Con Phi (Φ) de Phidias

Actividades entorno a la “divina proporción”

¿Qué tienen en común la disposición de los pétalos de una rosa, la famosa pintura de Salvador Dalí “Sacramento de la Última Cena”, las conchas de algunos moluscos,  la cría de conejos y los brazos en espiral de cierto tipo de galaxias como nuestra Vía Láctea?

Todos estos ejemplos dispares están unidos por un número conocido desde la Antigüedad, que a principios del siglo XVI, en Italia, fue denominado «Divina Proporción» y que en el siglo XIX recibió la distinción de «Número de Oro o Áureo», «Proporción Áurea» y «Sección Áurea».

Phi (Φ o φ) es un número menos conocido que otros con nombre propio como Pi (π) o e, pero mucho más fascinante en numerosos aspectos; ha seducido a lo largo de la historia a muchas de las mentes más brillantes..

Además de tener propiedades numéricas sorprendentes o expresar relaciones geométricas asombrosas, Φ aparece, relacionado con la belleza, la perfección y el caos, como conexión insospechada entre la naturaleza y las creaciones humanas.

Cotidianamente utilizamos la palabra “proporción” para expresar la relación comparativa respecto al tamaño o la cantidad que se establece entre las partes de las cosas; y para  describir una relación armónica entre diferentes partes.

En Matemáticas, la palabra “proporción” se utiliza para indicar la igualdad entre dos razones: “nueve es a tres como seis es a dos”.

La proporción áurea ofrece una mezcla intrigante de ambas definiciones.

Actividades

Comparto aquí las actividades entorno a la “divina proporción” que vengo utilizando desde hace algunos cursos con alumnado de 3º y 4º ESO, y 1º Bachiller.

0.- “Nature by Numbers” de Cristóbal Vila. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.
1.- Cociente entre un término y su anterior en sucesiones tipo Fibonacci a partir de dos números cualquiera.
2.- Definición de proporción áurea.
3.- División, con regla y compás, de un segmento en razón media y extrema.
4.- Rectángulos áureos.
5.- La ecuación de  Φ. Representación de Φ sobre la recta real utilizando regla y compás.
6.- Algunas propiedades de Φ.
7.- Cálculo Φ por medio de Raíces anidadas.
8.- Cálculo Φ por medio de fracciones continuas.

La proporción áurea es un concepto a la vez que simple en su definición, muy rico; aparece recurrentemente en múltiples campos matemáticos. Ello permite desarrollar actividades de distintos bloques de los currículos de Matemáticas de ESO y Bachillerato, que incluyen cálculos aritméticos, construcciones y razonamientos geométricos, trabajo con sucesiones, límites, … También permite trabajar de forma interdisciplinar relacionando las Matemáticas con los contenidos de otras materias.

Las actividades compartidas permiten practicar la utilización de la calculadora y de aplicaciones de “hojas de cálculo”; también realizar construcciones con regla y compás y con GeoGebra. Algunas de ellas, especialmente a las dos últimas, son fácilmente enfocables de forma que desarrollen el “pensamiento computacional”. Otras, como la primera, pueden ser presentadas como un mero divertimento matemático.

- Puedes descargar las actividades en formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja MS Excel que facilita los cálculos aquí.
- Puedes abrir el libro GeoGebra relacionado aquí.

Para saber más:

- “Nature by Numbers” cortometraje de Cristóbal Vila, de una muy cuidada e impactante realización técnica. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.Una de las mejores formas de introducirse el tema de la razón áurea

- “La teoría tras la película” ofrece interesante información complementaria a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella.

- Corbalán, Fernando, “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza”. RBA Libros. Barcelona. 2010.

- Livio, Mario, “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”. Ed Planeta. Barcelona. 2006.