTICA MEDIA
por
P. Puig Adam
Se me piden normas didácticas. Preferiría despertar una conciencia didáctica; sugerir formas de sentir antes que modos de hacer. Sin embargo por si valieran, ahí van las sugerencias que estimo fundamentales:
I.- No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente. II.- No olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos históricos de su evolución. III.- Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social. IV.- Guardar cuidadosamente los planos de abstracción. V.- Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno. VI.- Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento. VII.- Promover en todo lo posible la autocorrección. VIII.- Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas. IX.- Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento. X.- Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.
El artículo continúa añadiendo un breve comentario a cada uno de los puntos "para precisar el alcance de cada uno de estos preceptos".
Este decálogo recoge la esencia de las inquietudes pedagógicas y del contacto real con la enseñanza de una mente brillante.
En estos tiempos en los que todo cambia tan deprisa agrada comprobar cómo permanecen plenamente vigentes las mejores prácticas de los mejores profesores. Aunque hayan pasado más de 60 años.
Para saber más:
Puig Adam, P.: Decálogo de la Didáctica Matemática Media. Gaceta Matemática. 1ª serie Tomo VII, números 5 y 6. Instituto Jorge Juan de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española. Madrid , 1955. Pág:130-131, 132-133,134-135.
Según la información oficial Concéntrico"Propone descubrir y redescubrir los espacios de interés del Centro Histórico de la ciudad. El Festival invita a recorrer estos lugares mediante instalaciones que crean una conexión entre patios interiores, espacios ocultos y pequeñas plazas que habitualmente pasan desapercibidas en el día a día de la ciudad."
Las Matemáticas forman parte de todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Matemáticas y arquitectura poseen una larga y fecunda historia conjunta. Algunos proyectos de arquitectura y diseño son un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático.
Seguramente la relación más inmediata entra Matemáticas y arquitectura sea la geometría. Como algunos tratados afirman “Toda creación arquitectónica es geometría”. Otros vínculos son menos evidentes. Este artículo pretende, siguiendo el espíritu de Concéntrico, mostrar nexos más ocultos entre algunas instalaciones del festival y las Matemáticas.
En la Plaza de Santa Ana, la instalación ARTEFACTOS, de Daniel Montes y Sara Canalejas, de Cluster Arquitectos, se basa en la construcción de tres artefactos a partir de 108 piezas tomando como referencia el "Juego de Cartas" ("House of Cards") de los diseñadores Charles y Ray Eames.
Charles y Ray Eames y las Matemáticas
El matrimonio formado por los estadounidenses Charles (1907 - 1978) y Ray (1912 – 1988) Eames ejerció una influencia muy significativa en la arquitectura y el diseño, tanto de muebles como industrial o gráfico, modernos. Algunas de sus creaciones se han convertido en referencias clásicas. La "Silla Eames" es uno de los diseños de muebles más reconocidos del siglo XX, tanto que forma parte de la colección permanente del Museo de Arte Moderno de Nueva York.Los Eames también concibieron y diseñaron exposiciones así como escribieron y dirigieron numerosos cortometrajes.
Algunas de sus producciones están dedicadas a la divulgación de las Matemáticas. Entre ellas destacan:
Fue la primera exposición producida por el matrimonio Eames. Patrocinada por IBM, "Matemática: Un mundo de los números ... y más allá" fue expuesta en el "Museo de Ciencia e Industria de California" en Los Ángeles desde marzo de 1961 hasta enero de 1988. Posteriormente en la universidad de diseño "Art Center" en Pasadena, California. En la actualidad se expone en el museo de la ciencia "New York Hall of Science" de Nueva York.El "Museo de la Ciencia de Boston" exhibe una réplica de la exposición.
Su objetivo fue ofrecer a todo el mundo la oportunidad de disfrutar de las Matemáticas y de la belleza de diseño, seleccionado historias e imágenes atractivas de diversas áreas matemáticas como probabilidad, topología, álgebra de Boole, geometría, cálculo y lógica.
La exposición sigue siendo considerada en la actualidad como un modelo para la divulgación científica.
Probablemente el cortometraje documental más famoso de los Eames. De acuerdo con su subtítulo "Una película que trata sobre el tamaño relativo de los objetos en el Universo y el efecto de añadir otro cero", presenta el concepto de orden de magnitud basado en factores de diez mostrando la escala relativa de los objetos del Universo.
A partir de un picnic en la orilla del lago en Chicago, en un ambicioso y memorable travelling, la película nos transporta a los bordes exteriores del universo. Cada diez segundos, vemos el punto de partida diez veces más lejos, hasta que nuestra propia galaxia es visible solo como un punto de luz, entre muchos otros. Volviendo a la Tierra a velocidad vertiginosa nos movemos hacia el interior del cuerpo humano con diez veces más de aumento cada diez segundos. Nuestro viaje termina dentro de un protón de un átomo de carbono de una molécula de ADN de un glóbulo blanco de la sangre.
Es un cortometraje de carácter divulgativo muy dinámico, ilustrativo e impactante.
Haz clic aquí para ver la versión original en inglés.
"IBM Mathematical Peepshows" (1961)
El film es una colección de cinco cortometrajes encargados por IBM y creados por Charles y Ray Eames para su inclusión en la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond".
Cada uno de los cinco cortos trata brevemente un concepto matemático, presentándolo de forma divulgativa a través de una simpática animación con voz en off. Una mezcla exquisita del concepto "píldora de información", tan actual, con el aroma de las animaciones de hace más de medio siglo.
Cinco años después de la inauguración de la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond", IBM publicó este cartel de grandes dimensiones (0,61 m x 3,66 m) con forma de línea de tiempo.
Basado en el "Muro de la Historia" de "Mathematica", muestra cronológicamente a través de las biografías y trabajos de los matemáticos más destacados el desarrollo de las Matemáticas del mundo occidental entre los años 1000 y 1950. IBM distribuyó este cartel a las escuelas de todo Estados Unidos. Muchos departamentos de Matemáticas de todo el mundo lo siguen mostrado con orgullo en sus paredes.
En 2012 IBM lanzó una aplicación iPad gratuita, desarrollada con la asistencia de la Oficina Eames, basada en este cartel con la línea del tiempo actualizada hasta nuestros días. Puedes descargarla aquí.
Christopher Alexander y las Matemáticas
En la plaza de San Bartolomé, la instalación 02 + 04 = ALEXANDER PLATZ, de Javier Dulín, arquitecto y profesor de Proyectos de Diseño de Interiores de la Escuela
Superior de Diseño de La Rioja (ESDIR), se fundamenta en las teorías de Christopher Alexander y su lenguaje de patrones.
Christopher Alexander es uno de los arquitectos y diseñadores más influyentes de la segunda mitad del siglo XX.
Actualmente es profesor emérito de arquitectura en la Universidad de California, Berkeley.
A lo largo de los más de 40 años de carrera profesional, Alexander ha desafiado las corrientes imperantes en arquitectura poniendo al ser
humano en el centro del diseño. Para ello ha combinado formación científica, investigación arquitectónica, enseñanza y verificación de sus
teorías a través de sus construcciones. Sus ideas innovadoras y
radicales han extendido su influencia mucho más allá del ámbito de la arquitectura, incluyendo entre otros campos, el diseño urbano, la
ingeniería de software y la sociología.
Nació el 1936 en Viena, Austria, aunque pasó sus primeros 22 años en Inglaterra. Su vinculación con las Matemáticas comienza con su formación
académica inicial. Cursó sus estudios en la Universidad de
Cambridge, donde obtuvo en 1956 un Máster en Matemáticas antes de licenciarse en Arquitectura en 1958. El mismo año en el que se trasladó a
Estados Unidos donde se doctoró en arquitectura en la Universidad de Harvard en 1963.
Sus dos obras más innovadores e influyentes son "A Pattern Language" ("Un Lenguaje De
Patrones") publicada en 1977 junto con sus alumnos Sarah Ishikawa y Murray Silverstein, y "The Timeless Way of Building" ("El modo
intemporal de construir") publicada en 1979. Según Alexander "constituyen un todo indivisible" son las dos mitades de una misma
obra que presentan "un lenguaje para construir y planificar" y "la teoría y las instrucciones necesarias para el empleo de ese
lenguaje", e "intentan describir una actitud totalmente nueva con respecto a la arquitectura y el urbanismo". En la idea de que
los usuarios son más sensibles a sus necesidades que cualquier arquitecto podría ser, Alexander propone un método estructurado que pone la
arquitectura al alcance de personas no especializadas profesionalmente en la materia.
Desde el comienzo de sus investigaciones Alexander aplicó sus conocimientos
matemáticos y el racionalismo al diseño, culminando en la publicación del libro "Notes on Synthesis of Form" ("Ensayo sobre la síntesis de la forma") en 1964.
Trata sobre el arte del diseño, lo que es, y el método para realizarlo. Las matemáticas que subyacen a este método,
basadas principalmente en en teoría de grafos y estadística, están totalmente desarrolladas en el extenso apéndice 2. Estas teoría tuvieron una fuerte influencia en los años 1960 y 1970 en ingeniería
de software, como por ejemplo en diseño de lenguajes de programación, programación modular o programación orientada a
objetos.
"Creo que una ciudad natural tiene la organización de un semirretículo; en cambio, cuando organizamos artificialmente una ciudad, lo hacemos como un árbol"
En este ensayo escrito en 1965, y considerado como una de las bases
conceptuales de la renovación del urbanismo de la época, Alexander, aplicando métodos matemáticos de teoría de conjuntos para entender la estructura de la ciudad y su estructura
conectiva, reflexiona en torno a la complejidad de las ciudades tradicionales en contraposición con la simpleza de los desarrollos
urbanos contemporáneos. En "La ciudad no es un árbol"está disponible
la traducción al castellano de este artículo.
"Tres aspectos de matemática y diseño"
Publicado en
1969 por la editorial Tusquets de Barcelona como número tres de "Cuadernos Ínfimos", agrupa tres artículos fundamentales de la primera
etapa investigadora de Alexander donde, según la editorial, trata de "hallar métodos que permitan hacer más lógicas y comprobables las
intuiciones del proyectista, acercando así el arte a la ciencia".
"Un tema muy solicitado: computadores y diseño". Traducción de
"The Question of Computers in Design" (1964)
"La ciudad no es un árbol". Traducción de "A City is Not a
Tree"(1965), mencionado anteriormente.
desmos es una herramienta en línea, gratuita para usos no comerciales, que permite de forma interactiva e instantánea representar gráficamente funciones (reales de una variable real) indicadas explícitamente o implícitamente, tanto de forma cartesiana, paramétrica o polar. Desde rectas y parábolas hasta derivadas y series de Fourier.
Además de realizar las operaciones habituales de una calculadora científica, desmos representa puntos, desigualdades y funciones definidas a trozos, maneja tablas de valores, muestra máximos, mínimos y puntos de intersección, realiza ajustes estadísticos y resuelve ecuaciones con raíces cuadradas, logaritmos, valor absoluto y más.
La plataforma desmos incorpora un buen número de funciones modelo que aparecen al crear una nueva gráfica. También ofrece un repositorio de materiales matemáticos producidos por los usuarios y otro de creaciones "artísticas" realizadas con desmos.
Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la intuición y aprender haciendo. Sin olvidar la posibilidad de generar actividades para ser realizadas por los alumnos, de las cuales desmos ofrece un repositorio, la mayoría en inglés.
Para conservar los escenarios creados es necesario registrase y archivarlos en los servicios de almacenamiento de "la nube" desmos, siendo posible decidor si se quiere, o no, hacerlos públicos.
desmos, además de en línea, también está disponible como aplicación para Android e iOS. En este caso, aunque no se disponga de acceso a la nube desmos, es posible utilizar la aplicación pero no es posible guardar las gráficas generadas. Sí es posible acceder a los ejemplos y modelos que hayan sido "cacheados" previamente.
Una última perla, el complemento ideal para desmos: GIFsmos genera GIFs animados a partir de gráficas desmos.
Sin duda desmos es una excelente herramienta, sencilla, potente y bella; totalmente recomendable.Es fácil quedarse enganchado si la pruebas.
Ponerse a hacer reformas en casa es algo aterrador; nunca se sabe hasta dónde llegarán ni cómo acabarán. Por otro lado, llega a ser tedioso ver la casa siempre igual. La casa "D*Haus Dynamic", diseñada por el estudio londinense de arquitectos "D*Haus Company" puede ser una opción. En realidad va mucho más allá.
Esta casa "ecológica, versátil y adaptable" está diseñada para cambiar según las condiciones ambientales. Los gruesos muros externos y las pequeñas ventanas se convierten en paredes internas, a la vez que las paredes interiores de vidrio pasan a ser las fachadas. Las puertas se convierten en ventanas y viceversa.
Según sus diseñadores "para la época de invierno, la casa en forma cuadrada, con pequeñas ventanas y gruesas paredes, se abraza a sí misma. Para tiempo más cálido, la casa se abre como una flor para permitir que la luz y el aire penetren en el interior del edificio y ofrecer completas vistas panorámicas de los alrededores".
"D*Haus Company" es una firma innovadora que aplica de forma muy original la Geometría al mundo de la Arquitectura y del Diseño, siendo un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático. Además de la "casa dinámica""D*Haus" ha diseñado también mesas y sistemas de iluminación basándose en la misma disección geométrica.
Curiosamente, aunque las creaciones de D*Haus Company responden al estilo de vida más moderno, son la culminación de una historia que comienza hace más de un siglo.
El acertijo del mercero
Henry Ernest Dudeney (1857-1930) fue un creador inglés de ingeniosos retos y acertijos matemáticos, publicados en las revistas británicas más populares de la época y recopilados posteriormente en distintos libros. Funcionario de la Corona Británica, aunque no fue un matemático profesional sí alcanzó cierta formación matemática y, sobre todo, estuvo dotado de una gran intuición geométrica.
En 1902, Henry Dudeney publicó en el periódico semanal "Weekly Dispatch" un rompecabezas que planteaba un enigma desconcertante: cómo dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas para que recolocadas formaran un cuadrado. En 1905 Dudeney realizo sendas presentaciones del problema ante las prestigiosas sociedades científicas "Royal Society" y "Royal Institution" de Londres. El mismo año fue publicado como desafío en el diario de gran difusión "Daily Mail" y según relata el propio Dudeney, después de recibir cientos de posibles soluciones no hubo ninguna correcta.
El reto fue incluido bajo el título "El acertijo del mercero" ("The Haberdasher's Puzzle") como problema número 26 en la recopilación "Los acertijos de Canterbury" ("The Canterbury Puzzles"), libro publicado por Dudeney en 1907, que narra la historia de un grupo de peregrinos con destino al santuario de San Thomas Becket en Canterbury. Los peregrinos se proponen unos a otros rompecabezas para entretenerse durante el camino.
"El mercero se resistía a satisfacer las demandas de los peregrinos para que propusiera un acertijo.
Tanto le insistieron... que al final se decidió, pidiendo que se le diera un paño en el que recortó un triángulo equilátero perfecto.
Luego, mostrándolo a los demás dijo:
"¿Es alguno de vosotros tan diestro en el corte de género como yo? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, aunque el estudioso puede aprender del lacayo y el sabio del necio. Mostradme, pues, una manera de cortar este trozo de género en cuatro piezas de manera que puedan reunirse formando un cuadrado perfecto".
Tras varios intentos, los más avezados mostraban soluciones cortando en triángulo en ¡cinco piezas! .... pero no en las cuatro que pedía el mercero. Mientras, él los observaba pero permanecía en silencio. Cuando finalmente le pidieron la solución casi recibe una paliza, pues, declaró que la había olvidado.
Al fin, tras varias noches de incertidumbre, el acertijo quedó resuelto".
Dudeney construyó la solución al acertijo en madera de ébano uniendo las cuatro piezas con bisagras de forma que al girar las piezas con un movimiento de la mano se podía pasar de una figura a la otra.Debido a ello se denomina como "disección de Dudeney" al tipo especial de disección de figuras geométricas en la que todas las piezas están conectadas en una cadena por puntos "bisagra", de tal manera que la transformación de una figura a otra puede llevarse a cabo haciendo pivotar la cadena de forma continua, sin cortar ninguna de las conexiones. En inglés de denominan también "hinged dissections" (hinge puede ser traducido como bisagra, gozne o articulación que gira).
Disección de figuras geométricas
Los rompecabezas consistentes en seccionar figuras en piezas y reensamblarlas para formar otra, como el acertijo del mercero, se han convertido en un clásico entre los divertimentos matemáticos. Son disecciones geométricas. El empleo del método de ladisección ha sido fundamental en el cálculo de áreas desde los orígenes de la Geometría y también se utiliza frecuentemente en la enseñanza para justificar las fórmulas de cálculo del área de figuras elementales.
Disecciones 2-D
Dos figuras se dicen equicompuestas si cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede, al disponer estas partes de otra forma, componer con ellas la segunda figura. Claramente, si dos figuras son equicompuestas tienen la misma área. La pregunta recíproca de si dos figuras con la misma área son equicompuestas no tiene una respuesta tan evidente.
El teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien establece que tiene una respuesta afirmativa en el caso de los polígonos: Si dos polígonos tienen igual área uno de ellos se puede dividir en partes de forma que es posible componer el segundo trasladando y rotando las piezas obtenidas en la disección. Polígono quiere decir, en este contexto, una figura limitada por un número finito de líneas quebradas formadas por un número finito de segmentos rectilíneos. Puede tener "agujeros". Lo importante es que sea posible dividir la figura en un número finito de triángulos.
La atribución de la autoría original de la demostración es una historia enrevesada. El matemático húngaro Farkas Bolyai demostró el anterior teorema en 1832 y el militar alemán aficionado a las Matemáticas P. Gerwien dio una demostración en 1833 sin tener conocimiento de la de Bolyai. Hay indicios de que el matemático escocés William Wallace ya había dado una demostración en 1807.
Según el teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien en el caso de los polígonos es equivalente equicomposición y tener la misma área.
Disecciones 3-D
Si damos el salto de dimensión 2 a dimensión 3 nos preguntaremos si con los poliedros pasa algo análogo.
Dos poliedros se dicen equicompuestos si al cortar de cierto modo uno de ellos en un número finito de piezas poliédricas, se puede, al disponer estas piezas de otra forma, componer con ellas el segundo. De forma semejante al caso de los polígonos, claramente, si dos poliedros son equicompuestos tiene el mismo volumen.
En este caso la pregunta recíproca de si dos poliedros con el mismo volumen son siempre equicompuestos tiene respuesta negativa.
Se trata de un problema difícil; el tercero en la famosa colección de 23 problemas compilados por Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 con el objeto de estimular la investigación matemática durante el nuevo siglo. El propio Hilbert, basándose en trabajos de Gauss, ya conjeturó la imposibilidad de equicomponer algunos poliedros del mismo volumen. Y en el mismo año 1900, el matemático Max Wilhelm Dehn, nacido en Alemania y alumno de Hilbert, demostró como contraejemplo que el cubo y el tetraedro del mismo volumen no son equicompuestos.
Según el teorema de Dehn en el caso de los poliedros no es equivalente equicomposición y tener el mismo volumen.
Fuera de Euclilandia
Si abandonamos el mundo euclídeo tenemos que, tanto en la geometría hiperbólica como en la esférica en dos dimensiones, para los polígonos sigue siendo equivalente tener la misma área y ser equicompuestos. Pero en ambas geometrías es desconocido qué sucede en tres dimensiones; no se sabe si para los poliedros es equivalente o no, tener el mismo volumen y ser equicompuestos.
"Rompecabezas" de otro tipo
Anteriormente hemos hecho referencia a teoremas y conjeturas, acabaremos mencionando una paradoja, un resultado aparentemente contrario a la lógica pero demostrado de forma totalmente rigurosa. La "Paradoja de Banach-Tarski" establece que en tres dimensiones es posible descomponer una esfera en un número finito de piezas (se ha demostrado que son suficientes 5 y que con 4 es imposible) de forma que utilizando únicamente movimientos rígidos (sin deformar las piezas), pueden ser reensambladas para componer dos copias de la esfera original. De manera informal se suele decir que "Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol".
Las aparentes contradicciones de esta paradoja con nuestra intuición y con los resultados comentados anteriormente no es tal si consideramos que las piezas en las que hay que dividir la esfera "no tienen medida". Las piezas obtenidas en la descomposición tienen una forma tan extraña que no tiene sentido hablar de su volumen.
Además la demostración de la paradoja de Banach-Tarski necesita del axioma de elección por lo que no ofrece una solución constructiva al contrario que la "D*Haus Dynamic" con la que comenzábamos. ;-)
Sobre la incorporación de documentos digitales a libros de actas de papel
En el Instituto de Educación Secundaria donde trabajo cada Departamento Didáctico debe mantener un libro de actas donde queden registradas las reuniones semanales de sus miembros. Se trata de un libro tangible, de papel, con actas escritas a mano y firmas manuscritas de los asistentes a cada reunión. No se permiten las actas en formato electrónico.
Al comienzo de curso, los miembros de cada Departamento tenemos que consensuar los contenidos mínimos de las distintas asignatura adscritas. Además los contenidos mínimos acordados tienen que aparecer en el libro de actas del Departamento y ser firmados por sus miembros. Por otra parte los contenidos mínimos han de ser públicos y figurar en la web del Instituto.
Transcribir de forma manuscrita al libro de actas los contenidos mínimos de cada asignatura supone una dedicación considerable. Asegurar que los documentos que aparecen en la web son los que figuran en las actas firmadas por los profesores es más complicado que lo que en una primera impresión pudiera parecer. El socorrido método de digitalizar los documentos firmados a través de un escáner o de una fotografía, y colgarlos en la web no ofrece todas las garantías exigibles.
Usando algo de criptografía
www.firma-electronica.eu
Las Matemáticas nos permiten, de forma eficiente y con una certeza razonable y adecuada a la necesidad, garantizar que los documentos en formato digital que los profesores hemos firmado no han sido alterados posteriormente. Es decir, se trata de garantizar la integridad de los mencionados documentos. También permiten asegurar que esos mismos documentos son los que aparecen en la web.
La idea es muy sencilla. A partir de cada documento digital que necesita ser firmado generamos un resumen digital utilizando el algoritmo MD5. Para ello usamos la utilidad freewareHashMyFiles desarrollada por NirSoft;es muy fácil encontrar en la red otras herramientas semejantes. Escribimos en el actacorrespondiente el nombre de cada archivo informático y los 32 caracteres que componen su resumen digital; más exactamente, escribimos los 32 dígitos hexadecimales que representan los 128 bits que forman el resumen. Y firmamos de forma manuscrita el acta.
Una función de resumen digital, también denominada hash (que significa en inglés picar y mezclar), es un conjunto de reglas bien definidas, ordenadas y finitas que consigue mediante pasos sucesivos crear a partir de un texto (por ejemplo un documento, una contraseña o un archivo de cualquier tipo) otro texto, de longitud normalmente fija y pequeña, que depende del primero.
Para ser útil en criptografía una función de generación de resúmenes tiene que cumplir un conjunto de propiedades:
Debe ser fácil calcular el resumen de cualquier texto.
Debe ser "computacionalmente imposible" deducir el texto original a partir del resumen de un texto desconocido.
El resumen debe tener una longitud fija independiente de la longitud del texto original y normalmente menor.
El resumen debe depender de todos los bits del texto original. Si se modifica en él un solo bit, el nuevo resumen debería cambiar sustancialmente.
Será "computacionalmente imposible" a partir de un texto determinado, encontrar otro texto distinto que tenga el mismo resumen que el primero. Ésto se conoce como resistencia débil a las colisiones.
Será "computacionalmente difícil" encontrar un par de textos con el mismo resumen. Esto se conoce como resistencia fuerte a las colisiones.
Estas funciones sirven, entre otros cometidos, para asegurar que no se ha modificado un archivo en una transmisión, hacer ilegible una contraseña o firmar digitalmente un documento.
El algoritmo de resumen criptográfico MD5 (Message Digest 5) fue desarrollado en 1992 por el profesor Ronald Rivest del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) para mejorar el nivel de seguridad ofrecido por las versiones anteriores de MD, cuidando que fuera sencillo de codificar en forma de programa informático y rápido en su utilización. A partir de cualquier texto, produce siempre un resumen de 128 bits de longitud.
En un principio fue considerado criptográficamente seguro. Pero desde que hacia 2005 ciertas investigaciones revelaron algunas vulnerabilidades, muchos investigadores recomiendan su sustitución por algoritmos alternativos con mayor nivel de seguridad como SHA-1 o RIPEMD-160. A pesar de ello es un algoritmo de resumen muy fácil y rápido de utilizar que es totalmente adecuado para el nivel de exigencia de nuestro propósito.
Para saber más:
Diferenciar la firma digital de la firma electrónica. http://www.firma-electronica.eu/firma-electronica-digital.html
Información sobre la firma electrónica, firma digital y las posibilidades de aplicación. Descripción de productos software y hardware para la firma electrónica escrita. http://www.firma-electronica.eu
HashMyFiles: Utilidad desarrollada por Nir Sofer para sistemas operativos Windows que permite generar resúmenes digitales de archivos, utilizando distintos algoritmos como MD5/SHA1/CRC32. No necesita instalación. Utilizable a través de su interface gráfico o en modo comando, lo que permite su inclusión en ficheros de procesamiento por lotes. http://www.nirsoft.net/utils/hash_my_files.html
