21 septiembre 2023

ReLecturas: Hubert Reeves - Malicorne

Reflexiones de un observador de la naturaleza

Mi reciente jubilación me ha conducido a la relectura de algunos libros de los que por distintas causas tengo un especial recuerdo. El último “Malicorne. Reflexiones de un observador de la naturaleza” del astrofísico canadiense arraigado en Francia Hubert Reeves. Publicado originalmente en Francia en 1990, la primera edición en castellano es de 1992. Lo leí por primera vez en abril de 1993, durante los reposos de las caminatas por las lagunas de Neila y el nacimiento del río Arlanza en donde en un descuido mientras estaba enfrascado en su lectura, una vaca me robó unas mandarinas.

Reeves es un científico de primer nivel y uno de mis divulgadores favoritos. Admiro su gran capacidad de transmitir conocimiento de forma amena creando interés por saber más y agradezco la generosidad con la que comparte las reflexiones de su excepcional mente.

 

Me complace especialmente la forma en que Malicorne está escrito, su coherencia armoniosa con el contenido trasmitido. Impregnado de lirismo, refleja perfectamente los conocimientos y la sensibilidad de su autor. Reeves nos trasmite sus meditaciones sobre el cosmos, el ser humano y él mismo, sobre la ciencia, el arte y la religión, hilvanados como el relato de las reflexiones producidas por la contemplación en sus paseos de la naturaleza más cercana a su lugar de residencia, de donde toma el título. El subtítulo “Reflexiones de un observador de la naturaleza” condensa magníficamente la extensión y profundidad de su contenido.

 

Según el propio Reeves, Malicorne está dedicado a “las relaciones entre ciencia y cultura; entre lo que se sabe y lo que se hace”. En su primera parte explora cómo la visión científica y la visión poética del mundo, lejos de excluirse, se integran para percibir su verdadera riqueza. La segunda hace un repaso de cómo a lo largo de la historia ha ido cambiando la forma en la que el pensamiento científico ha considerado la libertad y la creatividad hasta llegar a la reconciliación de los científicos contemporáneos con ambos conceptos. La tercera parte desgrana reflexiones sobre cómo los conocimientos científicos aportan nuevos matices al contemplar algunas actividades humanas como la creación artística, la legislación y el pensamiento religioso.


© Pierre Kitmacher
en www.hubertreeves.info

Una de las reflexiones de Reeves que más me ha hecho meditar ha sido que la ciencia y el arte, con un mismo origen, surgen como reacción frente a la angustia vital. El psicoanálisis lleva a Reeves a buscar el origen del pensamiento humano fuera del pensamiento y encuentra en el  inconsciente la fuente común de la lógica -ciencia- y de la poesía –arte-.  Para Reeves el encuentro entre la realidad interior y exterior inicia la actividad mental en el niño; de la misma manera que el juego alivia en el niño la angustia frente al mundo exterior y la tensión creada por la necesidad de enfrentarse a él, en el ser humano como especie, “el telescopio sucede al osito de peluche”. Es en esta aceptación progresiva de la realidad como tarea sin fin donde está el origen de la creatividad e inventiva del ser humano; ciencia, arte y religión, cada una a su manera, remodelan la realidad exterior y hacen soportable la vida.

Una de las ideas sobre las que Reeves hace más hincapié es el aumento de la complejidad que caracteriza a la evolución del cosmos. Subraya como claves para entender esta evolución la elaboración de las teorías del caos determinista y el descubrimiento de la expansión rápida y del enfriamiento del universo; la expansión es demasiado rápida para preservar los estados de equilibrio, que son estériles; son los desequilibrios los que posibilitan al cosmos enriquecerse en diversidad.

Reeves, reconciliando azar y necesidad como ambos indispensables para el crecimiento de la complejidad,  presenta un cosmos sometido a leyes deterministas e invariantes que pueden producir resultados diversos y dan opción a la creatividad. Esta indeterminación parcial de la naturaleza hace posibles las condiciones para crear lo inédito.

Recuerdo con deleite el impacto que me produjo la introducción que Reeves hace de algunos conceptos básicos como “sensibilidad a los datos iniciales”, “dependencia lineal y no lineal” y “horizonte predictivo” utilizando de forma magistral un ejemplo supuesto de tres relojes con distintas precisiones. Fue mi primer contacto con el caos determinista que cambió profundamente la forma mecanicista de ver la realidad que me llevé de mi paso por el instituto y las ideas de exactitud, certidumbre e infalibilidad, de las matemáticas en particular y de la ciencia en general, que dejaron mis estudios universitarios.

En el análisis que Reeves hace de la inserción de la creación artística en la trama de la evolución cósmica me parecen muy interesantes las analogías que establece entre ambas hasta presentar al artista como un “obrero” de la innovación al servicio de la naturaleza; como el mecanismo que utiliza para prolongar su actividad creativa. Reeves presenta el concepto de “belleza” como una experiencia íntima entre el yo y el universo: “al universo le debo la posibilidad interior de admirar la belleza y los elementos exteriores de belleza que admirar”.

Considero destacable la visión de Reeves sobre la preocupación ecológica, especialmente en estos tiempos en los que abunda el negacionismo de las evidencias científicas. Contempla al ser humano como producto de la evolución biológica que puede desobedecer las órdenes genéticas y aniquilarse a sí mismo; la naturaleza, llevada por su estrategia de crear lo más complejo y lo más eficaz, ha puesto en el mundo una especie que está en condiciones de exterminar la vida sobre la Tierra. Considera al ser humano, al percibir tal amenaza, como la “conciencia” de la naturaleza. Señala que la ciencia, además de conocimiento sobre cómo está hecho el mundo, facilita información que ilumina nuestras decisiones morales.

De las disquisiciones de Reeves sobre la religión y su relación con la ciencia me han hecho reflexionar especialmente su visión crítica de la desmesurada confianza en el poder del pensamiento conceptual y su concepción integradora de ciencia, arte y actividad religiosa como reconstrucciones del mundo que ofrecen la posibilidad de incorporar en un marco coherente los acontecimientos de la vida ante la necesidad de paliar la angustia de la muerte. Para Reeves, con nuestro conocimiento científico, “Dios se sitúa en el nivel de las preguntas, ya no en el de las certezas. Su lugar está en el viaje interior de cada uno de nosotros“.

 

Una relectura siempre es un viaje personal en el tiempo, un encuentro con tu yo del pasado. Se puede decir que en los treinta años que median entre las dos lecturas de este libro, como el cosmos, he “evolucionado” incrementando la complejidad de mi vida. Posiblemente haya llegado la hora de simplificar y, jugando con otro de los títulos de Reeves, embriagarse con lo esencial.

 

06 septiembre 2023

Los hermanos Marín Toyos (II)

Algunos datos biográficos de Daniel Marín Toyos

Continuamos el artículo anterior que recoge la carrera profesional de Daniel Marín Toyos aportando otros datos biográficos más personales.


Según las “Noticias históricas de la muy noble y muy leal Ciudad de Haro” de Domingo Hergueta, el 17 de Abril de 1890 se aprobó el proyecto de alumbrado público por medio de la electricidad, uno de los grandes hitos en la historia jarrera. Ocho días antes veía la luz por primera vez Daniel Marín Toyos. Nació el 9 de abril de 1890 en el nº 4 de la Calle de los Lagos de Haro –calle que el 22 de febrero de 1892 pasó a denominarse Zurbano y el 3 de noviembre de 1937 Lope de Vega, como se mantiene en la actualidad–. Fue inscrito en el Registro Civil del Juzgado Municipal de Haro como “Daniel Marcelo”. Su padre, Juan Bautista Marín y Fernández, nacido en Gimileo el 16 de octubre de 1864, había sido nombrado maestro de primera enseñanza para la escuela de Haro el 15 de junio de 1889. Su madre, Leoncia Toyos Gilberte había nacido en Haro el 12 de septiembre de 1863.

El 19 de abril del mismo año fue bautizado en la Parroquia de Santo Tomás Apóstol. Fueron sus padrinos Gervasio Marín Andrés, abuelo paterno, natural de Grañón y Felisa Tejada.

DMT - Cementerio de Haro - Panteón familia Echanove - Tejada
Cementerio de Haro. Panteón familia Echanove - Tejada
En el “Padrón de Vecindad” de Haro de 1914 figura Felisa Tejada Viejo, de 44 años y natural y vecina de Haro “desde hace 44 años”, casada con Ildefonso Echanove Perujo, de 46 años, natural de Valladolid y vecino de Haro “desde hace 45 años”, empadronados en el nº 89 de la calle Marqués de Francos, en la actualidad calle La Ventilla. La familia Echanove Tejada sufrió un trágico accidente de automóvil. El 23 de septiembre de 1939, cuando marchaban por las proximidades de Castro Urdiales para asistir a una fiesta familiar, el coche sufrió una avería que obligó a parar. No bien hubo descendido el chófer del vehículo para averiguar las causas de la detención, se produjo, por efecto de una emanación de gasolina, una  explosión en el interior del coche, quedando carbonizados el matrimonio y su nieto de corta edad Francisco Pedro Varona Echanove. Su hija Felisa Echanove Tejada falleció en la entonces “Casa de Salud Valdecilla” dos días después. Sus restos reposan en el panteón familiar del cementerio municipal de Haro.

Primeros años y primeros estudios

Daniel Marín vivió en Haro hasta que en marzo de 1897 su padre obtuvo por oposición una plaza como maestro en una escuela de Sevilla, con el consecuente traslado familiar a la ciudad andaluza en la que permanecieron 4 años. Los destinos de Juan Bautista Marín ocasionaron que la familia residiera posteriormente en Bilbao y Vitoria; hasta que en julio de 1904 obtiene en propiedad la plaza de maestro de una escuela pública elemental de niños de Madrid, en donde la familia establecería su residencia definitiva.

El expediente de concesión de título de licenciado de Daniel Marín acredita que entre 1901 y 1903 aprobó dos cursos de dibujo con calificaciones de aprobado en el instituto de segunda enseñanza de Bilbao. También que realizó los exámenes de grado de bachillerato en el instituto Cardenal Cisneros de Madrid en junio de 1906, obteniendo la calificación de sobresaliente en los dos ejercicios. Y, como ya se indicó anteriormente, que cursó su licenciatura entre los años 1906 y 1910.

Matrimonio y nacimiento de sus hijos

El 19 de septiembre de 1911 falleció Juan Bautista Marín. Daniel había ingresado en el Cuerpo de Ingenieros Geógrafos en febrero de ese mismo año y estaba cursando el doctorado que obtendría con la lectura de su tesis en diciembre. La desaparición de su padre originó una situación familiar complicada; su madre, su hermano José de 16 años, y sus dos hermanas, de 12 y 10, quedaron dependientes de la pensión de viudedad y, según escribiría José en sus memorias, de “unas ínfimas rentas de unas tierras en Haro”. Quizás esto pudo influir en que Daniel no realizara ninguna estancia en universidades europeas.

Dos meses después de tomar posesión de su plaza de auxiliar numerario en la Universidad de Zaragoza, el 22 de septiembre de 1913 contrae matrimonio con Petra Florentina Tejerizo Rodrigo, en Burgo de Osma.

En 1914 nacería su primer hijo, Juan Antonio, que también se doctoró en Ciencias Exactas llegando a ser catedrático en la Escuela Técnica de Peritos Industriales de Madrid. Fue autor de numerosos manuales utilizados en las escuelas de ingeniería. Falleció en Alcalá el 6 de marzo de 1968. La rama familiar Marín De Mateo, descendiente de Juan Antonio, ha estado muy vinculada con la villa de Ezcaray, relación que se mantiene hasta la actualidad.

En 1916 la familia Marín Tejerizo se amplió nuevamente con el nacimiento de Jesús. Catedrático de Química y director de la Escuela de Maestría Industrial de Málaga que, tras varios cambios de ubicación y denominación, acabó por convertirse en un centro de educación secundaria que lleva su nombre, el actual I.E.S. Politécnico Jesús Marín. También lleva su nombre una calle de Málaga. Falleció en Málaga en 1976.

Carmelo, el tercero de los hijos del matrimonio Marín Tejerizo, nació en Burgo de Osma en 1920; fue Secretario de Administración Local y Jefe de Negociado de Expropiaciones en el Ayuntamiento de Madrid. Falleció en 1997.

Época barcelonesa

Doctor D. Daniel Marín Toyos - Secretario General de la Universidad de Barcelona - Revista Psiquis Nº 7 - Agosto 1924
Doctor D. Daniel Marín Toyos
Secretario General de la Universidad de Barcelona
Revista Psiquis Nº 7 - Agosto 1924
Daniel Marín ocupó una cátedra en la Universidad de Barcelona entre mayo de 1918 y marzo de 1935. Durante este periodo tuvo una presencia relevante en la sociedad catalana más allá de la docencia en su cátedra compatibilizada con la gestión universitaria y el ejercicio de otro magisterio.

Entre 1924 y enero de 1929 desempeñó la Secretaría General de la Universidad. Previamente ya había ejercido como secretario de la Facultad de Ciencias. Desde finales del curso 1923-1924 y hasta 1929, ejerció como profesor de Física en la Escuela Superior de Agricultura de Barcelona.

Durante los años en que residió en Barcelona, Daniel Marín desarrolló una importante participación en política, de la que algunos datos quedan recogidos en su declaración jurada firmada al comparecer en el Ministerio de Educación Nacional en Vitoria el 24 de octubre de 1938, “así que consiguió escapar de la tiranía roja de Madrid”, según sus propias palabras. Desde 1924 hasta 1931 perteneció a la “Unión Patriótica”. Esta agrupación política fue fundada por el dictador Miguel Primo de Rivera para dar soporte al nuevo régimen de partido único instaurado tras el golpe de estado de 1923. Desde el  11 de septiembre de 1924 hasta la constitución del gobierno presidido por el general Berenguer en 1930,  ocupó el cargo de concejal en el Ayuntamiento de Barcelona nombrado por el general gobernador de aquella capital, Carlos Losada, y ratificado por Severiano Martínez Anido. El teniente general Martínez Anido, ministro de la Gobernación durante la Dictadura de Primo de Rivera y ministro de Orden Público del primer gobierno de Franco, firmó como tal un aval presentado por Daniel Marín en su depuración franquista de octubre de 1938, certificando sus antecedentes como “persona de orden” y “absolutamente afecto al Glorioso Movimiento Nacional”.

Según la misma declaración jurada, Daniel Marín fue socio durante 17 años del Casino Militar de Barcelona “donde se congregaban aquellas personas que sentían un gran amor a España difícil de sostener en una ciudad minada por el separatismo”.

DMT - Declaración Jurada. Vitoria, 24 de octubre de 1938
Declaración Jurada.
Vitoria, 24 de octubre de 1938
Otras fuentes documentales hacen referencia a la pertenencia de Daniel Marín a la Sociedad de Estudios Vascos, a través del Solar Vasco-Navarro de Barcelona. Esta afiliación resulta chocante ya que a pesar del carácter intelectual de la Sociedad de Estudios Vascos, dedicada fundamentalmente al estudio de la lengua y cultura euskaldunes, durante la dictadura de Primo de Rivera levantó sospechas de practicar un nacionalismo cultural de orientación vasquista.

En el terreno personal, el 5 de abril de 1931, Leoncia Toyos, madre de Daniel, falleció en Somao (Asturias) donde vivía bajo la atención de José, hermano de Daniel. Por otra parte, hay documentos fechados en junio de 1933 que acreditan la demanda de divorcio de Daniel Marín Toyos contra Petra Florentina Tejerizo Rodrigo.

Retorno a Madrid, Guerra Civil y últimos años

La situación política del país es muy complicada cuando Daniel Marín se incorpora a su cátedra en la Universidad de Madrid en julio de 1935.

En el ambiente de enfrentamiento político que precedió a las elecciones generales, los días 16 de febrero y 1 de marzo de 1936, se produjeron numerosos episodios de violencia. Entre ellos “colisiones entre estudiantes de distintas ideologías” en la Universidad de Madrid. El 3 de febrero de 1936 Daniel Marín fue designado por la Junta de Gobierno de la Universidad como Juez Especial para depurar responsabilidades por esos incidentes estudiantiles.

Poco después del golpe de estado del 18 de julio de 1936, en agosto, las actividades docentes quedaron suspendidas en la Ciudad Universitaria de Madrid que pronto se convirtió en un frente permanente de guerra. El profesorado universitario madrileño sufrió una doble depuración política. La primera, emprendida durante la guerra por las autoridades republicanas; la segunda, con mucha mayor virulencia y que se extendió una vez acabada la guerra, por las franquistas.

DMT - Rehabilitación sin sanción. 28 de octubre de 1939
Rehabilitación sin sanción
28 de octubre de 1939
Tras haber sido declarado por del Gobierno de la República en enero de 1937 “disponible administrativo”, el 24 de septiembre del mismo año es separado definitivamente del servicio  en la Universidad "en virtud de la información recibida y debidamente confirmada sobre la actuación política y profesional en la Universidad de Barcelona y durante el periodo de la Dictadura Militar del General Primo de Rivera, del entonces Profesor de aquella Universidad”. En noviembre del mismo año es dado de baja en el Cuerpo de Ingenieros Geógrafos.

La declaración jurada firmada por Marín Toyos el 24 de octubre de 1938 ofrece datos sobre su vida durante la guerra. Por ella sabemos cómo en una ocasión “Fui detenido casualmente por encontrarme en el domicilio de la señora madre del Excmo. Sr. General Don Fidel Dávila, al que había acudido con objeto de hacerles donación de algunos víveres dada la escasez. […] Puesto en libertad a las 24 horas de mi detención seguí concurriendo a la citada casa”. Fidel Dávila desempeñó un papel muy relevante en la Guerra Civil y fue Ministro de Defensa dentro del primer gobierno franquista. Sabemos también que residió en Madrid hasta el día 27 de septiembre de 1938 en que salió “alegando a los efectos de obtener la correspondiente autorización la necesidad de acompañar a mi hijo al sanatorio de Davos ( Suiza)”. Vía Alicante, Orán, Marsella y París, efectuó la entrada en la España Nacional por Fuenterrabía el 21 de octubre. Y conocemos también los nombres de los avalistas que Daniel Marín refiere como “personas que confirmen sus manifestaciones”.

En una instancia dirigida al Ministro de Educación Nacional, firmada en Vitoria el 24 de octubre de 1938, Daniel Marín, “deseando colaborar en la formación del nuevo Estado”, solicita adscripción a un centro universitario, adjuntando la declaración jurada que se le exigió y tres avales “altamente favorables”. La solicitud es resuelta el 4 de noviembre con su adscripción con carácter provisional al instituto de segunda enseñanza de León.

En octubre de 1939, tras un segundo expediente de depuración motivado por el extravío temporal del primero, es rehabilitado “sin imposición de sanción” y reintegrado en sus destinos de la Universidad Central y del Cuerpo de Ingenieros Geógrafos.

Poco antes de su muerte es nombrado comendador de la Orden de Alfonso X el Sabio.

Daniel Marín Toyos - Esquela - Periódico ABC 14/03/1948

Daniel Marín Toyos fallece el 13 de marzo de 1948 en Madrid. En la esquela publicada en el diario ABC al día siguiente no figuran nombres de familiares; simplemente "su desconsolada familia suplica una oración por su alma". También se hace referencia a la conducción del cadáver desde la "Residencia de Catedráticos de la Universidad Central” y a la inhumación en el cementerio de "Nuestra Señora de la Almudena".



DMT - Hoja de servicios y emolumentos posterior a su fallecimiento
Hoja de servicios y emolumentos

En la “sección informativa” del tercer número de 1948 de la revista “Matemática elemental”, publicada por la Real Sociedad Matemática Española aparece una breve reseña del fallecimiento de Daniel Marín Toyos. En el número 5 de la “Revista Matemática Hispano-Americana” del mismo año, Simón Archilla Guzmán firma una "corta reseña biográfica, con la que rendimos a nuestro maestro el homenaje que se merece su memoria" escrita en el lenguaje laudatorio propio de estas ocasiones.

 

El siguiente artículo de esta serie lo dedicaremos a presentar algunos datos sobre la familia Marín Toyos y su raíz jarrera.

25 agosto 2023

Los hermanos Marín Toyos (I)

Dos jarreros del siglo XX relevantes a nivel nacional y poco conocidos por sus paisanos.


Ocupar una cátedra en la universidad de Madrid era la máxima aspiración de los científicos españoles de la primera mitad del siglo XX. Ser Presidente del Consejo de Administración de una empresa del Instituto Nacional de Industria (INI) que a finales de los años 40 del siglo pasado figuraba entre las 40 principales empresas industriales de España, significaba alcanzar una posición de notable influencia y relevancia social.

Daniel y José Marín Toyos, matemático e ingeniero respectivamente, son dos hermanos nacidos en Haro con menor conocimiento entre sus paisanos que lo que se merecen por su notoriedad profesional y social en la España del siglo pasado. Este es el primer artículo de una serie dedicada a divulgar algunos datos sobre sus vidas.

 Este es el primer artículo de una serie dedicada a divulgar algunos datos sobre sus vidas.


DMT - Portada de "Ecuaciones Diferenciales – 3ª Edición"
El azar me llevó a interesarme por esta familia de notables jarreros. Hice la oposición a profesor de matemáticas de instituto en Madrid en julio de 1987. Una de las tardes libres entre las distintas pruebas, dedicada a rebuscar en librerías de viejo de la calle Libreros, entré en “La Casa de La Troya”. El interior hablaba de tiempos pasados. Entre las obras matemáticas ofrecidas por el vendedor había un grueso tratado sobre ecuaciones diferenciales escrito por un “Catedrático de la Universidad de Madrid”. Llamó mi atención al ojearlo que el prólogo estaba firmado en “Haro, agosto de 1941”. Confirmé inmediatamente al librero que me lo quedaba.

Se trataba de un ejemplar de la tercera edición de “Ecuaciones Diferenciales” de Daniel Marín Toyos, catedrático de Análisis Matemático, nacido en Haro el 9 de abril de 1890 y que falleció en Madrid el 13 de marzo de 1948.

 

El matemático Daniel Marín Toyos

Comienza sus estudios de Ciencias Exactas en la Universidad de Madrid en 1906. En 1910 obtiene la Licenciatura con calificaciones de sobresaliente con matrícula de honor en todas las asignaturas y premio extraordinario. En diciembre de 1911 lee su tesis doctoral y obtiene el grado de doctor, también con premio extraordinario. En febrero de 1911 ingresa por concurso de méritos en el Cuerpo de Ingenieros Geógrafos, en el que desempeñaba la Jefatura de la Sección de Geodesia en el momento de su fallecimiento. Entre 1925 y 1927 obtiene en dos cursos la licenciatura en Derecho, realizando los exámenes de las distintas asignaturas a caballo entre las universidades de Zaragoza y Murcia.


Daniel Marín Toyos. Revista Hispano Americana 1948 4ª Serie Tomo VIII Nº 5 - In Memoriam
Daniel Marín Toyos
Revista Hispano Americana 1948
In Memoriam
Inicia su labor docente en marzo de 1912 como auxiliar interino de Exactas en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid. En julio de 1913 es nombrado, mediante oposición, auxiliar numerario en la Universidad de Zaragoza, donde, en abril de 1916, se encargó de la cátedra vacante de Geometría Descriptiva y en 1918 también de la de Geometría de la Posición.

En mayo de 1918 es nombrado, por oposición en turno de auxiliares, catedrático numerario de Cálculo Infinitesimal de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Barcelona, en la que más tarde desempeña el cargo de secretario general. En marzo de 1935 obtiene por concurso de traslado la Cátedra de Ecuaciones Diferenciales de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid, cátedra creada en 1928 y ocupada inicialmente por Esteban Terradas.

Por sendas órdenes del Gobierno de la República, en enero de 1937 es declarado “disponible administrativo” y en septiembre separado definitivamente del servicio  en la Universidad. En noviembre del mismo año es dado de baja en el Cuerpo de Ingenieros Geógrafos. En noviembre de 1938, el Ministerio de Educación Nacional del primer gobierno franquista lo adscribe provisionalmente al instituto de segunda enseñanza de León. En octubre de 1939, tras un expediente de depuración, es rehabilitado “sin imposición de sanción” como catedrático de la Universidad Central. En diciembre de 1939 reingresa en el Cuerpo de Ingenieros Geógrafos, en el que se halla en situación de supernumerario en expectativa de destino, como Ingeniero segundo jefe de negociado de segunda clase. En agosto de 1940 añade a los anteriores nombramientos el de profesor de “Matemáticas para ingreso en las Academias y Escuelas Militares” del “Colegio de Huérfanos de la Armada” como resultado de concurso libre entre doctores y licenciados; nombramiento breve porque en diciembre del mismo año fue designado su sucesor por renuncia de Marín.

DMT - Expediente académico de la licenciatura
Expediente académico
de la licenciatura
Daniel Marín compartió claustro en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid con otros dos catedráticos de Matemáticas riojanos: Sixto Cámara Tecedor, de Geometría Analítica, nacido en Baños de Rioja en 1878; y con Olegario Fernández Baños, pionero de la Estadística en España, director del servicio de estudios del Banco de España y creador del actual IPC. Este último, nacido en Badarán en 1886 y fallecido en Madrid en 1946, fue enterrado en el cementerio municipal de Haro, en el panteón familiar de su esposa Eloísa Ortega Lecea. Casualmente los tres matemáticos riojanos se habían enfrentado en 1917 en la oposición a la Cátedra de Geometría Analítica de la Universidad de Valencia que obtuvo finalmente Cámara. Otro matemático riojano, Enrique Linés Escardó, nacido en Logroño en 1914, fue profesor auxiliar temporal en la cátedra de Marín Toyos durante varios periodos entre 1936 y 1945. Marín también coincidió con un cuarto matemático riojano, Rafael Domínguez Ruiz-Aguirre, ayudante de Esteban Terradas en su cátedra de Física Matemática.

Marín Toyos permaneció al margen de la corriente renovadora de principios del siglo XX, que pretendía acercar la matemática española a la de los países de la vanguardia científica europea; corriente liderada por el también riojano Julio Rey Pastor, nacido en Logroño en 1888. Marín no figura entre los matemáticos que realizaron estancias en universidades extranjeras pensionados por la Junta para la Ampliación de Estudios, institución creada en 1907 y que desarrolló una intensa actividad desde 1909. Tampoco realizó ningún trabajo en el Laboratorio y Seminario Matemático, centro de investigación matemática en funcionamiento desde 1915. Sí asistió al “Congreso Internacional de Matemáticos” celebrado en Bolonia en septiembre de 1928, en el que se dieron cita las figuras de máximo nivel mundial de todos los ámbitos de las ciencias exactas.

Escribió varios libros de texto y algunos artículos de carácter científico dedicados tanto a las matemáticas teóricas como a su aplicación.

Sobresale entre sus publicaciones el ya mencionado tratado“Ecuaciones Diferenciales” que recoge y desarrolla el programa oficial de la asignatura de su cátedra “Análisis Matemático, 3er curso” y que, en palabras de su hijo y también matemático Juan Antonio Marín Tejerizo, fue “la mayor satisfacción de su vida”. Contó con tres ediciones: una preliminar, en 1936, en forma de resumen autografiado de sus lecciones; las siguientes ya en forma de tratado impreso en 1942 y 1950. Se utilizó también en otras universidades, ya que la Facultad de Ciencias de Madrid era en aquel momento la fuente principal de los libros de texto universitarios con influencia en todo el país.


DMT - Portada de "Resumen de las Lecciones de Análisis Matemático"
En octubre de 1939 publicó “Tratado elemental de Matemáticas para el séptimo curso de Bachillerato” fruto de su docencia en el instituto de segunda enseñanza de León. En 1941 editó en forma litografiada “Resumen de las lecciones de Matemáticas generales para el año preparatorio de la Facultad de Medicina”, asignatura a su cargo en la Universidad Central. Además tradujo del alemán las “Tablas de logaritmos y de las funciones trigonométricas” de Ludwig Schrön, que contó con al menos nueve ediciones entre 1942 y 1972.

Entre sus publicaciones más especializadas y de nivel matemático más elevado, junto con su tesis doctoral “Teoría del cálculo de variaciones y de las modificaciones introducidas en él por Weierstrass”, destaca la monografía de Geometría Diferencial, publicada en 1932, “Líneas trazadas sobre una superficie”. En palabras del propio Marín Toyos, “de carácter notoriamente elemental” para facilitar a su alumnado y a “las personas amantes de los estudios matemáticos” la preparación precisa para un estudio profundo de las obras magistrales sobre la aplicación de las ecuaciones diferenciales explicadas en su cátedra.

En 1911 formó parte de los socios fundadores de la Sociedad Matemática Española, ocupando el cargo de vicesecretario entre el 9 de febrero de 1912 y el 12 de junio del mismo año, en cuya revista publicó en 1913 y 1921 sendos artículos en el campo de las Ecuaciones en Derivadas Parciales y de la Geometría Diferencial. Figura en la lista de 1912 de socios numerarios de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias.

 

En un próximo artículo sobre los hermanos Marín Toyos presentaremos otros datos biográficos que completarán la semblanza de este destacado matemático.

28 febrero 2022

Aplicaciones del teorema de Zeckendorf en tecnología y arte

El teorema de Zeckendorf es un enunciado matemático muy productivo dentro de su modestia. Ha originado generalizaciones en distintas direcciones y también ha dado lugar a aplicaciones en diversos ámbitos como las propias Matemáticas, la tecnología o el arte. Veamos algunas de ellas como continuación del artículo precedente sobre el teorema de Zeckendorf No es brujería. ¡Son Matemáticas!.

The Zeckendorf Game

Comenzaremos con un ejemplo de aplicación del teorema en el campo de la teoría de juegos combinatorios, el “Zeckendorf Game”

El matemático Steven J. Miller, matemático especializado en teoría analítica de números y profesor en el Williams College, junto con otros tres autores publicaron un artículo en el año 2018 con la definición de un juego basado en la regla de recurrencia de la sucesión de Fibonacci y en el teorema de Zeckendorf, al que dieron el nombre de este último.

El juego parte de una lista de una cantidad cualquiera de unos. Dos jugadores van haciendo alternativamente cambios en la lista con unas reglas basadas en la relación de recurrencia de la sucesión de Fibonacci, ya sea combinando términos para formar el siguiente o sustituyendo términos duplicados.

Las jugadas permitidas son:
  • 1.- Cambiar dos números de Fibonacci consecutivos por su suma.
  • 2a.- Cambiar dos unos por un dos.
  • 2b.- Cambiar dos doses por un uno y un tres.
  • 2c.- Cambiar dos números de Fibonacci iguales que no sean ni el uno ni el dos por el número de Fibonacci anterior del anterior y el siguiente.

Árbol de los primeros movimientos del "Zeckendorf game". Fuente   

Todas las transformaciones permitidas mantienen constante la suma de los números de la lista. Gana el último jugador que realiza un cambio. El juego termina siempre en la representación de Zeckendorf del número de unos inicial. La duración del juego y el ganador pueden variar dependiendo de los cambios efectuados.

Los autores demuestran en este artículo inicial que el segundo jugador tiene una estrategia ganadora si se comienza con más de dos unos pero, al tratarse de una prueba “no constructiva”, la demostración no describe la forma en la que se debe jugar para ganar.

En octubre de 2021, Wiliam Lee y Robert Bitler presentaron un algoritmo iterativo para encontrar una estrategia ganadora para el segundo jugador mucho más eficientemente que mediante una búsqueda exhaustiva “por fuerza bruta”. Para ello formularon el juego en forma de grafo dirigido sin ciclos y con un único nodo terminal.

Recientes resultados de un equipo dirigido por Steven J. Miller han demostrado que la complejidad computacional del juego Zeckendorf es tan alta que determinar una estrategia ganadora de forma explícita que valga para todos los posibles juegos particulares es un problema de los que en computación se denominan intratables, lo que a efectos prácticos quiere decir irresolubles con la tecnología actual.

El teorema de Zeckendorf en las TICs

Codificación de datos

El teorema de Zeckendorf ha encontrado también un ámbito de utilización en las tecnologías de la información y las comunicaciones. Particularmente en teoría de la codificación de datos y sus aplicaciones: compresión de datos, control y detección de errores, almacenamiento y transmisión de la información, criptografía y esteganografía.

El matemático israelí Aviezri Fraenkel nacido en 1929, especializado en teoría de juegos combinatorios, Medalla Euler 2005 e integrante del equipo que construyó el primer ordenador de Israel en el bienio 1954-1955, y Alberto Apostolico (1948-2015), profesor e investigador en ciencia e ingeniería computacional, propusieron en 1987 un nuevo sistema de codificación de datos cuyos “principales atributos son la robustez, que se manifiesta por la contención local de errores, y la codificación y decodificación simples” y del cual “la principal aplicación explorada es la transmisión de cadenas binarias en las que la longitud está en un rango desconocido”.

La clave de la propuesta radica en las propiedades de la representación de Zeckendorf de los números enteros. La no utilización de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci y la unicidad se traducen en la posibilidad de utilizar un “1” como separador de símbolos codificados consecutivos y en la consecución de un sistema de codificación unívocamente descifrable (cualquier secuencia codificada solo puede proceder de un único mensaje) de codificación y decodificación muy sencillas. Como un símbolo codificado no puede contener dos unos consecutivos, los errores en un bit de un símbolo pueden afectar a uno o dos códigos y no se propagan al resto.

Fraenkel junto con su discípulo Shmuel T. Klein posteriormente generalizaron y mejoraron el anterior sistema de codificación.

Seguridad de redes inalámbricas

Otro ejemplo de utilización del teorema de Zeckendorf en las TICs está relacionado con la seguridad de redes inalámbricas malladas (WMN). En ellas se utiliza el rastreo del origen de las ofensivas como la mejor solución para prevenir los ataques de denegación de servicio (DoS).

   
    Mouna Gassara
Los tunecinos Mouna Gassara, siendo estudiante de Máster en la Escuela Nacional de Ingeniería de la Universidad de Sfax, y Faouzi Zarai, profesor en el Instituto Superior de Electrónica y Comunicaciones de la misma universidad, propusieron en 2016 una solución de rastreo de la IP de origen basada en el teorema de Zeckendorf para crear un nuevo protocolo de comunicación en redes de malla inalámbrica bautizado como SZNP (Secret Zeckendorf Number Protocol - Protocolo de número secreto de Zeckendorf) que permite construir con precisión la ruta de ataque sin introducir ningún gasto de ancho de banda y con un espacio de almacenamiento insignificante.

El teorema de Zeckendorf “generador” de poemas

El teorema de Zeckendor ha sido utilizado por el francés Paul Braffort en la creación de poemas, otra forma más artística que tecnológica de codificar información.

Braffort (1923-2018), en el que es difícil separar actividad científica y técnica de la artística y cultural, personifica la exploración de las relaciones y el mestizaje de ciencia y arte. Licenciado en Matemáticas y filosofía por La Sorbonne, fue pionero de la inteligencia artificial. Sus investigaciones en física hacen de él uno de los iniciadores de la electrodinámica estocástica. Profesor de informática en las universidades de Orsay y Chicago, orientó sus investigaciones hacia la lógica y la lingüística. Además de escritor y poeta, también fue letrista, compositor y cantante, con un estilo repleto de humor como puede apreciarse en su álbum de 1958 Des atomes et des hommes con canciones burlescas sobre energía atómica, adulterio y otros temas lascivos.

Paul Braffort ingresó en 1961 en OULIPO “Ouvroir de littérature potentielle”, a los pocos meses de su creación, desarrollando desde entonces una intensa actividad en el grupo. Desde sus orígenes, el “Taller de literatura potencial”, en ocasiones identificado de forma superficial con el ejercicio de complicadas acrobacias retóricas a modo de prescindible divertimento, está formado principalmente por escritores y matemáticos que trabajan explorando nuevas formas de creación literaria surgidas de la aplicación de restricciones (“contraites”) procedentes de las matemáticas.

Desde muy pronto y especialmente en el campo de los procedimientos combinatorios los informáticos propusieron aplicaciones para mejorar las investigaciones oulipianas. El peligro de confusión entre las actividades de Oulipo y ciertos experimentos informáticos que no estaban directamente relacionados con el proyecto llevó a Paul Braffort y Jacques Roubaud a proponer la creación de un nuevo grupo dedicado exclusivamente al binomio literatura-informática, fundando en 1981 el “Taller de literatura asistida por las matemáticas y los ordenadores”, ALAMO (Atelier de Littérature Assistée par la Mathématique et les Ordinateurs) en el que se integrarían además de oulipianos otros escritores, docentes e investigadores interesados en la lingüística, la inteligencia artificial o la pedagogía.

Hypertropes

Braffort desarrolló una novedosa forma poética que denominó “hipertropo” (hypertrope), en clara referencia al concepto de “hipertexto” utilizado en informática, inspirándose en una de las metarestricciones de la creación literaria sugeridas por Jacques Roubaud -solo utilizaremos una estructura matemática como la principal restricción de una obra literaria si también explotamos uno o más teoremas ligados a esta estructura-.

En 1979 Paul Braffort publicó, como nº 9 de la “Bibliothèque Oulipienne”, Mes Hypertropes. Vingt-et-un moins un poèmes à programme. La organización de este poemario se basa en la estructura matemática de la sucesión de Fibonacci explotando el teorema de Zeckendorf para crear el diagrama de flujo de las relaciones a nivel de significado establecidas entre los veinte poemas.

Según el propio Braffort declara en la introducción 0 Hors d'oeuvre, donde, dicho sea de paso, cumple con la segunda restricción de Roubaud -un texto que obedezca a una restricción debe incluir una definición de dicha restricción-, “la transferencia de la estructura matemática sobre la restricción literaria es de orden semántico: el contenido del poema de rango n depende del contenido de los poemas cuyo rango forma la representación Zeckendorf de n”.

La primera página del poemario después de la cubierta es un Graphe des matières que indica de forma muy visual las relaciones entre los distintos poemas reflejando la descomposición de Zeckendorf de los primeros veinte números.




Por supuesto, los poemas cumplen otra serie de restricciones tanto oulipianas como clásicas en poesía.

Si analizamos como ejemplo el poema 13, L'explication des explications, encontramos que depende de los poemas 5 y 8 porque 13, que forma parte de la sucesión de Fibonacci, se obtiene como suma de los dos términos anteriores 8 y 5. A su vez influye en los poemas 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20 porque 13 figura en la descomposición de Zeckendorf de estos números. Por lo que elementos semánticos de los poemas 5 y 8 reaparecen en el poema 13 y los poemas del 14 al 20 dependen del contenido del poema 13.

Música con Zeckendorf

Numerosos compositores clásicos han utilizado la razón áurea y la sucesión de Fibonacci en la creación de sus obras musicales, tanto estructuralmente, en el número de compases de cada sección, como armónicamente, en el número de semitonos usados en cada intervalo. Ejemplos destacados son Béla Bartók en “Sonata para dos pianos y percusión” y “Música para cuerdas, percusión y celesta”, Claude Debussy en “Dialogue du vent et la mer” y Iannis Xenakis en “El sacrificio” y “Metástasis”. Casey Mongoven ha ido más allá al hacer del número de oro y de la sucesión de Fibonacci la base de su estilo musical.

Mongoven es un compositor y doctor en en Filosofía en Artes y Tecnología de los Medios, nacido en California en 1979. Su interés investigador se orienta hacia la “sonificación” de objetos matemáticos, con especial dedicación a la representación sonora de sucesiones numéricas obtenidas tomando como base la de Fibonacci.

En un artículo publicado en 2010 establece un sistema de afinación temperada basada en la razón áurea y la sucesión de Fibonacci y describe un método de composición que lo utiliza, ofreciendo tres ejemplos de obras musicales creadas a partir de secuencias numéricas relacionadas con la de Fibonacci.

Posteriormente, en otro artículo publicado en 2011 junto a Ron Knott, muestran el potencial ofrecido por el teorema y la descomposición de Zeckendorf como base de un esquema creativo para la composición de música polifónica, explorando la posibilidad de convertir en parámetros musicales tanto los números de Fibonacci que aparecen en las descomposiciones de Zeckendorf de los números naturales como las posiciones en la sucesión de esos componentes. Los autores se interesan especialmente en la correspondencia de las propiedades matemáticas de la sucesión de representaciones de Zeckendorf con características sonoras que pueden ser percibidas. El artículo incluye tres composiciones, “Zeckendorf Representations” nº 17, 18 y 19 que muestran el efecto de distintas musicalizaciones de este tipo.





Un problema de probabilidad

Para finalizar con una aplicación más del teorema de Zeckendorf, veamos una forma de resolver el problema de probabilidad planteado al final del anterior artículo:
Calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras sucesivas al lanzar una moneda n veces.
Como en muchos problemas de este tipo, es más fácil calcular la probabilidad de que no ocurra lo que se propone; en este caso de que no obtener dos caras seguidas al lanzar una moneda n veces.

Si representamos el resultado del lanzamiento de una moneda como “1” si sale cara y “0” si sale cruz, cada lanzamiento de una moneda n veces quedará representado por una secuencia de n cifras que pueden ser “0” ó “1”. Y viceversa, cada número binario de n cifras es la representación de un resultado. El número total de posibles resultados es 2n.

En esa correspondencia, se identifican los resultados sin dos caras seguidas con los números binarios de n cifras sin dos “unos” consecutivos. Es decir, con las representaciones de Zeckendorf que utilizan n cifras. Los números que pueden ser representados así son: 0,1,2,3,4,…,F(n+2)-1, considerando que F(i) indica el número que ocupa la posición i en la sucesión de Fibonacci, F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=5,…, es decir F(n+2) números.

Por lo que la probabilidad de no obtener dos caras consecutivas al lanzar n veces una moneda es: F(n+2)/2n y la probabilidad de obtener al menos dos caras consecutivas al lanzar n veces una moneda es: 1 - F(n+2)/2n

El problema y esta forma de resolverlo proceden de: J.R. Brown Jr., Zeckendorf’s theorem and some applications, Fibonacci Quart. vol. 2 Nº 3 (1964) 162–168


Qué son las Matemáticas y para qué sirven

El teorema de Zeckendorf es un resultado que, en su humildad matemática, manejando conceptos y procedimientos de demostración elementales puede servir de modesto ejemplo que encierra buena parte de la esencia de las Matemáticas: conocimiento expresado en forma de enunciados abstractos cuya veracidad es necesario demostrar y aplicación de esos resultados en diferentes campos, donde elementos en principio muy diversos comparten una estructura común atrapada en la abstracción. Algunas de esas aplicaciones solucionan problemas ya existentes, otras producen algo nuevo.


Acaba aquí un recorrido que comenzó buscando juegos de magia matemática para interesar al alumnado en la útima sesión de clase antes de comenzar unas vacaciones de Navidad. Ha estado bien el paseo.


24 enero 2022

No es brujería. ¡Son Matemáticas!

La magia de un teorema con nombre de aficionado a las sucesiones numéricas

 
Un teorema puede provocar sorpresa y admiración entre los matemáticos profesionales o las personas con sensibilidad y conocimientos matemáticos. Para epatar a todo tipo de público, qué mejor que convertir el teorema en un truco de magia.

Las cartas mágicas de Brousseau
 
Eso es lo que propuso el matemático americano Alfred Brousseau (1907-1988), cofundador en 1963 de la "Fibonacci Association", en el artículo "Fibonacci Magic Cards" publicado en 1972 en la revista "Fibonacci Quarterly".
 
Blogdemaths recoge la idea de Brousseau y la presenta de forma mucho más atractiva en el artículo "Un tour de magie mathématique…", en el que proporciona una versión imprimible de las "cartas mágicas" a utilizar y varias sugerencias de puesta en escena. Marta Macho explica con su maestría de siempre la mecánica del juego y su fundamento matemático en "La magia del teorema de Zeckendorf" en la sección "Matemoción" de "Cuaderno de Cultura Científica" de la UPV/EHU. Es a través de ese blog como he llegado a este truco "matemágico".
 
Miguel Ángel Olalla, en el blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, teniendo en cuenta que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas, -según se presenten, claro- añade una vuelta de tuerca al juego para hacerlo más interesante.
 
Completamente seducido por el truco y su contenido matemático, lo suelo usar con el alumnado del IES Samaniego - Laguardia BHI como muestra del lado lúdico de las Matemáticas. Para su puesta en escena comenzamos utilizando varias veces tarjetas de papel con las "cartas mágicas" y en posteriores repeticiones del juego usamos esta hoja de cálculo. Para profundizar en las mates del truco utilizamos esta otra hoja de cálculo.

El teorema de Zeckendorf

El fundamento matemático de este truco fascinante es sencillo y se conoce como "Teorema de Zeckendorf":
"Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos".
A esa escritura única se le llama la "Representación de Zeckendorf" del número en cuestión.

Cabe recordar que la sucesión de Fibonacci comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”. Cuando se relaciona con la representación de Zeckendorf, para lograr que sea de forma única, se considera que la secuencia de Fibonacci empieza con los números 1 y 2.

La sucesión de Fibonacci además de estar relacionada con numerosos conceptos matemáticos aparece por todas partes en la naturaleza, en las ciencias sociales, en el arte, y sí, también en la magia.


El teorema debe su nombre al médico, oficial del ejército belga y aficionado a las Matemáticas, Edouard Zeckendorf (1901-1983) que 1972 publicó el artículo "Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas".

En realidad el resultado ya había sido publicado 20 años antes por el matemático holandés Gerrit Lekkerkerker (1922 -1999) en su etapa en el CWI (Centrum Wiskunde & Informatica - Instituto Nacional de Investigaciones en Matemáticas e Informática) de Amsterdam. Y completado y generalizado en 1960 por David E. Daykin, matemático inglés, profesor en la Universidad de Reading entre 1956 y 1998. Según Ron Knott, Zeckendorf menciona que lo demostró en 1939 pero que no lo publicó hasta 1972.

Que este teorema se haya quedado con el nombre de un aficionado a las series numéricas y no con el del profesor de la Universidad de Amsterdam, especialista en teoría de números, que lo publicó por primera vez, es un curioso ejemplo de la ley de la Eponimia de Stigler.

Usos didácticos en ESO y Bachillerato

La demostración del teorema puede hacerse por inducción utilizando matemáticas elementales. Aunque es excesivamente compleja para estar al alcance de la mayoría del alumnado de Bachillerato, sí puede ser apropiada para un "Taller de desarrollo del pensamiento matemático" con alumnos avanzados.

El resultado establecido por el teorema utiliza conceptos sencillos que deberían hacerlo comprensible por la mayoría del alumnado de segundo ciclo de la ESO y de Bachillerato, lo que permite su explotación didáctica.

RepresentacionDeZeckendorf.xlsx
Proponer la búsqueda de varias descomposiciones distintas de un entero positivo como suma de números de Fibonacci y su representación de Zeckendorf puede ser un buen ejercicio y una oportunidad para profundizar en el concepto de sistema de numeración. Tratar de sumar o multiplicar números en "base Fibonacci" obliga a plantearse la relación entre los algoritmos tradicionales y el sistema decimal posicional. Tratar de modelizar el algoritmo de la representación de Zeckendorf con un lenguaje de programación o con una hoja de cálculo puede ser un buen modo de trabajar la competencia matemática y la digital; lo mismo que diseñar un algoritmo para encontrar todas las descomposiciones de un entero positivo como suma de números de la sucesión de Fibonacci.

R. Knott, del Departamento de Matemáticas de la universidad inglesa de Surrey, ofrece en las secciones "You Do The Maths.." de "Using the Fibonacci numbers to represent whole numbers" unas actividades de investigación de distintos niveles de dificultad muy inspiradoras.

Por otra parte, el teorema es un buen ejemplo para matizar los términos "existencia" y "unicidad" y la dependencia de las condiciones enunciadas.

El "Nim de Fibonacci"

Dada su relación con la sucesión de Fibonacci, no es de extrañar que el teorema de Zeckendorf cuente con numerosas aplicaciones en ámbitos muy diversos.

El juego “Nim de fibonacci” es una variante del juego Nim apta para todo tipo de público a la que se le puede sacar partido matemático con el alumnado de ESO y Bachillerato. Participan dos jugadores que deben ir retirando de forma alterna fichas de un montón hasta que no queda ninguna, ganando el último jugador que retira fichas.

Las reglas del juego son las siguientes:
  • En cada jugada se debe retirar al menos una ficha.
  • En la primera jugada no se puede retirar todas las fichas.
  • Un jugador no puede retirar más del doble de fichas que el otro jugador en la jugada anterior.

Se trata de un juego en el que si el número inicial de fichas es un número de Fibonacci el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, y si no lo es, la tiene el primer jugador. Dicho de otra forma, el jugador que tiene que retirar fichas de una cantidad que es número de Fibonacci pierde si el otro juega bien.

La estrategia ganadora consiste en retirar una cantidad de fichas igual al número de Fibonacci más pequeño que aparece en la representación de Zeckendorf de la cantidad de fichas que hay:
Supongamos que el número de fichas del comienzo del juego, N, no es un número de Fibonacci.
  1. Descomponemos mentalmente N como suma de números de Fibonacci no consecutivos. Retiramos tantas fichas como el número más pequeño de la descomposición anterior.
  2. El oponente juega según las reglas.
  3. Al volver a ser nuestro turno, si las reglas del juego lo permiten, retiramos todas las fichas y ganamos. De lo contrario, volvemos a aplicar la estrategia anterior (1).
Esta estrategia ganadora fue publicada en 1963 por Michael J. Whinihan en el artículo "Fibonacci Nim" de la revista "Fibonacci Quarterly".

Jean-Paul Davalan ha desarrollado un simulador que permite practicar con el Nim de Fibonacci.

Un problema de probabilidad

Para finalizar dejamos planteado un problema:
Calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras sucesivas al lanzar una moneda n veces.
Como pista diremos que, no podía ser de otra manera en el contexto en el que nos encontramo, una de las formas más elegantes de llegar a la solución se basa en la aplicación del teorema de Zeckendorf.


En un segundo artículo veremos la solución a este problema y otras aplicaciones tecnológicas y artísticas del teorema de Zeckendorf.

Para saber +:

- Henderson, Nik. (2016). What is Zeckendorf's Theorem? The Ohio State University. Recuperado el 28 de diciembre de 2021, de https://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/henderson_zeckendorf.pdf

03 enero 2022

Rubayat para un año que comienza

La invitación epicúrea de Omar Jayyam en sus célebres cuartetos puede ser una excelente sugerencia inspiradora de propósitos de principio de año.

No hay que dejar que la tristeza el corazón consuma,
ni que hiera un lastre de dolor la hora gozosa.
¿Quién conoce lo oculto y su destino?
Hay que cumplir deseos, gozar de amante y vino.

Yo nada sé; el que me creó,
hombre del infierno me hizo o del paraíso.
Una copa, una hermosa y un laúd a la orilla del campo,
estas tres cosas para mí al contado, y para ti el cielo prometido.

Pues nadie puede vencer al mañana,
mantén ahora alegre ese corazón loco.
Bebe vino a la luz de la luna, ¡oh luna!, que la luna
por más que ilumine no dará con nosotros.

Entiende que te apartarás del espíritu,
envuelto en el velo de los secretos del no ser irás.
Bebe vino, no sabes de dónde has venido.
Sé alegre, no sabes adónde irás.

Dicen que el que lleva una vida ascética
se levantará del modo en que se muera.
Con vino y amantes sin cesar estemos,
pues así, del hoyo, nos levantaremos.

Edmund J. Sullivan
Wikimedia Commons

Los Rubayat elegidos son algunos de los numerosos cuartetos del poeta persa en los que aparece el vino como símbolo del disfrute de la vida. Son claros ejemplos del escéptico convencimiento de Jayyam de la imposibilidad de dar respuesta a las grandes preguntas del ser humano, de su epicúrea defensa de una vida simple con el placer y el disfrute del momento presente como principales objetivos, y de su agnóstico alejamiento de la ortodoxia religiosa dominante en su entorno. También de su sentido del humor al mostrarse descreído sobre la existencia después de la muerte.

Omar Jayyam

Omar Ibn Ibrahim Jayyam, fue un astrónomo, matemático, filósofo, gran erudito y poeta persa. Nació en 1048 E.C. en Nishapur, provincia de Korasán, actualmente noreste de Irán y murió en 1131 E.C. en la misma ciudad. Librepensador, materialista y heterodoxo, es una de las figuras más fascinantes de la cultura medieval islámica.

Omar Khayyam's 971st Birthday - Doodle
Como astrónomo, dirigió la reforma del calendario persa de raíces zoroastrianas. En el año 1074 E.C., Jayyam fue requerido por el sultán Malik Shah a Isfahán para crear un observatorio astronómico y reformar el calendario solar persa. Las nuevas observaciones del movimiento del sol permitieron medir con más precisión la duración del año solar. El primer día del nuevo almanaque se hizo coincidir con el equinoccio de primavera del año 1079 E.C. El calendario reformado, denominado Jalali, por el patronímico del sultán que ordenó la reforma, sigue vigente actualmente en Irán; se estructura en ciclos de 33 años con intercalación de un año bisiesto quinquenal y otros siete cuatrienales, lo que hace que sea más preciso que el calendario gregoriano usado hoy en día en la mayoría de países.

Como matemático, Omar Jayyam representa la fusión de la herencia derivada de fuentes indias y persas con la proveniente de fuentes helenísticas. Su aportación algebraica más original fue la resolución sistemática de las ecuaciones de tercer grado empleando el trazado de curvas cónicas para determinar el número de raíces reales y evaluarlas aproximadamente. También escribió acerca de la disposición en triángulo de los coeficientes del desarrollo de la potencia con exponente natural de un binomio, conocido hoy en día en occidente como triángulo de Pascal o de Tartaglia. Estudió los “Elementos” de Euclides tratando en profundidad el famoso “postulado de las paralelas” y la teoría de las proporciones; llegando a ampliar el concepto de número hasta incluir en él los números irracionales positivos. Como curiosidad, en Jayyam está el origen del tradicional uso de la “x” para designar a la incógnita en las ecuaciones.

Su erudición le llevó también a escribir tratados de música, física, economía, leyes, historia y filosofía, llegando en su época a gozar de gran prestigio por sus extensos conocimientos pero siendo prácticamente desconocida su poesía. Según algunos estudiosos de Jayyam, fue una poesía llevada a cabo en secreto, en la que se reflejan todos sus conocimientos y reflexiones vitales y en la que su contenido descreído y hedonista pudo desaconsejar su publicación en vida del autor.

Rubayat

La difusión de la obra poética de Jayyam en occidente fue provocada por la traducción, o más bien reinterpretación, de sus Rubayat por el poeta inglés Edward Fitzgerald en 1859. Desde entonces ha gozado de una popularidad inmensa.

“Rubayat” es la palabra persa plural de “rubai”, nombre de una forma métrica breve que consiste en dos versos partidos por la mitad, es decir, en cuatro hemistiquios, que riman el primero, segundo y cuarto, quedando libre el tercero. En esta breve estructura se plantea y desarrolla un tema que alcanza su punto culminante en el último medio verso.

Los Rubayat elegidos han sido extraídos de la traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí publicada por Alianza Editorial en 2006. En el prólogo, Clara Janés, al reflexionar sobre lo apropiado de esta forma métrica para el enunciado de conceptos lapidarios y rotundos menciona cómo en los Rubayat de Jayyam el lector siente que “es toda una concepción de la vida, con sus premisas, desarrollo y conclusión, lo que encierran los cuatro versos que tiene delante” y utilizando palabras de María Zambrano indica que han sido enunciados “como quien lanza una bomba, el escritor arroja fuera de sí … el secreto hallado”. Con perspectiva matemática podría decirse “como la primera demostración de un teorema que progresa desde la hipótesis para concluir en la nueva verdad hasta entonces oculta”.

Para saber +:

- Omar Jayyam. Rubayat. Traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí. Prólogo de Clara Janés Alianza Editorial. Madrid 2006.
- Juan Martos Quesada. Vida y pensamiento de Omar Jayyam
- Sociedad Española de Iranología (SEI). Una breve reflexión sobre el calendario iranio.
- Salomo. La ecuación cúbica: El trabajo de Omar Al Khayyam.  (Libro GeoGebra).
- Mª Camila Espinosa. La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Kayyam.
- Ricardo Moreno Castillo. Omar Jayyam. Poeta y matemático. Ed. Nivola. Madrid. 2002.

10 noviembre 2021

Relaciones de recurrencia en Desmos

Ejemplos de uso de objetos Desmos de tipo "regla de actualización" y "contador"

 
Lo que hace algún tiempo fueron características "poco documentadas" de Desmos, como objetos de los tipos "simulaciones" o "clicables", desde agosto de 2021 están soportadas oficialmente, quedando integradas en lo que Desmos ha denominado "Actions".
 
"Actions" proporcionan en Desmos una forma de reaccionar ante eventos, como clics o lapsos de tiempo. Un objeto tipo "Actions" se compone de una o más reglas de actualización, cada una de las cuales especifica un nuevo valor para una variable, dependiendo de un evento específico dentro de la lista de expresiones o en el área de representación gráfica.
 


Relaciones de recurrencia

Una de las aplicaciones de "Actions" más elementales, y de implementación muy sencilla, es utilizar reglas de actualización para generar sucesiones numéricas definidas por relaciones de recurrencia.
 
Por ejemplo este escenario que genera la sucesión de Fibonnaci. O este otro que calcula el número e como límite de los términos de una sucesión y como límite de los términos de una serie (suma de los términos de una sucesión), comparando ambas formas.
 
También se pueden utilizar reglas de actualización para resolver algunos tipos sencillos de ecuaciones diferenciales aplicando métodos numéricos como el de Euler. Por ejemplo en esta simulación del modelo epidemiológico SIR de propagación de una epidemia.  

Para saber +:

- Desmos Help Center > Graphing Calculator > Advanced Features > Actions.