lunes, 24 de enero de 2022

No es brujería. ¡Son Matemáticas!

La magia de un teorema con nombre de aficionado a las sucesiones numéricas

 
Un teorema puede provocar sorpresa y admiración entre los matemáticos profesionales o las personas con sensibilidad y conocimientos matemáticos. Para epatar a todo tipo de público, qué mejor que convertir el teorema en un truco de magia.

Las cartas mágicas de Brousseau
 
Eso es lo que propuso el matemático americano Alfred Brousseau (1907-1988), cofundador en 1963 de la "Fibonacci Association", en el artículo "Fibonacci Magic Cards" publicado en 1972 en la revista "Fibonacci Quarterly".
 
Blogdemaths recoge la idea de Brousseau y la presenta de forma mucho más atractiva en el artículo "Un tour de magie mathématique…", en el que proporciona una versión imprimible de las "cartas mágicas" a utilizar y varias sugerencias de puesta en escena. Marta Macho explica con su maestría de siempre la mecánica del juego y su fundamento matemático en "La magia del teorema de Zeckendorf" en la sección "Matemoción" de "Cuaderno de Cultura Científica" de la UPV/EHU. Es a través de ese blog cómo he llegado a este truco "matemágico".
 
Miguel Ángel Olalla, en el blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, teniendo en cuenta que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas, -según se presenten, claro- añade una vuelta de tuerca al juego para hacerlo más interesante.
 
Completamente seducido por el truco y su contenido matemático, lo suelo usar con el alumnado del IES Samaniego - Laguardia BHI como muestra del lado lúdico de las Matemáticas. Para su puesta en escena comenzamos utilizando varias veces tarjetas de papel con las "cartas mágicas" y en posteriores repeticiones del juego usamos esta hoja de cálculo. Para profundizar en las mates del truco utilizamos esta otra hoja de cálculo.

El teorema de Zeckendorf

El fundamento matemático de este truco fascinante es sencillo y se conoce como "Teorema de Zeckendorf":
"Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos".
A esa escritura única se le llama la "Representación de Zeckendorf" del número en cuestión.

Cabe recordar que la sucesión de Fibonacci comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”. Cuando se relaciona con la representación de Zeckendorf, para lograr que sea de forma única, se considera que la secuencia de Fibonacci empieza con los números 1 y 2.

La sucesión de Fibonacci además de estar relacionada con numerosos conceptos matemáticos aparece por todas partes en la naturaleza, en las ciencias sociales, en el arte, y sí, también en la magia.


El teorema debe su nombre al médico, oficial del ejército belga y aficionado a las Matemáticas, Edouard Zeckendorf (1901-1983) que 1972 publicó el artículo "Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas".

En realidad el resultado ya había sido publicado 20 años antes por el matemático holandés Gerrit Lekkerkerker (1922 -1999) en su etapa en el CWI (Centrum Wiskunde & Informatica - Instituto Nacional de Investigaciones en Matemáticas e Informática) de Amsterdam. Y completado y generalizado en 1960 por David E. Daykin, matemático inglés, profesor en la Universidad de Reading entre 1956 y 1998. Según Ron Knott, Zeckendorf menciona que lo demostró en 1939 pero que no lo publicó hasta 1972.

Que este teorema se haya quedado con el nombre de un aficionado a las series numéricas y no con el del profesor de la Universidad de Amsterdam, especialista en teoría de números, que lo publicó por primera vez, es un curioso ejemplo de la ley de la Eponimia de Stigler.

Usos didácticos en ESO y Bachillerato

La demostración del teorema puede hacerse por inducción utilizando matemáticas elementales. Aunque es excesivamente compleja para estar al alcance de la mayoría del alumnado de Bachillerato, sí puede ser apropiada para un "Taller de desarrollo del pensamiento matemático" con alumnos avanzados.

El resultado establecido por el teorema utiliza conceptos sencillos que deberían hacerlo comprensible por la mayoría del alumnado de segundo ciclo de la ESO y de Bachillerato, lo que permite su explotación didáctica.

RepresentacionDeZeckendorf.xlsx
Proponer la búsqueda de varias descomposiciones distintas de un entero positivo como suma de números de Fibonacci y su representación de Zeckendorf puede ser un buen ejercicio y una oportunidad para profundizar en el concepto de sistema de numeración. Tratar de sumar o multiplicar números en "base Fibonacci" obliga a plantearse la relación entre los algoritmos tradicionales y el sistema decimal posicional. Tratar de modelizar el algoritmo de la representación de Zeckendorf con un lenguaje de programación o con una hoja de cálculo puede ser un buen modo de trabajar la competencia matemática y la digital; lo mismo que diseñar un algoritmo para encontrar todas las descomposiciones de un entero positivo como suma de números de la sucesión de Fibonacci.

R. Knott, del Departamento de Matemáticas de la universidad inglesa de Surrey, ofrece en las secciones "You Do The Maths.." de "Using the Fibonacci numbers to represent whole numbers" unas actividades de investigación de distintos niveles de dificultad muy inspiradoras.

Por otra parte, el teorema es un buen ejemplo para matizar los términos "existencia" y "unicidad" y la dependencia de las condiciones enunciadas.

El "Nim de Fibonacci"

Dada su relación con la sucesión de Fibonacci, no es de extrañar que el teorema de Zeckendorf cuente con numerosas aplicaciones en ámbitos muy diversos.

El juego “Nim de fibonacci” es una variante del juego Nim apta para todo tipo de público a la que se le puede sacar partido matemático con el alumnado de ESO y Bachillerato. Participan dos jugadores que deben ir retirando de forma alterna fichas de un montón hasta que no queda ninguna, ganando el último jugador que retira fichas.

Las reglas del juego son las siguientes:
  • En cada jugada se debe retirar al menos una ficha.
  • En la primera jugada no se puede retirar todas las fichas.
  • Un jugador no puede retirar más del doble de fichas que el otro jugador en la jugada anterior.

Se trata de un juego en el que si el número inicial de fichas es un número de Fibonacci el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, y si no lo es, la tiene el primer jugador. Dicho de otra forma, el jugador que tiene que retirar fichas de una cantidad que es número de Fibonacci pierde si el otro juega bien.

La estrategia ganadora consiste en retirar una cantidad de fichas igual al número de Fibonacci más pequeño que aparece en la representación de Zeckendorf de la cantidad de fichas que hay:
Supongamos que el número de fichas del comienzo del juego, N, no es un número de Fibonacci.
  1. Descomponemos mentalmente N como suma de números de Fibonacci no consecutivos. Retiramos tantas fichas como el número más pequeño de la descomposición anterior.
  2. El oponente juega según las reglas.
  3. Al volver a ser nuestro turno, si las reglas del juego lo permiten, retiramos todas las fichas y ganamos. De lo contrario, volvemos a aplicar la estrategia anterior (1).
Esta estrategia ganadora fue publicada en 1963 por Michael J. Whinihan en el artículo "Fibonacci Nim" de la revista "Fibonacci Quarterly".

Jean-Paul Davalan ha desarrollado un simulador que permite practicar con el Nim de Fibonacci.

Un problema de probabilidad

Para finalizar dejamos planteado un problema:
Calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras sucesivas al lanzar una moneda n veces.
Como pista diremos que, no podía ser de otra manera en el contexto en el que nos encontramo, una de las formas más elegantes de llegar a la solución se basa en la aplicación del teorema de Zeckendorf.


En un segundo artículo veremos la solución a este problema y otras aplicaciones tecnológicas y artísticas del teorema de Zeckendorf.

Para saber +:

- Henderson, Nik. (2016). What is Zeckendorf's Theorem? The Ohio State University. Recuperado el 28 de diciembre de 2021, de https://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/henderson_zeckendorf.pdf

lunes, 3 de enero de 2022

Rubayat para un año que comienza

La invitación epicúrea de Omar Jayyam en sus célebres cuartetos puede ser una excelente sugerencia inspiradora de propósitos de principio de año.

No hay que dejar que la tristeza el corazón consuma,
ni que hiera un lastre de dolor la hora gozosa.
¿Quién conoce lo oculto y su destino?
Hay que cumplir deseos, gozar de amante y vino.

Yo nada sé; el que me creó,
hombre del infierno me hizo o del paraíso.
Una copa, una hermosa y un laúd a la orilla del campo,
estas tres cosas para mí al contado, y para ti el cielo prometido.

Pues nadie puede vencer al mañana,
mantén ahora alegre ese corazón loco.
Bebe vino a la luz de la luna, ¡oh luna!, que la luna
por más que ilumine no dará con nosotros.

Entiende que te apartarás del espíritu,
envuelto en el velo de los secretos del no ser irás.
Bebe vino, no sabes de dónde has venido.
Sé alegre, no sabes adónde irás.

Dicen que el que lleva una vida ascética
se levantará del modo en que se muera.
Con vino y amantes sin cesar estemos,
pues así, del hoyo, nos levantaremos.

Edmund J. Sullivan
Wikimedia Commons

Los Rubayat elegidos son algunos de los numerosos cuartetos del poeta persa en los que aparece el vino como símbolo del disfrute de la vida. Son claros ejemplos del escéptico convencimiento de Jayyam de la imposibilidad de dar respuesta a las grandes preguntas del ser humano, de su epicúrea defensa de una vida simple con el placer y el disfrute del momento presente como principales objetivos, y de su agnóstico alejamiento de la ortodoxia religiosa dominante en su entorno. También de su sentido del humor al mostrarse descreído sobre la existencia después de la muerte.

Omar Jayyam

Omar Ibn Ibrahim Jayyam, fue un astrónomo, matemático, filósofo, gran erudito y poeta persa. Nació en 1048 E.C. en Nishapur, provincia de Korasán, actualmente noreste de Irán y murió en 1131 E.C. en la misma ciudad. Librepensador, materialista y heterodoxo, es una de las figuras más fascinantes de la cultura medieval islámica.

Omar Khayyam's 971st Birthday - Doodle
Como astrónomo, dirigió la reforma del calendario persa de raíces zoroastrianas. En el año 1074 E.C., Jayyam fue requerido por el sultán Malik Shah a Isfahán para crear un observatorio astronómico y reformar el calendario solar persa. Las nuevas observaciones del movimiento del sol permitieron medir con más precisión la duración del año solar. El primer día del nuevo almanaque se hizo coincidir con el equinoccio de primavera del año 1079 E.C. El calendario reformado, denominado Jalali, por el patronímico del sultán que ordenó la reforma, sigue vigente actualmente en Irán; se estructura en ciclos de 33 años con intercalación de un año bisiesto quinquenal y otros siete cuatrienales, lo que hace que sea más preciso que el calendario gregoriano usado hoy en día en la mayoría de países.

Como matemático, Omar Jayyam representa la fusión de la herencia derivada de fuentes indias y persas con la proveniente de fuentes helenísticas. Su aportación algebraica más original fue la resolución sistemática de las ecuaciones de tercer grado empleando el trazado de curvas cónicas para determinar el número de raíces reales y evaluarlas aproximadamente. También escribió acerca de la disposición en triángulo de los coeficientes del desarrollo de la potencia con exponente natural de un binomio, conocido hoy en día en occidente como triángulo de Pascal o de Tartaglia. Estudió los “Elementos” de Euclides tratando en profundidad el famoso “postulado de las paralelas” y la teoría de las proporciones; llegando a ampliar el concepto de número hasta incluir en él los números irracionales positivos. Como curiosidad, en Jayyam está el origen del tradicional uso de la “x” para designar a la incógnita en las ecuaciones.

Su erudición le llevó también a escribir tratados de música, física, economía, leyes, historia y filosofía, llegando en su época a gozar de gran prestigio por sus extensos conocimientos pero siendo prácticamente desconocida su poesía. Según algunos estudiosos de Jayyam, fue una poesía llevada a cabo en secreto, en la que se reflejan todos sus conocimientos y reflexiones vitales y en la que su contenido descreído y hedonista pudo desaconsejar su publicación en vida del autor.

Rubayat

La difusión de la obra poética de Jayyam en occidente fue provocada por la traducción, o más bien reinterpretación, de sus Rubayat por el poeta inglés Edward Fitzgerald en 1859. Desde entonces ha gozado de una popularidad inmensa.

“Rubayat” es la palabra persa plural de “rubai”, nombre de una forma métrica breve que consiste en dos versos partidos por la mitad, es decir, en cuatro hemistiquios, que riman el primero, segundo y cuarto, quedando libre el tercero. En esta breve estructura se plantea y desarrolla un tema que alcanza su punto culminante en el último medio verso.

Los Rubayat elegidos han sido extraídos de la traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí publicada por Alianza Editorial en 2006. En el prólogo, Clara Janés, al reflexionar sobre lo apropiado de esta forma métrica para el enunciado de conceptos lapidarios y rotundos menciona cómo en los Rubayat de Jayyam el lector siente que “es toda una concepción de la vida, con sus premisas, desarrollo y conclusión, lo que encierran los cuatro versos que tiene delante” y utilizando palabras de María Zambrano indica que han sido enunciados “como quien lanza una bomba, el escritor arroja fuera de sí … el secreto hallado”. Con perspectiva matemática podría decirse “como la primera demostración de un teorema que progresa desde la hipótesis para concluir en la nueva verdad hasta entonces oculta”.

Para saber +:

- Omar Jayyam. Rubayat. Traducción de Clara Janés y Ahmad Taherí. Prólogo de Clara Janés Alianza Editorial. Madrid 2006.
- Juan Martos Quesada. Vida y pensamiento de Omar Jayyam
- Sociedad Española de Iranología (SEI). Una breve reflexión sobre el calendario iranio.
- Salomo. La ecuación cúbica: El trabajo de Omar Al Khayyam.  (Libro GeoGebra).
- Mª Camila Espinosa. La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Kayyam.
- Ricardo Moreno Castillo. Omar Jayyam. Poeta y matemático. Ed. Nivola. Madrid. 2002.

miércoles, 10 de noviembre de 2021

Relaciones de recurrencia en Desmos

Ejemplos de uso de objetos Desmos de tipo "regla de actualización" y "contador"

 
Lo que hace algún tiempo fueron características "poco documentadas" de Desmos, como objetos de los tipos "simulaciones" o "clicables", desde agosto de 2021 están soportadas oficialmente, quedando integradas en lo que Desmos ha denominado "Actions".
 
"Actions" proporcionan en Desmos una forma de reaccionar ante eventos, como clics o lapsos de tiempo. Un objeto tipo "Actions" se compone de una o más reglas de actualización, cada una de las cuales especifica un nuevo valor para una variable, dependiendo de un evento específico dentro de la lista de expresiones o en el área de representación gráfica.
 


Relaciones de recurrencia

Una de las aplicaciones de "Actions" más elementales, y de implementación muy sencilla, es utilizar reglas de actualización para generar sucesiones numéricas definidas por relaciones de recurrencia.
 
Por ejemplo este escenario que genera la sucesión de Fibonnaci. O este otro que calcula el número e como límite de los términos de una sucesión y como límite de los términos de una serie (suma de los términos de una sucesión), comparando ambas formas.
 
También se pueden utilizar reglas de actualización para resolver algunos tipos sencillos de ecuaciones diferenciales aplicando métodos numéricos como el de Euler. Por ejemplo en esta simulación del modelo epidemiológico SIR de propagación de una epidemia.  

Para saber +:

- Desmos Help Center > Graphing Calculator > Advanced Features > Actions.

domingo, 31 de octubre de 2021

Deconstruyendo el 57

Un primo no primo que da nombre a un vino excelente

Si a un matemático de los "cansinos" le pides que descomponga el número 57, muy probablemente, hará esto:


Si se lo pides a un diseñador gráfico es posible que el resultado sea éste:


 
Es la forma alternativa de factorizar el número 57 desde una mirada artística que ha sido utilizada como elegante imagen gráfica de un vino de Rioja Alavesa. 

Campillo 57 Gran Reserva 

El vino "Campillo 57 Gran Reserva" debe su nombre al año 1957. Con él "Bodegas Campillo", de Laguardia, quiere homenajear a la 4ª generación al frente de la bodega, el primero de cuyos miembros, José Miguel Martínez Zabala, nació en ese año. Vino, por cierto, galardonado el pasado agosto con el "Premio Alimentos de España al Mejor Vino 2021" por el Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación.

Alexander Grothendieck

Casualmente 57 es el número con el que la comunidad matemática recuerda a Alexander Grothendieck, uno de los matemáticos más brillantes e influyentes del siglo XX. Consiguió destacados logros en la unificación de la Matemática con importantes aportaciones en distintas áreas. En 1966 fue galardonado con la Medalla Fields, una de las mayores distinciones matemáticas a nivel mundial, pero por razones políticas se negó a acudir a Moscú a recoger su premio. Fue miembro del colectivo matemático Bourbaki.

Grothendieck nació en 1928 en Berlín, hijo de padres anarquistas y de familia paterna judía, fue apátrida hasta que tomó la nacionalidad francesa en los años 1980. Con una fuerte personalidad nada convencional, pacifista, ecologista y activista radical antisistema, tuvo una vida muy agitada y apasionante cuyo relato supera a muchas ficciones de aventuras. Durante sus últimos 20 años de vida se aisló por completo voluntariamente. Falleció en 2014, en Saint-Girons, Ariège, Francia.

El primo de Grothendieck

Los matemáticos clasificamos los números enteros mayores que uno en dos categorías: primos y compuestos. Un número es primo si no se puede descomponer en factores. Dicho en forma gráfica e intuitiva si "está hecho de una pieza que no se puede desmontar en piececillas más pequeñas". Por ejemplo 5 es primo y 6 no lo es porque 6 = 2 x 3. Los números primos son uno de los conceptos clave de las Matemáticas; tan sencillo en su definición, que a todos se nos enseña en la escuela; y con una profundidad que llega a las investigaciones matemáticas actuales más avanzadas y a problemas pendientes de resolución.

¿Puede un número ser primo y también ser compuesto? Evidentemente, no. Pero, en cierto sentido, podría decirse que 57 lo es. Una anécdota ampliamente extendida entre la comunidad matemática relata cómo después de una conferencia, alguien del público pidió a Grothendieck que fuera menos abstracto, sugiriéndole que debería considerar un número primo particular. “¿Te refieres a un número concreto?” preguntó Grothendieck. La otra persona respondió “Sí, un número primo concreto”. Y Grothendieck contestó accediendo: “De acuerdo, tomemos el 57”.

Evidentemente 57 no es un número primo; se puede descomponer como 3 x 19. Desde entonces a este número se le conoce, en broma, como "el primo de Grothendieck". La anécdota es un magnífico ejemplo de que las Matemáticas son mucho más que cálculos con números; y de que los cálculos no son, ni mucho menos, lo más importante de ellas.

Jugando con las descomposiciones de los números

Afortunadamente la mayoría de la gente de mates no somos de los "cansinos" y nos gusta divertirnos con nuestras "cosillas" dándoles un toque lúdico, eso sí, siempre con mucho orden.



Una muestra de ello podría ser la aplicación "Primitives", desarollada por Alec McEachran, que representa los números enteros en términos de sus factores primos desvelando muy gráficamente su estructura. Esta es la aplicación:
Y estos son algunos de los resultados obtenidos.


También es molona esta "danza" de Stephen Von Worley que visualiza de forma muy dinámica la factorización de cada número en sus factores primos. 


Creo que se trata de creaciones basadas en ideas simples, realizadas de forma brillante, obteniendo excelentes resultados llenos de belleza.


Para saber +:

- Marta Macho Stadler. (2018). Alexandre Grothendieck, el genio rebelde. Cuaderno de Cultura Científica. Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

- Allyn Jackson. (2004). Comme Appelé du Néant-As If Summoned from the Void. The Life of Alexandre Grothendieck (parte 1 y parte 2), Notices AMS, vol. 51, pp 1038-1056 y vol. 51, pp. 1196-1212

- Philippe Douroux. (2012). Alexandre Grothendieck. Un voyage à la poursuite des choses évidentes. Images des Mathématiques. CNRS.


Jugando con los primos en este mismo blog

domingo, 26 de septiembre de 2021

La eficacia de las vacunas

Sobre la engañosa sencillez de los porcentajes


«Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más»

[Una de tantas frases que se dice que Einstein dijo ;-)]

Créditos: Dado Ruvic - REUTERS

¿Qué significa realmente que una vacuna tenga una eficacia del 90%?

Vivimos tiempos acelerados poco propicios para la reflexión sosegada necesaria para entender la complejidad de lo que nos rodea. Tampoco nos llevamos bien con la incertidumbre y nos cuesta comprenderla y enfrentarnos a ella. La pandemia de la COVID-19 nos está dando buenas muestras de ello.

El concepto de eficacia de las vacunas es un claro ejemplo. En él se encierra la complejidad de la estadística para acotar la incertidumbre y predecir el futuro, y también alguna sutileza aritmética en el manejo de los porcentajes.

Reducir la eficacia de una vacuna a un simple número sin darle más sentido que el de “ver quién la tiene más grande” es un gran error que favorece la manipulación de la opinión pública. Una ciudadanía crítica necesita conocimientos matemáticos o al menos interés por llegar a ellos y una mínima preparación que sirva de punto de partida para comprenderlos. 


Para iniciar el curso en las asignaturas de Matemáticas de 1º de Bachiller de Ciencias y 2º de Bachiller de Ciencias Sociales del IES Samaniego - Laguardia BHI, tomando como base el artículo ¿Qué significa realmente que una vacuna tenga una eficacia del 90%?, publicado en The Conversation, hemos desarrollado una actividad sobre la eficacia de las vacunas como instrumento para profundizar en las sutilezas matemáticas de los porcentajes y fomentar el espíritu crítico del alumnado. 


Objetivos de la actividad

  •  Conocer cómo se realizan los ensayos sobre la eficacia de las vacunas para evitar el desarrollo y trasmisión de ciertas enfermedades. Entender la definición y significado de la “eficacia de una vacuna”. 
  • Aplicar porcentajes dotándolos de sentido en un contexto de la vida cotidiana. Incidir en que la diferencia de porcentajes no es un porcentaje (diferencia entre porcentajes y puntos porcentuales).P.e. si en un determinado grupo de personas, en el trascurso de un año, los no fumadores han pasado de un 40% a un 50%, han aumentado 10 puntos porcentuales pero no un 10%. Han aumentado un 25%. 
  • Poner en práctica competencias digitales como: búsqueda y evaluación de la información; identificación de los datos relevantes, y de las relaciones entre ellos; manejo de una herramienta de hoja de cálculo para representar datos, modelizar cómo están relacionados y experimentar con distintos escenarios.
  • Refrescar el manejo de Google Classroom tanto por el alumnado como por el profesorado. 
  • Cultivar el espíritu crítico y el escepticismo ante la información que se ofrece en los medios de comunicación.


Actividad


Materiales

Puedes descargar los archivos relacionados con esta actividad (documentos, hojas de cálculo, formularios…) clicando aquí.


lunes, 29 de marzo de 2021

Materiales para formación en Desmos

Comparto el material utilizado en la formación en Desmos que hemos realizado en el IES Samaniego –Laguardia BHI como parte del proyecto Sare_Hezkuntza Gelan de transformación educativa a través de la utilización de metodologías activas y de tecnologías y recursos digitales.

Desmos encaja perfectamente en este planteamiento de enseñanza-aprendizaje al permitir al alumnado manipular y experimentar y así desarrollar su curiosidad e intuición, para aprender haciendo.

El objetivo de la formación ha sido conocer las posibilidades didácticas ofrecidas por el conjunto de herramientas Desmos.  Se ha centrado principalmente en el desarrollo de escenarios con la “Calculadora Gráfica” y la exploración de su uso en enseñanza secundaria y bachillerato.  También dedicamos una sesión a una visión panorámica de las “Actividades en el Aula” y las herramientas relacionadas “Activity Builder” y “Desmos Classes”. 

Los materiales están organizados en una presentación con un esquema de los contenidos tratados y multitud de enlaces a recursos de distintos tipos:

  • Materiales para el aprendizaje de Desmos: guías, tutoriales, ejemplos, ejercicios, foros en redes sociales… 
  • Repositorios de escenarios y actividades utilizables con el alumnado en la enseñanza-aprendizaje de matemáticas y física.

El trabajo de cada una de las sesiones prácticas queda recogido en su correspondiente “hoja” de la calculadora gráfica con ejemplos de uso de los elementos y funcionalidades Desmos tratados, y enlaces a construcciones analizadas y a ejercicios planteados.

Espero que estos materiales sean útiles a quienes puedan interesar. Por supuesto, se agradece cualquier sugerencia, comentario o advertencia de errores.


lunes, 8 de febrero de 2021

Matemáticas contra la viruela

Primer modelo matemático de la transmisión de una enfermedad infecciosa.


“Simplemente deseo que,
en un asunto que tanto afecta al bienestar de la humanidad,
no se tome ninguna decisión sin todo el conocimiento
que un pequeño análisis y cálculo pueden proporcionar”

D. Bernoulli (1760)

Tal día como hoy, en 1700, nació Daniel Bernoulli en Groninga (Países Bajos). En realidad su fecha de nacimiento fue el 29 de enero ya que en la zona protestante de Holanda el calendario juliano siguió aplicándose hasta el 30 de junio de ese año. 

Perteneció al linaje matemático de los Bernoulli que formaron parte de la élite de los hombres de ciencia europeos en la segunda mitad del s. XVII y todo el s. XVIII, época de vertiginoso desarrollo económico, científico y tecnológico. Médico, matemático y físico, aunó el saber teórico y sus aplicaciones prácticas. 

Por sus características personales y por la época en la que vivió, gran parte de los trabajos científicos de Daniel Bernoulli, como sus aportaciones a la dinámica de fluidos o al problema de la cuerda vibrante, son ejemplos paradigmáticos de modelización matemática; identificar un problema, descubrir su esencia matemática, encontrar la forma más simple de solucionarlo utilizando las herramientas proporcionadas por las matemáticas, e interpretar los resultados en el contexto del problema. 


«Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir»

Entre sus numerosas e importantes aportaciones científicas elaboró el primer modelo matemático describiendo la transmisión de una enfermedad infecciosa, presentado en  la Real Academia de Ciencias de París en 1760 y publicado en 1766.


Utilizando los datos de población recopilados en 1693 por Halley (conocido especialmente por el estudio del cometa que hoy lleva su nombre)  y estimando los parámetros de incidencia y letalidad del modelo, aplicó el cálculo infinitesimal para cuantificar las muertes producidas por la viruela, en una época en la que era desconocida la causa de dicha enfermedad. Hoy hablaríamos de “minería de datos”.

Calculó el aumento de la esperanza de vida y de las cantidades de personas que alcanzarían ciertas edades en una población no afectada por la viruela y en una sistemáticamente variolizada, teniendo en cuenta los riesgos de la inoculación que se efectuaba en aquella época.

Usó sus resultados para argumentar las ventajas de la variolización con el objetivo de influir a favor de la vacunación contra la viruela de toda la población.


La viruela fue declarada como erradicada a nivel mundial por la OMS en 1980, gracias a las campañas de vacunación, la vigilancia y las medidas de prevención emprendidas para contener los focos epidémicos, así como la mejor información suministrada a las poblaciones afectadas. No puede afirmarse lo mismo de la oposición en los países occidentales desarrollados a la aplicación de vacunas, a pesar de los avances científicos y de la extensión de la educación a toda la población.


Desmos permite experimentar fácilmente con valores de tasas de infección y recuperación/mortalidad distintos a los estimados por Bernoulli.

Para saber más:


- Bernoulli, Daniel. (1766). «Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir». Mémoires de mathématiques et de physique, Académie royale des sciences. París. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3558n/f220.item#

- Harpe, Pierre de la, & Gabriel, Jean-Pierre. (2010). "Daniel Bernoulli, pionnier des modèles mathématiques en médecine" https://images.math.cnrs.fr/Daniel-Bernoulli-pionnier-des-modeles-mathematiques-en-medecine.html

- Blower, S., & Bernoulli, D. (2004). An attempt at a new analysis of the mortality caused by smallpox and of the advantages of inoculation to prevent it. 1766. Reviews in medical virology, 14(5), 275–288. https://doi.org/10.1002/rmv.443

- Halley, E. (1693). An estimate of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the price of annuities upon lives. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 17, No.196, 596-610. https://journals.openedition.org/asterion/docannexe/image/2143/img-1.png

- Dietz, K., & Heesterbeek, J. A. (2002). Daniel Bernoulli's epidemiological model revisited. Mathematical biosciences, 180, 1–21. https://doi.org/10.1016/s0025-5564(02)00122-0

- Mario Castro Ponce, Manuel de León y Antonio Gómez Corral. (2020). Vacunas y matemáticas: lecciones de la viruela. http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2020/04/05/147618

- Condorcet, Nicolas. (1782). Éloge de Daniel Bernoulli. Histoire de l ‘Académie Royale. París. https://www.academie-sciences.fr/pdf/eloges/bernoulli_p82_vol3581.pdf