sábado, 4 de febrero de 2017

Las Matemáticas de los billetes en Euros

Desde el 1 de enero de 2002 los billetes y monedas en euros forman parte de la vida cotidiana de los más de trescientos millones de ciudadanos de la zona del euro. Los billetes, que plasman los estilos arquitectónicos representativos de siete épocas de la historia cultural europea, son idénticos para todos los países miembros de la eurozona.

Existen billetes en euros por valor de 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500 euros.

Las monedas y billetes en euros entraron en circulación el 1 de enero de 2002. Los billetes de la nueva serie, llamada «Europa», están siendo introducidos de forma gradual a lo largo de varios años, comenzando por el billete de 5 euros, puesto en circulación en mayo de 2013, el de 10 euros en septiembre de 2014 y el de 20 euros en noviembre de 2015. Posteriormente se seguirá el mismo proceso con el resto de billetes de euro, por orden creciente de valor.

Números de serie de los billetes de la primera serie 

Cada billete en euros de la primera serie es identificado por su número de serie impreso en la parte superior derecha y en la inferior izquierda del reverso.

El número de serie está formado por una letra seguida de una cadena de 11 dígitos. La letra indica el país del banco central que encargó la impresión de dicho billete, que no es necesariamente el banco del país en que se fabricó. La correspondencia entre letras y países figura en la tabla 1.

Por ejemplo, el billete de la imagen, con un número de serie que comienza por la letra «V», fue fabricado por encargo del Banco de España.

Como sistema de detección de errores, los números de serie tienen que cumplir dos condiciones:
  1. Si sustituimos la letra del número de serie por su posición en el alfabeto internacional, en el que no aparece la Ñ, (A=1, B=2, C=3,…,V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26) y dividimos el nuevo número de serie por 9, debe dar siempre como resto 8. Por ejemplo, en el billete V26075846857, sustituimos la V por 22 y obtenemos el número de serie 2226075846857. Al dividir 2.226.075.846.857:9 da como cociente 247.341.760.761 y de resto 8.
  2. Al dividir entre 9 el número formado por los 11 dígitos, debe dar como resto el indicado en la tabla 1 en la columna “Suma de verificación” de la fila correspondiente a la letra inicial del número de serie. Por ejemplo, en el billete V26075846857, 26.075.846.857:9 da como cociente 2.897.316.317 y de resto 4, que aparece en la tabla 1 en la fila de España.
En las actividades profundizaremos en este sistema de detección de errores e intentaremos descubrir algunas propiedades interesantes.

Números de serie de los billetes de la serie Europa (Billetes de 5, 10, y 20 €)

Los números de serie de los billetes de la serie Europa son los dos números impresos en el reverso: uno en la parte superior derecha, en horizontal, en negro, y otro en el centro, en vertical, en otro color.

El número horizontal consta de dos letras y diez dígitos. Ya no existe el código de país. La primera letra identifica a la fábrica de billetes. La correspondencia entre letras y fábricas aparece en la tabla 2. La segunda letra no tiene ningún significado concreto, simplemente hace posible que haya más números de serie. El número vertical y más corto, está formado por los últimos 6 dígitos del número de serie horizontal.

En las actividades estudiaremos si el número de serie de los billetes de la serie Europa incluye algún sistema de detección de errores semejante al de la primera serie de billetes.







Actividades

Estos son algunos ejemplos de números de serie de billetes en euros para que puedas hacer comprobaciones y formular conjeturas:



Billetes de la primera serie 

1.- Comprueba el funcionamiento del sistema de detección de errores en el número de serie de varios billetes. Por ejemplo, comprueba que se cumplen las condiciones a) y b) en los billetes de 5 euros de la serie 2002 de la tabla 3.

2.- Se te ocurre alguna forma rápida de hallar, utilizando una calculadora, el resto de dividir un número entre 9. Puedes probar con números pequeños para formular una conjetura e intentar justificarla después.

3.- ¿Recuerdas el criterio utilizado para saber si un número es divisible por 9?

4.- Se te ocurre alguna forma rápida de hallar mentalmente el resto de dividir un número entre 9.

5.- Fíjate en los números de serie de los billetes de 10 € que empiezan por X de la tabla 3. ¿Observas algo especial? Puedes llegar a establecer un patrón que se repita. ¿Cuántos billetes hay entre los que tienen número de serie X53918260706 y X53918260751, ellos incluidos? ¿Cuántos billetes hay que tengan número de serie que comience por X539182607? ¿Y cuántos que comience por X53918260? Trata de buscar una regla general.

6.- Fíjate en los números de serie de los billetes de 500 € que empiezan por X de la tabla 3. ¿Observas algo especial? Sin hacer ninguna operación matemática ¿puedes llegar a alguna conclusión interesante?

7.- Invéntate un nº de serie de un billete encargado por el banco de Bélgica. Otro encargado por el banco de Portugal. Otro encargado por el banco de Irlanda.

8.- Invéntate un nº de serie que parezca el de un billete (una letra seguida de una cadena de 11 dígitos) y que puedas asegurar que es imposible que haya un billete que lo tenga.

9.- Teniendo en cuenta que los números de serie no pueden repetirse, ¿cuántos billetes de la primera serie se podrían llegar a imprimir?
10.- ¿Puede cumplir el número de serie de un billete la condición a) de detección de errores mencionada anteriormente y no cumplir la condición b)? ¿Y al revés? ¿Por qué?

11.- Alguien ha emborronado el último dígito del número de serie de un billete que comienza por X5391826075 ¿Cuál es la cifra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete que comienza por X5391826076 ¿Podrías decir cuál es la cifra ilegible en este caso?

12.- También hemos encontrado un billete que tiene emborronados los dos últimos dígitos del número de serie que comienza por P123456789 ¿Cuáles son las cifras tachadas?

13.- Y también hemos detectado un billete, fabricado en el año 2002, con la letra de su número de serie emborronada. Los  once dígitos del número de serie son  46789402142 ¿Cuál es la letra tachada? (Pista: Lituania ingresó en la zona del euro el 1 de enero de 2015). Ha pasado lo mismo en otro billete en el que vemos 36892747759 ¿Podrías decir cuál es la letra en este caso?

14.- Trata de inventar algún truco “matemágico” utilizando tus descubrimientos.

Billetes de la serie Europa

1.- Usando los números de serie de los billetes de la serie Europa de la tabla 3, comprueba si en este caso se cumple, como sistema de detección de errores, una condición semejante a la condición a) de los billetes de la primera serie.

2.- Comprueba también si se cumple una condición semejante a la condición b).

3.- Invéntate un nº de serie de un billete fabricado por la “Banque Nationale de Belgique”. Otro fabricado por “Valora” que es la fábrica de billetes de Portugal. Otro fabricado por el “Central Bank of Ireland”.

4.- Invéntate un nº de serie que parezca el de un billete (dos letras seguidas de una cadena de 10 dígitos) y que puedas asegurar que es imposible que haya un billete que lo tenga.

5.- Teniendo en cuenta que los números de serie no pueden repetirse, ¿cuántos billetes de la serie Europa se podrían llegar a imprimir? ¿Es un número mayor o menor que el de la primera serie?

6.- Alguien ha emborronado el último dígito del número de serie de un billete que comienza por PA234567890 ¿Cuál es la cifra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete que comienza por SD724472093 ¿Podrías decir cuál es la cifra ilegible en este caso?

7.- También hemos detectado un billete con la primera letra de su número de serie emborronada. El resto del numero de serie es  B6789402147 ¿Cuál es la letra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete en el que vemos C6892747758 ¿Podrías decir cuál es la letra en este caso?

8.- Si llegaste a inventar algún truco “matemágico” con los billetes de la primera serie ¿sigue funcionando bien con los billetes de la serie Europa?

9.- La web contraposicion.org publicó el 17 de junio de 2013 un artículo (https://contraposicion.org/2013/06/17/exploracion-del-nuevo-billete-jose-maria-barja-perez/) sobre el nuevo billete de 5 euros que fue publicado de nuevo al día siguiente por la web www.mundiario.com (http://www.mundiario.com/articulo/economia/el-nuevo-billete-de-5-euros-lleva-9-acronimos-del-banco-central-en-vez-de-los-5-anteriores-2/20130618111204003821.html). En ese artículo puede leerse:
“parece mantenerse que la “reducción a una cifra” sigue siendo 8; lo cual no se encuentra en la documentación publicada, pero se cumple en al menos una media docena de casos comprobados personalmente. Esa evidencia experimental no tiene valor probatorio en matemáticas”.
Con “reducción a una cifra” se refiere al método de sumar las cifras de un número para calcular el resto obtenido al dividir entre 9. ¿Te parece correcta la información publicada por estas webs?¿Por qué?

10.- Los códigos de detección de errores aparecen con frecuencia en otros escenarios de la vida cotidiana. Por ejemplo, la letra del NIF y el DC (dígito de control) de las cuentas corrientes cumplen esta función. También los códigos de barras llevan incorporado uno. Si te interesa este tema, es fácil encontrar información sobre ello en internet.

Descarga de documentos:

- Puedes descargar esta actividad en formato MS Word aquí.
- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja Excel que facilita los cálculos aquí.