¿Para qué sirven las Matemáticas?

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Las Matemáticas son para siempre

Con humor cautivante, el matemático Eduardo Saénz de Cabezón responde a una de las preguntas más habituales entre los estudiantes: ¿Para qué sirven las Matemáticas?. Explica cómo las Matemáticas, interesantes y bellas por sí mismas, dan soporte y rigor a todas las demás ciencias y a la técnica. Cómo "nos hace comprender mejor el mundo este hermoso en el que estamos y nos ayudan a sortear las trampas del mundo este doloroso en el que estamos". También reflexiona sobre la diferencia entre demostración y conjetura, y la eternidad de los teoremas matemáticos. Acaba con una recomendación sobre cómo usar las Matemáticas para expresar tu amor por otra persona.

Eduardo Saénz de Cabezón es profesor del Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja, y miembro de "The big van theory", grupo de científicos que hacen divulgación mezclando ciencia y humor en sus espectáculos.

Este monólogo podría considerarse como la evolución de "Un teorema es para siempre" con el que ganó la final española de FameLab, el principal certamen internacional de monólogos científicos.

Eduardo y sus relatos han sido muy buenos desde siempre y siguen ganando calidad con el tiempo, como los grandes vinos de Rioja. Toda una demostración magistral de cómo hacer divulgación científica con humor. Me entusiasman sus narraciones. Siempre hay interés en lo que nos cuenta. Pero sobre todo, admiro su capacidad para comunicar, su habilidad para explicar las mates de forma amena y divertida. Envidio el clima alcanzado en sus relatos y aspiro a lograrlo en las clases con mis alumnos. Todo un modelo didáctico. 

El vinatero - Matemática recreativa y trasvases de vino

En Haro, Capital del vino de Rioja, junto al torreón de la muralla medieval se halla la figura de un vinatero que rinde homenaje a tal oficio tan habitual por esas tierras.

El repartidor de vino de la escultura aparece rodeado de tres garrafones de 8, 5 y 3 litros de capacidad. El mayor de los garrafones está lleno de vino que el vinatero quiere repartir entre dos personas a partes iguales. Los otros dos garrafones están vacíos.
 

Es un hombre curioso y se pregunta si podrá hacer el reparto utilizando únicamente los tres garrafones.
 

Después de pensar un rato está seguro de poder hacerlo. Trasvasando vino 8 veces de un garrafón a otro, puede llegar a dejar 4 litros de vino en el de 8 litros y otros 4 en el de 5.

¿Se te ocurre cómo hacerlo?
¿Será posible conseguir el mismo reparto haciendo sólo 7 trasvases?


PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.

Soluciones

Para ver una solución en 8 trasvases haz clic aquí.

Haz clic aquí para ver la respuesta completa y saber algo más sobre este desafío.

Solución en 8 trasvases

	Garrafón de 8 litros	Garrafón de 5 litros	Garrafón de 3 litros
Inicio	8	0	0
	5	0	3
	5	3	0
	2	3	3
	2	5	1
	7	0	1
	7	1	0
	4	1	3
Final	4	4	0

Para ver una solución en 7 trasvases haz clic aquí.

Haga clic aquí para ver la respuesta completa y saber algo más sobre este desafío.

Solución en 7 trasvases

	Garrafón de 8 litros	Garrafón de 5 litros	Garrafón de 3 litros
Inicio	8	0	0
	3	5	0
	3	2	3
	6	2	0
	6	0	2
	1	5	2
	1	4	3
Final	4	4	0

Para ver unas referencias históricas y cómo este desafío aparece en una película haz clic aquí.

Haz clic aquí para saber algo más sobre este desafío.

Referencias históricas

Este problema así planteado es una recreación de uno clásico que aparece en numerosas publicaciones desde el siglo XVI.

El italiano Gerónimo Cardano en su "Práctica de la Aritmética y de las mediciones individuales" publicado en 1539 ("Practica arithmetica et mensurandi singulares", cap. 66, probl. 33, fol. 192v) propone el problema equivalente del reparto en partes iguales de un frasco que contiene 8 onzas de bálsamo utilizando otros dos frascos vacíos de 5 y 3 onzas. 

Cardano da una solución realizando 7 trasvases. Es la que hemos reproducido anteriormente.


El también italiano Nicolás Tartaglia en su "Tratado General de los números y las medidas" publicado en 1556 ("General trattato di numeri et misure", Primera parte, libro XVI, art. 132, fol. 255v) propone un problema semejante, pero enunciado en términos menos políticamente correctos, sobre el reparto por 2 ladrones de un frasco robado que contiene 8 onzas de bálsamo.

Tartaglia utiliza ocho trasvases en su solución que también hemos reproducido más arriba.


El español Juan Pérez de Moya en el libro noveno de su "Arithmetica practica, y speculativa" publicada por primerra vez en 1562 propone un problema equivalente en términos de reparto de 8 arrobas de vino:

(...) dos caminantes llevaban ocho arrobas de vino, y en el camino determinaron deshacer la compañía, y de apartarse cada uno por su cabo: y habiendo de partir por mitad el vino, hallaron que no tenían sino dos medidas. La una cabía tres arrobas y la otra cinco. Pídese, ¿cómo partirán con estas dos medidas diferentes el vino, para que cada uno lleve cuatro arrobas que le vienen de su parte?

Pérez de Moya da la misma solución que Tartaglia.

En el cine

En la película "La Jungla de Cristal III - La venganza" aparece este problema debidamente simplificado para adecuarlo a una película americana de acción. En ella los protagonistas, para evitar la explosión de una bomba, deben conseguir medir 4 galones del agua de una fuente usando dos garrafas de 5 y 3 galones. 

El problema de los bidones por humormates

El dúo cómico español "Cruz y Raya" hizo una parodia de esa escena fiel a su estilo.

  

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Un poco de perspicacia matemática

Este sencillo problema recreativo esconde mucha más riqueza que la que se aprecia en un primer vistazo y además de para pasar un rato entretenido ejercitando la mente puede servir para ilustrar y poner en práctica algunas ideas matemáticas interesantes.

Seguro que la primera forma en la que tratamos de resolver este desafío es tanteando distintas posibilidades y que tras más o menos intentos llegamos a las soluciones en ocho y en siete pasos. Si a continuación nos preguntamos si existen otras soluciones distintas o si es posible encontrar soluciones realizando menos trasvases, tendremos que dedicarle algo más de tiempo y utilizar alguna técnica que nos permita conocer más en profundidad el problema.

Notación

Comenzaremos por elegir cómo vamos a escribir la forma en la que el vino está distribuido en los garrafones. Una posibilidad es elegir 3 números en orden de manera que se correspondan con los litros de vino que hay en el garrafón de 8, 5 y 3 l. respectivamente y escribirlo en la forma (x, y, z).

Cada trasvase de vino hace que una distribución se transforme en otra distinta por lo que podemos escribirlo como una conexión entre esas dos distribuciones. Por ejemplo: (8,0,0) -> (5,0,3) para reflejar que tomamos el garrafón de 8 l. que está lleno y pasamos vino al garrafón de 3 l. hasta que se llene.

"Fuerza bruta", explorando todos los trasvases posibles.
 

Fig. 1 - Elaborada utilizando "Grafos" - Hacer click en la imagen para ampliarla.

Siendo metódicos y con paciencia llegaremos a tener un esquema en forma de árbol donde aparezcan las distintas distribuciones que se van consiguiendo y las conexiones entre ellas. Algo parecido al de la figura, donde se han dibujado todos los trasvases que se pueden realizar salvo los que "vuelven para atras" ya que nos interesa hacer el menor número posible de trasvases y así el gráfico queda más claro. 

En rosa la situación de partida: (8,0,0), 8 l. en el garrafón grande y los otros dos vacíos. En magenta el objetivo: (4,4,0), el garrafón de 3 l. vacío y 4 l. de vino en cada uno de los otros dos garrafones.

El esquema anterior nos permite ver que básicamente hay dos soluciones. Una en 7 trasvases que es la publicada por Cardano y otra en 8, publicada por Tartaglia. Todas las demás contienen algún bucle que alarga las anteriores.

Lo anterior nos permite asegurar que:

• Si dos personas distintas llegan a una solución en 8 trasvases, esa solución va a ser la misma.
• Lo mismo para 7 trasvases.
• Son necesarios al menos 7 trasvases, no se puede conseguir ni en 6 ni en menos, por lo que la de 7 es la solución óptima.

Con un poco más de agudeza matemática nos daremos cuenta de que por el hecho de coincidir el número de litros a distribuir con los litros que quedan vacíos entre todos los garrafones (8 litros) hay una "autodualidad" en el problema. Cada estado (x,y,z) puede leerse como los litros que tiene cada garrafón o como los que le faltan para completarlo. El mismo esquema sirve para representar el problema en ambos casos cambiando las distribuciones de partida y objetivo.

Un poco de teoría de grafos.

El esquema anterior se corresponde perfectamente con el concepto matemático de grafo donde los nodos son las distribuciones del vino entre los garrafones y los arcos son los trasvases.

Los métodos de optimización de la teoría de grafos, como los algoritmos de cálculo del camino mínimo nos permiten analizar y resolver el problema. En este caso se trata de "matar moscas a cañonazos" pero puede tener interés didáctico como ejemplo de modelización de un problema y de los conceptos elementales de teoría de grafos.

Una buena opción es utilizar el software Grafos, muy fácil de usar, desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos y que se distribuye bajo licencia Creative Commons (by-nc-sa). El grafo de la Fig. 1 ha sido realizado usando dicha herramienta. Hacer click aquí para ver el documento con los resultados del análisis del camino mínimo.

Usando la geometría

Fig. 2 - Elaborada utilizando "GeoGebra" - Hacer click en la imagen para ampliarla.

En seguida nos daremos cuenta de que como la cantidad de vino es siempre 8 l. podemos escribir una distribución del vino en la forma (x, y, 8-(x+y)), lo que nos permite representarla por un punto en un sistema de dos ejes cartesianos. La fig. 2 muestra esa representación. Para facilitar la lectura se ha mantenido el tercer número de cada distribución y se han usado los mismos colores que en el grafo de la fig. 1.

Sobre el eje horizontal están los litros de vino contenidos en el garrafón de 8 l. y en el eje vertical los contenidos en el garrafón de 5 l.

• El tamaño de los dos garrafones grandes nos da las condiciones: 0 ≤ x ≤ 8, 0≤ y ≤ 5.
• Como hay un total de 8 l. para distribuir:  x+y ≤ 8
• Como el garrafón pequeño puede tener como mucho 3 l.:  5 ≤ x+y
• Como consecuencia, las distribuciones posibles deben estar en el borde o en el interior del paralelogramo dibujado en verde.

Hay una correspondencia entre los trasvases de vino y los movimientos del punto que representan las distribuciones de vino. Así:

• Pasar vino del garrafón de 8 l al de 3 l. ⇔ Movimiento horizontal de derecha a izquierda.
• Pasar vino del garrafón de 3 l al de 8 l. ⇔ Movimiento horizontal de izquierda a derecha.
• Pasar vino del garrafón de 5 l al de 3 l. ⇔ Movimiento vertical de arriba a abajo.
• Pasar vino del garrafón de 3 l al de 5 l. ⇔ Movimiento vertical de abajo a arriba.
• Pasar vino del garrafón de 8 l al de 5 l. ⇔ Movimiento diagonal de abajo-izquierda a arriba-derecha.
• Pasar vino del garrafón de 5 l al de 8 l. ⇔ Movimiento diagonal de arriba-derecha a abajo-izquierda.

Como los trasvases permitidos obligan a llenar o vaciar al menos uno de los dos garrafones de 5 y 3 l.:

• Todas las distribuciones de vino obtenidas tienen que estar representadas por puntos sobre los bordes del paralelogramo.
• Los vértices de los ángulos agudos del paralelogramo tienen 2 posibilidades de movimiento: al otro extremo de cada uno de los lados que lo definen.
• Los vértices de los ángulos obtusos del paralelogramo tienen 3 posibilidades de movimiento: al otro extremo de cada uno de los lados que lo definen y verticalmente hasta alcanzar otro lado.
• Los puntos que no son vértices tienen 4 posibilidades: a los 2 extremos de su lado y 2 más cambiando de lado.

La estrategia para no hacer trasvases innecesarios se traduce en hacer caminos evitando los bucles que los alarguen. Para ello hay que:

• Elegir una de las dos posibles salidas desde (8,0,0), hacia (3,5,0) o (5,0,3).
• Nunca volver a pasar por un vértice ni deshacer un movimiento volviendo para atrás.
• Ir "rebotando" en los lados.

Al seguirla llegamos a los 2 caminos básicos de 7 y 8 trasvases dibujados en rojo y azul respectivamente.

Fig. 3 - Elaborada utilizando "GeoGebra" - Hacer click en la imagen para ampliarla.

Generalizaciones

Alex Bogomolny, en el árticulo "The Three Jugs Problem" dentro de su sitio web "Cut The Knot!", incluye una generalización del problema estableciendo que si las medidas, siempre números enteros, de los dos garrafones pequeños son primos entre sí y suman la capacidad del grande entonces es posible medir cualquier cantidad entre 0 y la capacidad del garrafón grande. Ofrece dos demostraciones de distinto tipo, una utilizando aritmética modular y otra geométrica introduciendo coordenadas baricéntricas. Amplía el estudio de la utilización de este tipo de coordenadas en "Barycentric coordinates. A Curious Application" donde hace un análisis muy interesante de este problema, contemplando combinaciones de otras capacidades distintas.

Para saber más:

• Cardano y la Matemática recreativa en divulgaMAT
• Cardano: "Practica arithmetica et mensurandi singulares", cap. 66, probl. 33, fol. 192v
• Tartaglia y la Matemática recreativa en divulgaMAT
• Tartaglia: "General trattato di numeri, et misure" Primera parte, libro 16, art. 132, fol. 255v
• Pérez de Moya: "Arithmetica practica, y speculativa" Madrid, Juan Muñoz 1747, fol. 200r 201v
• "La Jungla de Cristal III - La venganza" en "Matemáticas en tu mundo" por José María Sorando Muzás
• "The Three Jugs Problem" por Alex Bogomolny en "Cut The Knot!" Introducción histórica a un problema equivalente con jarras de agua, relacionadolo con Siméon Denis Poisson de quien afirma en "3 Glasses Puzzle"  que al resolver este problema decidio dedicarse a las Matemáticas. Incluye una simulación con un applet Java.
• "Grafos" software desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos para la docencia y el aprendizaje de la teoría de grafos. Permite el modelado y resolución de problemas reales de cierto tamaño y complejidad. Se distribuye bajo licencia Creative Commons (by-nc-sa).

El enigma del humor matemático

Los reyes me han traído este año el libro "Los Simpson y las matemáticas" escrito por Simon Singh. Después de hojearlo un poco no he podido resistir la tentación de empezar a leerlo por el capítulo 4 "El enigma del humor matemático".

Según S. Singh "Crear una broma matemática requiere comprender las matemáticas, y apreciar la broma requiere un nivel similar de comprensión. De modo que las bromas matemáticas prueban tus conocimientos matemáticos" por lo que he tenido que seguir con los 5 "exámenes" propuestos en el libro con bromas y chistes matemáticos de distinto nivel.

Traigo aquí algunos de los que me han parecido más divertidos.

    - ¡Papá, papá!, ¿me haces un problema de matemáticas?
    - No, hijo, no estaría bien.
    - Bueno inténtalo de todas formas.

    - ¿Cuáles son los 10 tipos de personas que existen en el mundo?
    - Los que entienden el código binario y los que no.

    - ¿Cuál es el animal que tiene entre 3 y 4 ojos?
    - El piojo.

    - ¿Cuál es el volumen de una pizza de grosor a y radio z?
    - pi·z·z·a

    3 matemáticos entran en una cafetería y se acerca la camarera.
    - ¿Queréis todos un café?
    - No lo sé - contesta el primero.
    - No lo sé - contesta el segundo.
    - Sí - contesta el último.

    Kleineken, ¡qué buena cerveza! ¡Lástima que no pueda sacarla de la botella!

Amanece, que no es poco

Aritmética a ritmo de góspel

Este año se cumple el vigésimo quinto aniversario del rodaje del largometraje Amanence, que no es poco, una disparatada comedia de humor surrealista, o en palabras de su director, J. L. Cuerda, una comedia raruna de humor subruralista.

La divertida película es un compendio de numerosos personajes y situaciones, repleta de diálogos ingeniosos muy brillantes, en la que por la vía del humor se van desgranando reflexiones de calado. Coincidiendo con este redondo aniversario la editorial logroñesa Pepitas de Calabaza acaba de publicar una cuidada edición del guión de la película que incluye un interesante prólogo y un jugoso anecdotario redactados por el propio J.L. Cuerda.

Su lectura me ha llevado a volver a ver algunas de las escenas más memorables, entre ellas cómo no, unas cuantas sobre la Educación y la Escuela, y a (re)reflexionar sobre ellas.

La peli incluye algunas escenas en la escuela del pueblo, como la lección de anatomía sobre el corazón, ¿se podría considerar un intento de enseñanza bilingüe?. O el examen sobre las ingles, ¿alusión premonitoria a las evaluaciones externas?. La que tiene un contenido más relacionado con las Mates es en la que, a ritmo de góspel, se aprenden los ríos de Europa y se practican operaciones aritméticas. 

Cuesta un poco entender la operación cantada por el alumno y en el guión publicado no aparecen los textos de los musicales. Si no me falla el oído es:

{[(508 + 32 - 40 + 2) x 43 ] - 1500 } / 100 = 200,86

que queda mucho más atractiva cantada que escrita.
No tiene desperdicio el final de la escena.

También se puede hacer una lectura actualizada del comentario al salir de misa entre dos niños vestidos con traje regional:

- “¿Tú crees que los conocimientos que adquiramos ahora en la escuela serán de rango inferior a los bienes espirituales que nos han sido dados en la misa?”
- “¡Pues probablemente sí!”.

Como dice J.L. Cuerda asuntos sobre los que vale la pena reflexionar y, burla burlando, reírnos de ellos.

Te quiero PI

Pipas, un cortometraje de Manuela Moreno, galardonado, lleno de humor y ternura, con unos cuantos guiños matemáticos.

Contiene algunas perlas como el juego de palabras del principio:

 - Desde que se ha metido a ESO está todo el puto día a su bola.
 - ¿Qué es eso?
 - La ESO. El graduado escolar eso como se llame.

O el lío con los números que existen:

 - No hace falta haber estudiado mucho para saber que en la vida sólo existen diez números del cero al diez.

Lo que me parece más interesante es que puede verse como una una metáfora sobre los adolescentes y la educación, y servir de reflexión sobre la distancia entre lo que enseñamos y lo que a los alumnos les gustaría saber, sobre dónde y cómo aprenden, la diferencia entre su mundo y ¿la realidad?, ....

 - Me flipan las letras japonesa. De hecho estaba pensando en tatuarme una letra japonesa aquí (en el cuello) y esa me mola todo, lo que pasa es que me gustaría saber lo que significa.
 - Por qué no vamos al chino de debajo de mi casa y nos lo explica en un momento.

Pues ESO, que este corto, como Pi, mola. 

Gracias a Martamatika Matika por descubrirmelo.

Un teorema es para siempre

Eduardo Saénz de Cabezón, profesor del Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja, gana con su intervención "Un teorema es para siempre" la final española de FameLab, el principal certamen internacional de monólogos científicos.

El jurado ha reconocido al joven científico riojano haber demostrado grandes habilidades comunicativas para explicar la ciencia de forma amena y divertida a la sociedad. Su monólogo, de tres minutos, reflexiona sobre la diferencia entre demostración y conjetura, y sobre cómo un teorema matemático es eterno.

Saénz de Cabezón, como ganador de la final española participará, junto a los ganadores de los certámenes nacionales organizados en otros países, en la final internacional del Cheltenham Science Festival que tendrá lugar en Reino Unido del 3 al 9 de junio de 2013.

Enhorabuena para "Edu" por este éxito y suerte en la final internacional.

Más información:
 - Final española de Famelab 2013: Vídeo con todos los monólogos finalistas.
 - Entrevista a Eduardo Sáenz de Cabezón publicada por Instituto de Ciencias Matemáticas en madri+d.

¡Qué locura de insti!

Se trata de una recreación cómica en la que aparecemos algunos compañeros del IES Samaniego-Laguardia BHI, pero refleja perfectamente la realidad que se da en alguna ocasión durante las sesiones de clase.

Es una creación de nuestro compañero Pablo Cañas, todo un talento artístico y técnico. La sesión fotográfica tuvo lugar después de una reunión de formación y de un claustro.

La foto forma parte del Proyecto 52 de Pablo. Consiste en hacer una foto semanal hasta completar todo un año. La foto ha de ser diseñada y creada durante esa semana, no vale tirar de archivo.

Algunas fotos se acompañan de un texto que complementa la historia, para leerlo tienes que ver el álbum foto a foto.
 
Si quieres disfrutar de más fotos interesantes, este es el enlace de la galería de Pablo Cañas en flickr.