jueves, 28 de mayo de 2020

Progresión geométrica vs. Función exponencial

Modelización discreta vs continua


Comparto aquí una actividad desarrollada con el alumnado de Matemáticas I y de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II del “IES Samaniego –Laguardia BHI”. En ella se manejan distintos contenidos como magnitudes discretas y continuas, crecimiento, progresiones geométricas, funciones exponenciales e integral definida. Se trabaja la modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.

En cierto vertedero de residuos se ha observado que cada año los camiones del Consorcio depositan un 5% más de basura que el año anterior. Como la basura no se retira, se va acumulando.
(a) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura depositada cada año por los camiones del Consorcio en el vertedero.
(b) Escribir la expresión matemática de la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n años.
(c) Si inicialmente el vertedero estaba vacío y al cabo de un año contenía 1.000 toneladas de basura, calcular cuántos años han de pasar para que la basura acumulada supere las 90.000 toneladas.



Para acceder a un escenario desmos asociado con la actividad haz clic aquí

Puede servir de apoyo en las explicaciones al alumnado durante la realización de la actividad. También puede plantearse como parte de la actividad construir un escenario semejante.


Se trata de describir en términos matemáticos la situación planteada explorando dos opciones:
  • La primera, basada en simples razonamientos aritméticos, es un modelo discreto que utiliza sucesiones, concretamente progresiones geométricas.
  • La segunda, basada en conceptos analíticos más complejos, es un modelo continuo que utiliza funciones, en concreto la función exponencial.

Descarga de documentos relacionados:


- Documentación de los razonamientos y cálculos de esta actividad, en formato PDF, aquí.
- El mismo documento en formato LaTeX, aquí.

jueves, 9 de abril de 2020

Planilandia - Evasión en tiempos de confinamiento

Hasta la cuarta dimensión y más allá...sin salir de casa ;-) 😉


“Pero vivo con la esperanza de que estas memorias…
 puedan impulsar la aparición de una raza de rebeldes
que se nieguen a estar confinados en una dimensionalidad limitada”

A. Square

La novela “Planilandia” puede ser considerada como una obra de literatura científica fantástica escrita en forma de relato de aventuras. Como bien indica el juego de palabras que la subtitula, se trata de "una novela de muchas dimensiones" por su temática y por las múltiples interpretaciones que inspira su lectura. No daré más pistas, salvo que fue publicada en 1884 por el profesor y teólogo inglés Edwin A. Abbott (1838-1926) y que desde entonces se ha reeditado ininterrumpidamente en numerosos idiomas.

"Empieza a leerla y caerás bajo su hechizo" declara incitante Banesh Hoffmann en la introducción de la novela. Así fue en mi caso, por lo que recomiendo con entusiasmo su amena lectura. Seguro que es una actividad placentera e interesante para estos tiempos de “confitamiento”.

Para quien no tenga referencias de “Planilandia”,  sugiero un acercamiento directo; sin buscar previamente información sobre ella. Puede ser una experiencia sorprendente disfrutar con su lectura, reflexionar y sacar conclusiones desde los propios conocimientos y valores.

La novela ha servido de base para la realización de varios largometrajes. La película de animación Flatland, realizada en 2007 por Ladd Ehlinger con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater, se ajusta en gran medida a la narración de Abbott y es fácilmente localizable en la red en su versión original en inglés con subtítulos en castellano.

Como ampliación a la lectura directa de la novela, es especialmente reveladora  la versión “The annotated Flatland. A romance of many dimensions”, anotada por el matemático y reconocido divulgador inglés Ian Stewart. Además de una introducción que contextualiza la novela con información sobre el autor y la época, aporta muchos datos en forma de comentarios  y referencias a lo largo de toda la obra.


Para saber más:

- “Una visita a Planilanda. Juan Núñez Valdés y Manuel Ponce Escudero. Revista SUMA nº 41. Noviembre 2002. Impresiones y reflexiones personales de los autores sobre el mundo de “Planilandia”.
https://revistasuma.es/IMG/pdf/41/103-112.pdf
“Focus on...Flatland”. Secondary Magazine. Issue 65. National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics (NCETM). Guía didáctica, en inglés, que propone actividades y recopila recursos.
https://www.ncetm.org.uk/resources/26210

- Edición de “Flatland” en el Proyecto Gutenberg (en inglés).
http://www.gutenberg.org/ebooks/201

Flatland. Película de animación basada en la novela, realizada por Ladd Ehlinger, con guión de Tom Whalen y música compuesta por Mark Slater. Versión original en inglés con subtítulos en castellano.
https://youtu.be/OgiO32MDq3k

viernes, 10 de enero de 2020

Gigapiano

Sucesiones melodiosas


A partir del desafío matemático Un piano gigantesco presentado por José Garay de Pablo, catedrático jubilado de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza y publicado por “El País” hemos elaborado esta actividad para desarrollar el pensamiento matemático y trabajar la resolución de problemas con contenidos de sucesiones y progresiones.

Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos solo las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla (Mi) y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas (Sol y La) y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas (Do, Re y Mi) y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1.- ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2.- ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?


Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000.
  

Relacionando nuestro piano con las sucesiones y progresiones


Supongamos que todas las teclas de nuestro gigapiano están numeradas, tanto las que tocamos como las que no. El primer Do (que tocamos) es la tecla 1, la siguiente, un Re (que también tocamos) es la 2, la siguiente, un Mi (que no tocamos) es la 3, y así sucesivamente:

Considerando la sucesión de los números de las teclas que vamos tocando:

3.- ¿Qué número tiene la séptima tecla que pulsamos?

4.- ¿Y la octava?¿Y la que tocamos en decimocuarto lugar?

5.- Escribe una relación de recurrencia entre dos términos consecutivos de la sucesión (tn y tn-1)

6.- Escribe la expresión del término general de la sucesión (tn)

7.- ¿Cuántas teclas debe tener, como mínimo, el piano?

  
“Como todo el mundo sabe” una de las características de un sonido es su frecuencia (de oscilación de la onda que lo provoca), que en música se denomina altura. Cada nota musical tiene su altura que la identifica como más grave (menor frecuencia) o más aguda (mayor frecuencia). Como mencionamos anteriormente, al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re… aumentando la frecuencia de las notas. La frecuencia del segundo Do es el doble que la frecuencia del primer Do. En realidad se sigue una regla más general, la frecuencia de una nota cualquiera es el doble de la frecuencia de la anterior nota con el mismo nombre.

La primera tecla que tocamos en nuestro gigapiano, el primer Do que tenemos por la izquierda, tiene una frecuencia de 32,7032 Hz.

8.- ¿Cuál es la frecuencia del segundo Do que pulsamos?

9.- ¿Y la del tercero (tercer Do que pulsamos)?

10.- ¿Y la del último Do que pulsamos?
  

Reformulado el problema

Nuestro dilema musical convertido en una cuestión amorosa:

El desesperado matemático Desiderio, incapaz de poner fin a su relación con la inaccesible y deseada Euterpe, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le hace. La visita un lunes. Tras (casi) un día sin verla, la visita el martes. Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo. Tras cuatro más, la visita el jueves, y así sucesivamente. Finalmente llega a visitarla en 7.000 ocasiones.


1.- ¿Cuántas veces la habrá visitado en lunes?

2.- ¿Habrá algún día de la semana en que no la haya visitado?


Descarga de documentos de la actividad:


- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

- Puedes descargar un programa "Octave" que genera un archivo con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar el archivo generado por el anterior programa "Octave" con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.

- Puedes descargar las soluciones a los ejercicios de esta actividad aquí.

sábado, 1 de junio de 2019

”bozeto” de exopto

Un vino pitagórico


Las etiquetas de las botellas de vino intentan ser impactantes para llamar la atención del pretendido comprador y tratar de permanecer en su memoria. También tratan de transmitir un mensaje, en ocasiones conceptual. Todas tienen contenido matemático relacionado con los números: volumen contenido, grado alcohólico, cosecha, porcentajes de las distintas variedades de uva empleadas en la elaboración, código de barras… Pero algunas destacan especialmente al contemplarlas con mirada matemática.

Es el caso de la etiqueta de bozetode Bodegas Exopto de Laguardia,  muy lograda estéticamente. Según la propia bodega, “bozeto” es su primer proyecto, en el que presentan las grandes líneas de toda su gama de vinos. Para expresar la marca se ha elegido un decágono regular inscrito en una circunferencia en el que se han dibujado todas sus diagonales usando distintos trazos y colores. Una imagen de gran belleza por su complejidad, estructura ordenada y simetría. Y muchas matemáticas.


Apreciada con sensibilidad y emulando el estilo de las “notas de cata” de los vinos, podríamos decir que 
“la imagen presenta una aritmética sofisticada alcanzando la combinatoria. Una geometría ordenada basada en la semejanza y la proporcionalidad, en la que aparece con abundancia la divina proporción. Y un álgebra que estructura armoniosamente la complejidad de todos los componentes. De final largo y sabroso. Muy elegante.”

Entre las numerosas proporciones áureas que se pueden encontrar en la figura de la etiqueta destacan tres que merecen especial atención:
  1. El radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono regular y su lado están en proporción áurea (r = φ·l).
  2. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su tercero consecutivo  (que es el lado del decágono regular estrellado) y el radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono están en proporción áurea (d = φ·r).
  3. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su cuarto consecutivo  (que es el lado del pentágono regular estrellado) y la diagonal del decágono definida por un vértice y su segundo consecutivo  (que es el lado del pentágono regular convexo) están en proporción áurea (d’ = φ·l’).


El pentágono regular estrellado, denominado “pentalfa”, es una figura a la que, en distintas culturas y desde los tiempos más remotos hasta la actualidad, se ha atribuido un fuerte poder simbólico y místico. En particular, fue usado por los pitagóricos como distintivo identificador de su secta.


La imagen de la etiqueta puede ser interpretada desde la teoría matemática de grafos, englobando conceptos de geometría, aritmética, álgebra, topología y combinatoria. Se trata del “grafo completo de orden 10” (K10), La teoría de grafos es un área de las Matemáticas que trata de abstraer una idea tan general como es la de “relaciones entre elementos”. Por ello encuentra aplicaciones prácticas en multitud de contextos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.

Desde un punto de vista algebraico, la imagen representa al “grupo cíclico de orden 10”  (Z10). La importancia de los grupos cíclicos está en que son los "bloques elementales" con los que se construye una clase muy amplia de grupos. El concepto de “grupo” es clave en las Matemáticas, tanto puras como aplicadas. Encuentran utilización práctica en campos muy diversos que se extienden por todas las ciencias, naturales y sociales, y llegan hasta el arte.



Actividades

Identificar proporciones áureas en la etiqueta de “bozeto” es una magnífica forma de aprender geometría y de ejercitar el razonamiento lógico y el pensamiento matemático. Acepta el reto e intenta demostrar las anteriores proposiciones sobre proporciones áureas.


Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.


También es una actividad interesante calcular con algún razonamiento el número de segmentos que hay en la etiqueta uniendo los diez vértices.

Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

desmos en ESO y Bachillerato


desmos es una herramienta gratuita, sencilla y muy potente, creada para representar gráficamente funciones de forma interactiva e instantánea. Desde su lanzamiento está en continua evolución y va incorporando nuevas funcionalidades. 

Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la curiosidad y la intuición, y aprender haciendo

Estos son algunos de los escenarios desmos con los que trabajamos en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia.


Sucesiones

Sucesiones I

Representación gráfica de una sucesión de números reales.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), tablas.

Progresiones

Progresiones aritméticas vs geométricas.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables.
 

Funciones - Definición y características

Móvil lanzado desde una muralla

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, carpetas.

Tipos de crecimiento: lineal, cuadrático y exponencial

Elementos utilizados: Funciones, tablas, deslizadores, carpetas.

Función definida a trozos

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio.

Funciones a trozos - 2 formas de definirlas

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio. Sintaxis condicional.

Funciones a trozos – Discontinuidades

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas.

Transformaciones elementales de funciones

Elementos utilizados: Funciones, subíndices, deslizadores, carpetas.

Desplazamiento horizontal de una función

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, carpetas.
 

Funciones - Ejercicios

Ofertas editoriales a un escritor

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas editoriales a un escritor

Oferta de telefonía

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas de telefonía

Cantidad de medicamento que permanece en el cuerpo

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Medicamento

Salarios de agentes comerciales

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Salarios
 

Derivadas

Derivada de una función en un punto

Definición del concepto de derivada.

Elementos utilizados: Funciones, puntos manejados con deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), tablas, carpetas.

Derivabilidad de función definida a trozos

Ejercicio de "Matemáticas II. Ed anaya. Pág. 243. ej. 7".

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, función derivada predefinida.

Derivada de una función implícita

Procedimiento para hallar la tangente a una curva en el punto de abscisa dada.

Elementos utilizados: Funciones implícitas, manejadores, puntos manejados con deslizadores, carpetas, notas.

Optimización de funciones: EAU UPV - Jun 2018 - A2

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones, tablas.
 

Integrales

Integral definida – Calculadora

Cálculo y visualización de la integral definida.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…

Integral definida - Área entre dos curvas

Cálculo y visualización del área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Estadística y probabilidad

Regresión Mates – Física

Distribuciones bidimensionales.

Elementos utilizados: Complicado. Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, sumatorios, representación función discreta…

Distribución binomial de probabilidad

Cálculo y representación como histograma de la función de densidad de una distribución de probabilidad binomial. Aproximación por una normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, representación función discreta, histograma…

Distribución normal de probabilidad

Cálculo y representación de la probabilidad de un intervalo en una distribución de probabilidad normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Programación lineal

Camioneros y porteadores

Obtención del máximo en un contexto de variables discretas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Abonado parcela

Calcular el mínimo en un caso de variables continuas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Programación lineal: EAU UPV - Jun 2018 - A1

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
 

Modelización

Crecimiento exponencial - Progresión geométrica vs. Función exponencial

Modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.
Progresiones geométricas como modelo discreto y funciones exponenciales como modelo continuo.

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables, representación función discreta, histograma, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…

Datación por radiocarbono

Desintegración C14 - Calculadora del número de átomos restante - Calculadora de la edad radiológica.

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas, tablas.

Ley de Boyle-Mariotte

Ajuste de datos experimentales de volumen y presión de un gas.

Elementos utilizados: Deslizadores, tablas, ajuste de datos, regresión.
 

domingo, 31 de marzo de 2019

Distribuciones estadísticas bidimensionales con desmos

desmos es una herramienta que está en continua evolución. El pasado febrero incorporó las funciones estadísticas más utilizadas en ESO y Bachillerato.  Además de representar gráficamente un conjunto de datos, calcula los parámetros estadísticos más usados al estudiar variables unidimensionales y bidimensionales. También representa las funciones de densidad y de distribución de probabilidad de las distribuciones estadísticas más utilizadas y realiza test estadísticos básicos

Para ver una relación de las funcionalidades estadísticas de desmos hacer clic en este enlace.

Este es uno de los escenarios desmos con los que hemos trabajado las distribuciones estadísticas bidimensionales en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia. Puedes acceder a él haciendo clic aquí.



En él se presenta una serie formada por 12 parejas de datos y se estudia la correlación y la regresión entre las dos variables. 

Además de usar las funciones ofrecidas por desmos también se calculan los parámetros estadísticos operando directamente sobre los datos,  haciendo hincapié en la distinción entre parámetros muestrales y poblacionales. Finalmente se calculan y representan las rectas de regresión mínimo cuadrática  y se comparan con los ajustes proporcionados directamente por desmos. 

desmos es una combinación magistral de funcionalidad potente con sencillez de manejo, manipulación interactiva y visualización, lo que hace de ella una herramienta muy adecuada para su utilización en ESO y Bachillerato.

miércoles, 13 de marzo de 2019

Rom π endo el código

Un desafío para el "PiDay"


¿Eres capaz de dar una interpretación de la imagen?




 πkt 🤔


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