La caja más grande

Leo se dedica a elaborar de forma artesanal cajas de metal. Utiliza para ello planchas metálicas de forma cuadrada de 20 cm de lado. Lleva años estampando sobre las planchas una plantilla como la de la figura que luego recorta. El tipo de soldadura que aplica evita la necesidad de usar lengüetas para unir las caras pero obliga a que la plantilla sea de una única pieza.
 

Se pregunta si, continuando con la utilización de planchas metálicas del mismo tamaño, sería posible diseñar la plantilla de un cubo de otra manera para que una vez ensamblado tuviera un volumen mayor que el de los cubos que hace ahora.
 

¿Cuál es el volumen del cubo de mayor tamaño que puede obtener recortando una plantilla de una sola pieza a partir de un cuadrado de 20 cm de lado?

Para ver una plantilla que genera un cubo un poco mayor haz clic aquí ▼▲

1. El triángulo de la esquina inferior izquierda es rectángulo y tiene los dos catetos de la misma longitud, 20 cm : 5 = 4 cm
2. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que l² = 4² + 4² ; l² = (4²) x 2 ; l = 4 √2 cm
3. Para calcular el volumen del cubo, elevamos al cubo la longitud del lado y obtenemos V = 128 √2 cm³ ≈ 181,02 cm³

El lado del cubo construido hasta ahora por Leo es 20 cm : 4 = 5 cm. Y por tanto, su volumen es V = 125 cm³. La razón entre el volumen del cubo fabricado con esta nueva plantilla y el volumen del cubo actual es 181,02 cm³ / 125 cm³ ≈ 1,45. Es decir aumenta en un 45% o, dicho de otra forma, en casi la mitad del volumen original.

Para ver otra plantilla que proporciona una solución mejor haz clic aquí ▼▲

1. El triángulo de la esquina inferior izquierda es rectángulo y tiene los dos catetos de la misma longitud, 20 cm : 4 = 5 cm
2. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que l² = 5² + 5² ; l² = (5²) x 2 ; l = 5 √2 cm
3. Para calcular el volumen del cubo, elevamos al cubo la longitud del lado y obtenemos V = 250 √2 cm³ ≈ 353,55 cm³

La razón entre el volumen del cubo fabricado con esta nueva plantilla y el volumen del cubo actual de Leo es 353,55 cm³ / 125 cm³ ≈ 2,83, casi el triple del volumen actual. Es decir, aumenta en un 183% o, dicho de otra forma, en casi 2 veces del volumen original.

Este problema aparece en "GUÍA AMENA DE MATEMÁTICAS. Fundamentos de geometría. Desde Pitágoras hasta la carrera espacial", de Mike Askew y Sheila Ebbutt, publicado por la editorial BLUME. Un libro, que cumpliendo lo que su título promete, trata de forma concisa y muy entretenida distintos tópicos de Geometría salpicados de estimulantes ejercicios.