sábado, 24 de mayo de 2014

Haciendo Geometría con regla y compás

Regla y Compás: Geometría dinámica para las construcciones clásicas.


¿Qué es Regla y Compás?

Regla y Compás, R.y.C. (en sus versiones originales: Z.u.L. Zirkel und Lineal en alemán y C.a.R. Compass and Ruler en inglés) es un software de geometría dinámica cuyo origen está en la simulación de la construcción de figuras geométricas con una regla y un compás. Las últimas versiones van mucho más allá incorporando otros tipos de curvas y funciones que permiten realizar construcciones de mayor complejidad hasta en tres dimensiones y explorar las geometrías elíptica e hiperbólica. Se trata de una herramienta potente y muy fácil de usar, desarrollada por Rene Grothmann, profesor en la Universidad Católica de Eichstätt, Alemania. Está especialmente orientado a la docencia y el aprendizaje de la Geometría en todos los niveles, desde los últimos cursos de educación infantil hasta la universidad.
 
En términos técnicos, R.y.C. es un sistema de geometría dinámica (DGS, Dynamic Geometry System), escrito en Java, que puede ser usado tanto localmente como en línea. Se distribuye gratuitamente bajo licencia de código abierto GPL y se encuentra en continuo desarrollo. La versión inicial fue desarrollada en C en 1989, la primera en Java data de 1996. La última versión disponible es la 12 publicada el 30/08/2013. R. Grothmann desarrolla las versiones originales en alemán e inglés y distintos colaboradores las traducen a otros idiomas. Está disponible en castellano gracias a la traducción de Martín Acosta.


Algunas de sus características más interesantes son:
  • Permite interactuar con una construcción arrastrando los puntos básicos que la definen, lo que permite experimentar para comprender sus relaciones geométricas, comprobar su corrección y obtener nuevos conocimientos.
  • Es posible agrupar conjuntos de instrucciones en macros que permite simplificar las construcciones más complejas. Desde un punto de vista didáctico las macros ayudan a organizar el pensamiento geométrico.
  • Permite ocultar algunos detalles y utilizar colores para facilitar la interpretación de las construcciones.
  • Incorpora una amplia biblioteca de curvas y funciones que permiten realizar construcciones en 3D y explorar las geometrías elíptica e hiperbólica.

  • Aporta muchas posibilidades didácticas al permitir crear ejercicios para proponer que sean resueltos. Los ejercicios pueden ser utilizados localmente o en un servidor. Puedes hacer clic aquí para ver un ejemplo.
  • Las construcciones y ejercicios se guardan en archivos con un formato abierto basado en XML y se pueden incrustar en páginas HTML.
  • Permite exportar los gráficos en varios formatos: PNG, LaTeX, EPS y PDF. Está disponible en numerosos idiomas.

¿Qué necesita para funcionar?
  • Se distribuye gratuitamente bajo licencia de código abierto GPL.
  • Está desarrollado en Java por lo que necesita que el equipo tenga instalada una máquina virtual de Java (JVM). Puedes descargarla aquí.
  •  Es multiplataforma, funciona en sistemas para los que esté disponible la máquina virtual de Java: Windows, Linux, Mac, ... 
  • Se trata de un único archivo Java (zirkel.jar) que no necesita instalación, siendo totalmente portable.

CARMetal

El hecho de que R. Grothmann distribuya R.y.C. bajo licencia de código abierto GPL ha posibilitado la aparición de software derivado que se distribuye bajo la misma licencia. El ejemplo más destacado es CaRMetal que recoge las prestaciones de R.y.C. proponiendo un cambio importante en la forma de acceder a las mismas.

Desde el punto de vista de la interfaz de usuario, desarrollado desde febrero de 2006 por Eric Hakenholz (profesor de Matemáticas en Millau, Francia), CARMetal ofrece un enfoque muy diferente, basado en el concepto de manipulación directa. La interfaz ha sido diseñada prestando especial atención a las implicaciones didácticas que supone al influir en la forma en la que los alumnos elaboran sus conceptos geométricos.

CaRMetal está disponible gratuitamente bajo licencia de código abierto GPL en varios idiomas entre ellos en castellano.

Más información:

R.y.C.
- Sitio oficial de R.y.C. en inglés: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/index.html
- Sitio en castellano mantenido por Marcos Alejo Sandoval: http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/
- Sitio en portugués mantenido por Humberto José Bortolossi: http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/
- Descargas:
   - Versión oficial: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/download.html
   - Mirror en castellano: http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/RyC_Installers/ryc11/zirkel.jar
- Documentación:
   - En castellano: http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/Dokumentation/index_es.html
   - En inglés: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/Documentation/index.html
- Tutorial interactivo:
   - En castellano: http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/Tutorial/Tutorial_es.html
   - En inglés: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/Tutorial/index.html
- Ejemplos:
   Ordenados por características del programa:
   - En castellano: http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/Demos/index_es.html
   - En inglés: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/Demos/index.html
   Ordenados por temas de aplicación:
   - En inglés: http://car.rene-grothmann.de/doc_en/Data/Applications/index.html
- Información sobre Prof. Rene Grothmann en la web de la Universidad Católica de Eichstätt, Alemania: http://www.ku.de/mgf/mathematik/grothmann/anschrift/

CARMetal
- Sitio oficial de CARMetal: http://carmetal.org/
- Descarga: http://carmetal.org/index.php/telecharger
- Artículo en la Wikipedia (en francés): http://fr.wikipedia.org/wiki/CaRMetal

Construcciones con regla y compás
- Artículo en la Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s  

lunes, 12 de mayo de 2014

Vinos, computación y números primos

Las botellas de vino más caras de todos los tiempos.


Al pensar en vinos caros, lo primero que suele venir a la cabeza son vinos de bodegas y añadas legendarias o botellas que pertenecieron a personajes ilustres, pero difícilmente se nos ocurriría relacionar el desorbitado coste de unas botellas de vino, entre las más caras de la Historia, con los números primos. Se trata de una historia curiosa relacionada con la hipótesis de Riemann de la que da cuenta Marcus du Sautoy en su excelente y emocionante libro "La música de los números primos".

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es uno de los problemas abiertos más importantes en las Matemáticas contemporáneas por su relación con las reglas que sigue la aparentemente caótica distribución de los números primos en el conjunto de los números naturales. Se trata en realidad de una conjetura propuesta por Bernhard Riemann en 1859 y formulada técnicamente en términos de cómo se distribuyen los ceros de una función matemática a la que se ha denominado función zeta de Riemann , extensión de la función zeta de Euler, utilizada por Dirichlet y relacionada con la armonía descubierta por Pitágoras en los números 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 

Bernhard Riemann (1863)
Siguiendo a Sautoy, podemos contemplar la función zeta como un paisaje donde su valor marca la altitud de cada punto del terreno sobre el nivel del mar. El territorio de este paisaje no tiene límites y en la mayor parte de sus puntos es muy laborioso determinar su altitud. Sabemos que hay infinitos puntos que se encuentran exactamente al nivel del mar y que de ellos, los más interesantes deben ocupar una estrecha franja, la hipótesis de Riemann conjetura que la franja es tan estrecha que se reduce a una línea recta.

Los intentos realizados hasta la fecha por demostrar esta conjetura constituyen uno de los mejores ejemplos para comprender lo que significa "demostración" en Matemáticas e incluso para entender la esencia misma de las Matemáticas. La hipótesis de Riemann es uno de los siete "problemas del milenio" y el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un premio de un millón de dólares a la primera persona que sea capaz de demostrar su veracidad o falsedad.

La hipótesis de Riemann ha sido también uno de los escenarios donde se han puesto de manifiesto las complejas y polémicas relaciones entre Computación y Matemáticas. Es aquí donde tiene lugar nuestra historia de, probablemente, las botellas de vino más caras de todos los tiempos.

La apuesta

Los acontecimientos se desarrollan durante los años 70 y primeros 80 del siglo XX. Al principio de la década de los 70 el ordenador electrónico comienza a revelarse entre los matemáticos, no sin polémica, como aliado precioso en la exploración de su mundo numérico. Con la fórmula secreta que Siegel había descubierto en 1932 entre los apuntes inéditos de Riemann y los cada vez más potentes ordenadores se podían calcular de forma precisa y eficiente la posición de cada vez más ceros en el paisaje zeta.

Don Zagier (2013)
Dos son los protagonistas. Don Zagier, en aquella época investigador del Max Planck Institut für Mathematik de Bonn y uno de los principales representantes de los matemáticos escépticos sobre la veracidad de la hipótesis de Riemann. Le exasperaba el deseo planteado por algunos de creer en la hipótesis de Riemann sobre la base de razones puramente estéticas: un cero que cayera fuera de la recta hubiera representado una fealdad en aquel paisaje maravilloso. El otro, Enrico Bombieri, profesor en Italia desde donde más tarde se trasladaría a Princeton, que representaba el prototipo de los que creían ciegamente en la hipótesis de Riemann. Seguidor de Guillermo de Occam defendía que "cuando hay que elegir entre dos explicaciones, siempre hay que inclinarse por la más simple". Según Zagier, para Bombieri la certeza de la hipótesis de Riemann era un acto de fe religiosa.

Enrico Bombieri (2006)
En una visita de Bombieri al Instituto Max Planck de Bonn el enfrentamiento con Zagier fue inevitable, quien no dejó escapar la oportunidad de retarle a una apuesta. Bombieri ganaría tanto en el caso de que se encontrara una demostración de la hipótesis de Riemann como en el caso de que se calcularan las posiciones de los primeros 300 millones de ceros sin que apareciera un contraejemplo. La recompensa, dos botellas del mejor vino de Burdeos que elegiría el ganador.

Zagier conocía la evolución de los cálculos. La máquina de Turing se había estropeado en 1953 tras calcular los primeros 1.104 ceros. En 1956, en California, Derrick Lehmer había conseguido verificar con sus máquinas 25.000 ceros. A finales de los años sesenta ya se habían confirmado los primeros 3.500.000 ceros. Zagier era consciente de que los ordenadores de los primeros años setenta no eran capaces de calcular tantos ceros y estimó que serían necesarios al menos treinta años para llegar a calcular 300 millones. No contaba con la revolución informática que estaba a punto de producirse.

Durante los siguientes cinco años la potencia de los ordenadores creció lentamente y se calcularon sólo el doble de ceros. Posteriormente los ordenadores empezaron repentinamente a ir mucho más deprisa y dos equipos aceptaron el reto de explotar la nueva e inédita potencia de cálculo para establecer las posiciones de otros ceros. Un equipo bajo la dirección de Herman te Riele que trabajaba en Amsterdam y otro australiano dirigido por Richard Brent. Brent anunció en 1978 que los primeros 75 millones estaban en la recta. En aquel momento el equipo de Amsterdam unió sus fuerzas a las del equipo de Brent y en 1982 los dos equipos publicaron un trabajo conjunto dando cuenta de que habían calculado hasta ¡200 millones! Al conocerlo Zagier suspiró aliviado convencido de que pasarían muchos años hasta que volvieran a intentarlo, supuso que no seguirían adelante para avanzar solo un 50%. Todos tendrían que esperar hasta alcanzar los 1.000 millones.

Desgraciadamente Zagier no había contado con que su propio amigo Hendrik Lenstra, que conocía la apuesta y se encontraba en Amsterdam, se entrevistaría con Herman te Riele para poner en su conocimiento que si llegaban a 300 millones Zagier perdería la apuesta. Entonces el equipo continuó hasta llegar a calcular en 1983 los 300 primeros millones de ceros sin hallar ningún contraejemplo. Zagier tuvo que pagar la apuesta, llevó las dos botellas a Bombieri y se bebieron juntos una de ellas.

El mismo Zagier insistió en hacer notar que aquella era probablemente la botella más cara que nunca nadie hubiera bebido, ya que para los últimos 100 millones de ceros (los 200 primeros se habían calculado independientemente) se habían dedicado unas 1.000 horas de cálculo. En aquellos tiempos el coste del tiempo de computación era de unos 700$ por hora lo que supuso que aquellas 2 botellas costaran 350.000$ cada una. Desafortunadamente Marcus du Sautoy no nos informa de la bodega y añada del vino con el que se pagó la apuesta.

Podemos suponer que Zagier desconocía la ley de Moore o mantenía respecto a ella el mismo escepticismo que frente a la hipótesis de Riemann. Hasta la fecha el record de verificación de la conjetura de Riemann en una mayor cantidad de ceros se debe a Xavier Gourdon que en octrubre de 2004 publicó sus trabajos de cálculo de los 10 primeros trillones de ceros sin encontrar ningún contraejemplo.