No es brujería. ¡Son Matemáticas!

La magia de un teorema con nombre de aficionado a las sucesiones numéricas

 

Un teorema puede provocar sorpresa y admiración entre los matemáticos profesionales o las personas con sensibilidad y conocimientos matemáticos. Para epatar a todo tipo de público, qué mejor que convertir el teorema en un truco de magia.

Las cartas mágicas de Brousseau

 

Eso es lo que propuso el matemático americano Alfred Brousseau (1907-1988), cofundador en 1963 de la "Fibonacci Association", en el artículo "Fibonacci Magic Cards" publicado en 1972 en la revista "Fibonacci Quarterly".

 

Blogdemaths recoge la idea de Brousseau y la presenta de forma mucho más atractiva en el artículo "Un tour de magie mathématique…", en el que proporciona una versión imprimible de las "cartas mágicas" a utilizar y varias sugerencias de puesta en escena. Marta Macho explica con su maestría de siempre la mecánica del juego y su fundamento matemático en "La magia del teorema de Zeckendorf" en la sección "Matemoción" de "Cuaderno de Cultura Científica" de la UPV/EHU. Es a través de ese blog como he llegado a este truco "matemágico".

 

Miguel Ángel Olalla, en el blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, teniendo en cuenta que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas, -según se presenten, claro- añade una vuelta de tuerca al juego para hacerlo más interesante.

 

Completamente seducido por el truco y su contenido matemático, lo suelo usar con el alumnado del IES Samaniego - Laguardia BHI como muestra del lado lúdico de las Matemáticas. Para su puesta en escena comenzamos utilizando varias veces tarjetas de papel con las "cartas mágicas" y en posteriores repeticiones del juego usamos esta hoja de cálculo. Para profundizar en las mates del truco utilizamos esta otra hoja de cálculo.

El teorema de Zeckendorf

El fundamento matemático de este truco fascinante es sencillo y se conoce como "Teorema de Zeckendorf":

"Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos".

A esa escritura única se le llama la "Representación de Zeckendorf" del número en cuestión.

Cabe recordar que la sucesión de Fibonacci comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”. Cuando se relaciona con la representación de Zeckendorf, para lograr que sea de forma única, se considera que la secuencia de Fibonacci empieza con los números 1 y 2.

La sucesión de Fibonacci además de estar relacionada con numerosos conceptos matemáticos aparece por todas partes en la naturaleza, en las ciencias sociales, en el arte, y sí, también en la magia.

El teorema debe su nombre al médico, oficial del ejército belga y aficionado a las Matemáticas, Edouard Zeckendorf (1901-1983) que 1972 publicó el artículo "Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas".

En realidad el resultado ya había sido publicado 20 años antes por el matemático holandés Gerrit Lekkerkerker (1922 -1999) en su etapa en el CWI (Centrum Wiskunde & Informatica - Instituto Nacional de Investigaciones en Matemáticas e Informática) de Amsterdam. Y completado y generalizado en 1960 por David E. Daykin, matemático inglés, profesor en la Universidad de Reading entre 1956 y 1998. Según Ron Knott, Zeckendorf menciona que lo demostró en 1939 pero que no lo publicó hasta 1972.

Que este teorema se haya quedado con el nombre de un aficionado a las series numéricas y no con el del profesor de la Universidad de Amsterdam, especialista en teoría de números, que lo publicó por primera vez, es un curioso ejemplo de la ley de la Eponimia de Stigler.

Usos didácticos en ESO y Bachillerato

La demostración del teorema puede hacerse por inducción utilizando matemáticas elementales. Aunque es excesivamente compleja para estar al alcance de la mayoría del alumnado de Bachillerato, sí puede ser apropiada para un "Taller de desarrollo del pensamiento matemático" con alumnos avanzados.

El resultado establecido por el teorema utiliza conceptos sencillos que deberían hacerlo comprensible por la mayoría del alumnado de segundo ciclo de la ESO y de Bachillerato, lo que permite su explotación didáctica.

RepresentacionDeZeckendorf.xlsx

Proponer la búsqueda de varias descomposiciones distintas de un entero positivo como suma de números de Fibonacci y su representación de Zeckendorf puede ser un buen ejercicio y una oportunidad para profundizar en el concepto de sistema de numeración. Tratar de sumar o multiplicar números en "base Fibonacci" obliga a plantearse la relación entre los algoritmos tradicionales y el sistema decimal posicional. Tratar de modelizar el algoritmo de la representación de Zeckendorf con un lenguaje de programación o con una hoja de cálculo puede ser un buen modo de trabajar la competencia matemática y la digital; lo mismo que diseñar un algoritmo para encontrar todas las descomposiciones de un entero positivo como suma de números de la sucesión de Fibonacci.

R. Knott, del Departamento de Matemáticas de la universidad inglesa de Surrey, ofrece en las secciones "You Do The Maths.." de "Using the Fibonacci numbers to represent whole numbers" unas actividades de investigación de distintos niveles de dificultad muy inspiradoras.

Por otra parte, el teorema es un buen ejemplo para matizar los términos "existencia" y "unicidad" y la dependencia de las condiciones enunciadas.

El "Nim de Fibonacci"

Dada su relación con la sucesión de Fibonacci, no es de extrañar que el teorema de Zeckendorf cuente con numerosas aplicaciones en ámbitos muy diversos.

El juego “Nim de fibonacci” es una variante del juego Nim apta para todo tipo de público a la que se le puede sacar partido matemático con el alumnado de ESO y Bachillerato. Participan dos jugadores que deben ir retirando de forma alterna fichas de un montón hasta que no queda ninguna, ganando el último jugador que retira fichas.

Las reglas del juego son las siguientes:

• En cada jugada se debe retirar al menos una ficha.
• En la primera jugada no se puede retirar todas las fichas.
• Un jugador no puede retirar más del doble de fichas que el otro jugador en la jugada anterior.

Se trata de un juego en el que si el número inicial de fichas es un número de Fibonacci el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, y si no lo es, la tiene el primer jugador. Dicho de otra forma, el jugador que tiene que retirar fichas de una cantidad que es número de Fibonacci pierde si el otro juega bien.

La estrategia ganadora consiste en retirar una cantidad de fichas igual al número de Fibonacci más pequeño que aparece en la representación de Zeckendorf de la cantidad de fichas que hay:
Supongamos que el número de fichas del comienzo del juego, N, no es un número de Fibonacci.

1. Descomponemos mentalmente N como suma de números de Fibonacci no consecutivos. Retiramos tantas fichas como el número más pequeño de la descomposición anterior.
2. El oponente juega según las reglas.
3. Al volver a ser nuestro turno, si las reglas del juego lo permiten, retiramos todas las fichas y ganamos. De lo contrario, volvemos a aplicar la estrategia anterior (1).

Esta estrategia ganadora fue publicada en 1963 por Michael J. Whinihan en el artículo "Fibonacci Nim" de la revista "Fibonacci Quarterly".

Jean-Paul Davalan ha desarrollado un simulador que permite practicar con el Nim de Fibonacci.

Un problema de probabilidad

Para finalizar dejamos planteado un problema:

Calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras sucesivas al lanzar una moneda n veces.

Como pista diremos que, no podía ser de otra manera en el contexto en el que nos encontramo, una de las formas más elegantes de llegar a la solución se basa en la aplicación del teorema de Zeckendorf.

En un segundo artículo veremos la solución a este problema y otras aplicaciones tecnológicas y artísticas del teorema de Zeckendorf.

Para saber +:

- Henderson, Nik. (2016). What is Zeckendorf's Theorem? The Ohio State University. Recuperado el 28 de diciembre de 2021, de https://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/henderson_zeckendorf.pdf

Rubayat para un año que comienza

La invitación epicúrea de Omar Jayyam en sus célebres cuartetos puede ser una excelente sugerencia inspiradora de propósitos de principio de año.

No hay que dejar que la tristeza el corazón consuma,
ni que hiera un lastre de dolor la hora gozosa.
¿Quién conoce lo oculto y su destino?
Hay que cumplir deseos, gozar de amante y vino.

Yo nada sé; el que me creó,
hombre del infierno me hizo o del paraíso.
Una copa, una hermosa y un laúd a la orilla del campo,
estas tres cosas para mí al contado, y para ti el cielo prometido.

Pues nadie puede vencer al mañana,
mantén ahora alegre ese corazón loco.
Bebe vino a la luz de la luna, ¡oh luna!, que la luna
por más que ilumine no dará con nosotros.

Entiende que te apartarás del espíritu,
envuelto en el velo de los secretos del no ser irás.
Bebe vino, no sabes de dónde has venido.
Sé alegre, no sabes adónde irás.

Dicen que el que lleva una vida ascética
se levantará del modo en que se muera.
Con vino y amantes sin cesar estemos,
pues así, del hoyo, nos levantaremos.

Edmund J. Sullivan
Wikimedia Commons

Los Rubayat elegidos son algunos de los numerosos cuartetos del poeta persa en los que aparece el vino como símbolo del disfrute de la vida. Son claros ejemplos del escéptico convencimiento de Jayyam de la imposibilidad de dar respuesta a las grandes preguntas del ser humano, de su epicúrea defensa de una vida simple con el placer y el disfrute del momento presente como principales objetivos, y de su agnóstico alejamiento de la ortodoxia religiosa dominante en su entorno. También de su sentido del humor al mostrarse descreído sobre la existencia después de la muerte.

Omar Jayyam

Omar Ibn Ibrahim Jayyam, fue un astrónomo, matemático, filósofo, gran erudito y poeta persa. Nació en 1048 E.C. en Nishapur, provincia de Korasán, actualmente noreste de Irán y murió en 1131 E.C. en la misma ciudad. Librepensador, materialista y heterodoxo, es una de las figuras más fascinantes de la cultura medieval islámica.

Omar Khayyam's 971st Birthday - Doodle

Como astrónomo, dirigió la reforma del calendario persa de raíces zoroastrianas. En el año 1074 E.C., Jayyam fue requerido por el sultán Malik Shah a Isfahán para crear un observatorio astronómico y reformar el calendario solar persa. Las nuevas observaciones del movimiento del sol permitieron medir con más precisión la duración del año solar. El primer día del nuevo almanaque se hizo coincidir con el equinoccio de primavera del año 1079 E.C. El calendario reformado, denominado Jalali, por el patronímico del sultán que ordenó la reforma, sigue vigente actualmente en Irán; se estructura en ciclos de 33 años con intercalación de un año bisiesto quinquenal y otros siete cuatrienales, lo que hace que sea más preciso que el calendario gregoriano usado hoy en día en la mayoría de países.

Como matemático, Omar Jayyam representa la fusión de la herencia derivada de fuentes indias y persas con la proveniente de fuentes helenísticas. Su aportación algebraica más original fue la resolución sistemática de las ecuaciones de tercer grado empleando el trazado de curvas cónicas para determinar el número de raíces reales y evaluarlas aproximadamente. También escribió acerca de la disposición en triángulo de los coeficientes del desarrollo de la potencia con exponente natural de un binomio, conocido hoy en día en occidente como triángulo de Pascal o de Tartaglia. Estudió los “Elementos” de Euclides tratando en profundidad el famoso “postulado de las paralelas” y la teoría de las proporciones; llegando a ampliar el concepto de número hasta incluir en él los números irracionales positivos. Como curiosidad, en Jayyam está el origen del tradicional uso de la “x” para designar a la incógnita en las ecuaciones.

Su erudición le llevó también a escribir tratados de música, física, economía, leyes, historia y filosofía, llegando en su época a gozar de gran prestigio por sus extensos conocimientos pero siendo prácticamente desconocida su poesía. Según algunos estudiosos de Jayyam, fue una poesía llevada a cabo en secreto, en la que se reflejan todos sus conocimientos y reflexiones vitales y en la que su contenido descreído y hedonista pudo desaconsejar su publicación en vida del autor.

Rubayat

La difusión de la obra poética de Jayyam en occidente fue provocada por la traducción, o más bien reinterpretación, de sus Rubayat por el poeta inglés Edward Fitzgerald en 1859. Desde entonces ha gozado de una popularidad inmensa.

“Rubayat” es la palabra persa plural de “rubai”, nombre de una forma métrica breve que consiste en dos versos partidos por la mitad, es decir, en cuatro hemistiquios, que riman el primero, segundo y cuarto, quedando libre el tercero. En esta breve estructura se plantea y desarrolla un tema que alcanza su punto culminante en el último medio verso.

Los Rubayat elegidos han sido extraídos de la traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí publicada por Alianza Editorial en 2006. En el prólogo, Clara Janés, al reflexionar sobre lo apropiado de esta forma métrica para el enunciado de conceptos lapidarios y rotundos menciona cómo en los Rubayat de Jayyam el lector siente que “es toda una concepción de la vida, con sus premisas, desarrollo y conclusión, lo que encierran los cuatro versos que tiene delante” y utilizando palabras de María Zambrano indica que han sido enunciados “como quien lanza una bomba, el escritor arroja fuera de sí … el secreto hallado”. Con perspectiva matemática podría decirse “como la primera demostración de un teorema que progresa desde la hipótesis para concluir en la nueva verdad hasta entonces oculta”.

Para saber +:

- Omar Jayyam. Rubayat. Traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí. Prólogo de Clara Janés Alianza Editorial. Madrid 2006.
- Juan Martos Quesada. Vida y pensamiento de Omar Jayyam
- Sociedad Española de Iranología (SEI). Una breve reflexión sobre el calendario iranio.
- Salomo. La ecuación cúbica: El trabajo de Omar Al Khayyam.  (Libro GeoGebra).
- Mª Camila Espinosa. La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Kayyam.
- Ricardo Moreno Castillo. Omar Jayyam. Poeta y matemático. Ed. Nivola. Madrid. 2002.