sábado, 1 de junio de 2019

”bozeto” de exopto

Un vino pitagórico


Las etiquetas de las botellas de vino intentan ser impactantes para llamar la atención del pretendido comprador y tratar de permanecer en su memoria. También tratan de transmitir un mensaje, en ocasiones conceptual. Todas tienen contenido matemático relacionado con los números: volumen contenido, grado alcohólico, cosecha, porcentajes de las distintas variedades de uva empleadas en la elaboración, código de barras… Pero algunas destacan especialmente al contemplarlas con mirada matemática.

Es el caso de la etiqueta de bozetode Bodegas Exopto de Laguardia,  muy lograda estéticamente. Según la propia bodega, “bozeto” es su primer proyecto, en el que presentan las grandes líneas de toda su gama de vinos. Para expresar la marca se ha elegido un decágono regular inscrito en una circunferencia en el que se han dibujado todas sus diagonales usando distintos trazos y colores. Una imagen de gran belleza por su complejidad, estructura ordenada y simetría. Y muchas matemáticas.


Apreciada con sensibilidad y emulando el estilo de las “notas de cata” de los vinos, podríamos decir que 
“la imagen presenta una aritmética sofisticada alcanzando la combinatoria. Una geometría ordenada basada en la semejanza y la proporcionalidad, en la que aparece con abundancia la divina proporción. Y un álgebra que estructura armoniosamente la complejidad de todos los componentes. De final largo y sabroso. Muy elegante.”

Entre las numerosas proporciones áureas que se pueden encontrar en la figura de la etiqueta destacan tres que merecen especial atención:
  1. El radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono regular y su lado están en proporción áurea (r = φ·l).
  2. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su tercero consecutivo  (que es el lado del decágono regular estrellado) y el radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono están en proporción áurea (d = φ·r).
  3. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su cuarto consecutivo  (que es el lado del pentágono regular estrellado) y la diagonal del decágono definida por un vértice y su segundo consecutivo  (que es el lado del pentágono regular convexo) están en proporción áurea (d’ = φ·l’).


El pentágono regular estrellado, denominado “pentalfa”, es una figura a la que, en distintas culturas y desde los tiempos más remotos hasta la actualidad, se ha atribuido un fuerte poder simbólico y místico. En particular, fue usado por los pitagóricos como distintivo identificador de su secta.


La imagen de la etiqueta puede ser interpretada desde la teoría matemática de grafos, englobando conceptos de geometría, aritmética, álgebra, topología y combinatoria. Se trata del “grafo completo de orden 10” (K10), La teoría de grafos es un área de las Matemáticas que trata de abstraer una idea tan general como es la de “relaciones entre elementos”. Por ello encuentra aplicaciones prácticas en multitud de contextos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.

Desde un punto de vista algebraico, la imagen representa al “grupo cíclico de orden 10”  (Z10). La importancia de los grupos cíclicos está en que son los "bloques elementales" con los que se construye una clase muy amplia de grupos. El concepto de “grupo” es clave en las Matemáticas, tanto puras como aplicadas. Encuentran utilización práctica en campos muy diversos que se extienden por todas las ciencias, naturales y sociales, y llegan hasta el arte.



Actividades

Identificar proporciones áureas en la etiqueta de “bozeto” es una magnífica forma de aprender geometría y de ejercitar el razonamiento lógico y el pensamiento matemático. Acepta el reto e intenta demostrar las anteriores proposiciones sobre proporciones áureas.


Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.


También es una actividad interesante calcular con algún razonamiento el número de segmentos que hay en la etiqueta uniendo los diez vértices.

Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

desmos en ESO y Bachillerato


desmos es una herramienta gratuita, sencilla y muy potente, creada para representar gráficamente funciones de forma interactiva e instantánea. Desde su lanzamiento está en continua evolución y va incorporando nuevas funcionalidades. 

Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la curiosidad y la intuición, y aprender haciendo

Estos son algunos de los escenarios desmos con los que trabajamos en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia.


Sucesiones

Sucesiones I

Representación gráfica de una sucesión de números reales.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), tablas.

Progresiones

Progresiones aritméticas vs geométricas.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables.
 

Funciones - Definición y características

Móvil lanzado desde una muralla

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, carpetas.

Tipos de crecimiento: lineal, cuadrático y exponencial

Elementos utilizados: Funciones, tablas, deslizadores, carpetas.

Función definida a trozos

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio.

Funciones a trozos - 2 formas de definirlas

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio. Sintaxis condicional.

Funciones a trozos – Discontinuidades

Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas.

Transformaciones elementales de funciones

Elementos utilizados: Funciones, subíndices, deslizadores, carpetas.

Desplazamiento horizontal de una función

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, carpetas.
 

Funciones - Ejercicios

Ofertas editoriales a un escritor

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas editoriales a un escritor

Oferta de telefonía

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Ofertas de telefonía

Cantidad de medicamento que permanece en el cuerpo

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Medicamento

Salarios de agentes comerciales

Enunciado: En formato MS Word. En formato PDF.

Resolución: Salarios
 

Derivadas

Derivada de una función en un punto

Definición del concepto de derivada.

Elementos utilizados: Funciones, puntos manejados con deslizadores, listas dinámicas (nº variable de elementos), tablas, carpetas.

Derivabilidad de función definida a trozos

Ejercicio de "Matemáticas II. Ed anaya. Pág. 243. ej. 7".

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, función derivada predefinida.

Derivada de una función implícita

Procedimiento para hallar la tangente a una curva en el punto de abscisa dada.

Elementos utilizados: Funciones implícitas, manejadores, puntos manejados con deslizadores, carpetas, notas.

Optimización de funciones: EAU UPV - Jun 2018 - A2

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones, tablas.
 

Integrales

Integral definida – Calculadora

Cálculo y visualización de la integral definida.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…

Integral definida - Área entre dos curvas

Cálculo y visualización del área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Estadística y probabilidad

Regresión Mates – Física

Distribuciones bidimensionales.

Elementos utilizados: Complicado. Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, sumatorios, representación función discreta…

Distribución binomial de probabilidad

Cálculo y representación como histograma de la función de densidad de una distribución de probabilidad binomial. Aproximación por una normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, funciones estadísticas predefinidas, representación función discreta, histograma…

Distribución normal de probabilidad

Cálculo y representación de la probabilidad de un intervalo en una distribución de probabilidad normal.

Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
 

Programación lineal

Camioneros y porteadores

Obtención del máximo en un contexto de variables discretas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Abonado parcela

Calcular el mínimo en un caso de variables continuas.
+ info: Sunya - Programación lineal con desmos

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…

Programación lineal: EAU UPV - Jun 2018 - A1

+ info: UPV/EHU - Ejercicios de la EAU - 2018 - Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
 

domingo, 31 de marzo de 2019

Distribuciones estadísticas bidimensionales con desmos

desmos es una herramienta que está en continua evolución. El pasado febrero incorporó las funciones estadísticas más utilizadas en ESO y Bachillerato.  Además de representar gráficamente un conjunto de datos, calcula los parámetros estadísticos más usados al estudiar variables unidimensionales y bidimensionales. También representa las funciones de densidad y de distribución de probabilidad de las distribuciones estadísticas más utilizadas y realiza test estadísticos básicos

Para ver una relación de las funcionalidades estadísticas de desmos hacer clic en este enlace.

Este es uno de los escenarios desmos con los que hemos trabajado las distribuciones estadísticas bidimensionales en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia. Puedes acceder a él haciendo clic aquí.



En él se presenta una serie formada por 12 parejas de datos y se estudia la correlación y la regresión entre las dos variables. 

Además de usar las funciones ofrecidas por desmos también se calculan los parámetros estadísticos operando directamente sobre los datos,  haciendo hincapié en la distinción entre parámetros muestrales y poblacionales. Finalmente se calculan y representan las rectas de regresión mínimo cuadrática  y se comparan con los ajustes proporcionados directamente por desmos. 

desmos es una combinación magistral de funcionalidad potente con sencillez de manejo, manipulación interactiva y visualización, lo que hace de ella una herramienta muy adecuada para su utilización en ESO y Bachillerato.

miércoles, 13 de marzo de 2019

Rom π endo el código

Un desafío para el "PiDay"


¿Eres capaz de dar una interpretación de la imagen?




 πkt 🤔


Tómate tu tiempo para pensar...y solo después, si quieres conocer una explicación haz clic aquí ▼▲

Fue entonces cuando vi el Péndulo



"Fue entonces cuando vi el Péndulo.
La esfera, móvil en el extremo de un largo hilo sujeto de la bóveda del coro, describía sus amplias oscilaciones con isócrona majestad. 
Sabía, aunque cualquiera hubiese podido percibirlo en la magia de aquella plácida respiración, que el período obedecía a la relación entre la raíz cuadrada de la longitud del hilo y ese número π que, irracional para las mentes sublunares, por divina razón vincula necesariamente la circunferencia con el diámetro de todos los círculos posibles, por lo que el compás de ese vagar de una esfera entre uno y otro polo era el efecto de una arcana conjura de las más intemporales de las medidas, la unidad del punto de suspensión, la dualidad de una dimensión abstracta, la naturaleza ternaria de π, el tetrágono secreto de la raíz, la perfección del círculo."

Así comienza la novela "El péndulo de Foucault" escrita por el semiólogo italiano Umberto Eco en 1988.

Este fragmento es un magnífico ejemplo de texto literario con referencias a conceptos matemáticos y físicos.


La publicación del "El péndulo de Foucault" fue todo un fenómeno social a pesar de su difícil lectura. Llegó a editarse un "Diccionario de 'El Péndulo de Foucault'" para facilitar la comprensión de toda su complejidad.

La novela es una crítica feroz del esoterismo, las teorías de la conspiración y las supercherías ocultistas.


Desde un punto de vista matemático es obligado mencionar el capítulo 48, en el que con el ácido estilo burlón de toda la novela, Eco juega con las medidas de la pirámide de Keops (y de un quiosco de periódicos 😁) para extraer relaciones y proporciones epatantes pero sin ningún significado. Algo que, por cierto, puede verse en ocasiones en algunas obras de divulgación matemática.

domingo, 30 de diciembre de 2018

¡Feliz y afortunado 2019!

Sobre lo que los matemáticos consideran "números de la suerte"




2019 es un número "feliz" y "de la suerte". En inglés suena más rotundo, "happy and lucky".


Los matemáticos somos gente ordenada... y a veces también juguetona. Nos gusta organizar y poner nombre a nuestras cosas. Por eso utilizamos numerosas clasificaciones de los números. En algunas aparecen conceptos matemáticos muy relevantes como los números primos. Otras pueden parecer un puro divertimento. Siempre es posibles utilizarlas para ejercitar el cálculo y lo que es más interesante, para practicar el razonamiento matemático y estimular la curiosidad y la capacidad de hacerse preguntas, de generalizar, de relacionar... 

Ya se ha tratado el tema de los números felices en otros artículos de este blog, como la felicitación del año 2014 o el monólogo "La felicidad del número 7" .

La comprobación de que 2019 es un número feliz es sencilla, basta aplicar el método "SES" (Separar-Elevar-Sumar):

2019 -> 4 + 0 + 1 + 81 = 86 -> 64 + 36 = 100 -> 1 + 0 + 0 = 1 -> 1 -> 1 ...

2019 además de feliz, también es un número "de la suerte".


"Lucky numbers"

La traducción al castellano de "lucky" es problemática porque puede significar tanto "que trae suerte (de la suerte, propicio)" como "que tiene suerte (afortunado)"En la literatura matemática tradicionalmente se ha traducido por "números de la suerte". Los "números afortunados" son otro tipo de números que se corresponden con los "Fortunate numbers" en inglés, que toman su nombre de Reo F. Fortune.

Los números de la suerte aparecen de un "cribado" de los números naturales (los de contar, 1,2,3...) de forma análoga a como con la criba de Eratóstenes se obtienen los números primos.

Para obtener una lista de números de la suerte hay que aplicar el método de cribado propuesto por los científicos Ulam, Metropolis, Lazarus y Gardiner en un artículo publicado en 1955. Ellos mismos sugirieron la denominación de "Criba de Flavio Josefo" para este proceso.


LuckySieve.gif en Wikipedia
Escribir una lista de números naturales (1,2,3...) y seguir los siguientes pasos:
  • Tachar el segundo número de cada grupo de dos: 2, 4, 6, 8..., dejando solo los impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... 
  • Como el segundo número que no se ha tachado es 3, de los que quedan, hay que eliminar el tercer número de cada grupo de tres. Esto tachará 5, 11, 17, 23... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25... 
  • Como el tercer número que sobrevive es 7, hay que tachar el séptimo número de cada grupo de siete: 19, 39... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31...
  • Y continuar siguiendo la misma regla.

Los cuatro científicos llamaron "lucky numbers" a la secuencia de números "supervivientes".


Algo que hace interesantes a este tipo de números es que comparten ciertas propiedades con los números primos. Por ejemplo, que son infinitos; o las proporciones en las que se distribuyen entre todos los números; o la distancia entre uno y el siguiente. Uno de los problemas más antiguos pendientes de resolver en Matemáticas es la "Conjetura de Goldbach", que hace referencia a la posibilidad de escribir todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos. Existe una conjetura semejante referida a números de la suerte, también pendiente de resolver: "Todo número par es la suma de dos números de la suerte".

La felicidad de un número depende de sus cifras, y por tanto, del sistema de representación utilizado. Por ejemplo, en el sistema binario todos los números son felices. Contrariamente, ser afortunado es algo intrínseco al número; no se puede alterar cambiando de sistema de representación. Me parece una bella alegoría.

¡Mis mejores deseos para 2019!

Ya que ser afortunado forma parte de lo aleatorio de la vida, ¡que seamos capaces de hacer todo lo posible para ser felices!


Para saber más:

Gardiner, V.; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. "On certain sequences of integers defined by sieves". Math. Mag. 29, 117-122 (1956). 

Definición de "número de la suerte" en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.

Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS).
- Artículo sobre los números de la suerte.
- Lista de los 200000 primeros números de la suerte.
- Artículo sobre los números que son "felices" y "de la suerte": "Happy-go-Lucky numbers: numbers that are both Happy (A007770) and Lucky (A000959)"
- Lista de los 10000 primeros números felices y de la suerte.


lunes, 17 de diciembre de 2018

El año al que le faltaron diez días

Las Matemáticas de la reforma gregoriana del calendario


"Los calendarios no son sólo un juego de relación entre
el cálculo de fechas y ciertos fenómenos astronómicos.
Reflejan las pasiones, creencias y tradiciones
que animan la vida de los pueblos."
Eduardo Wolovelsky,“El año al que le faltaron diez días”

Un sistema de calendario es un conjunto de reglas para llevar la cuenta del paso del tiempo organizándolo en periodos que se repiten de forma cíclica. El calendario, organizador del tiempo, al igual que los mapas, que organizan el espacio, tiene un atractivo fascinante. Es una creación del ser humano que lleva incorporada una gran cantidad de matemáticas.  Que lo utilicemos diariamente de forma natural hace que pasemos por alto su complejidad y la riqueza que encierra.
 
Divad [Public domain], from Wikimedia Commons
Los calendarios contienen la relación del ser humano con la razón, la naturaleza y la divinidad. Todas las culturas han tenido la necesidad de llevar cuenta del paso del tiempo, de estructurarlo en distintos intervalos y ciclos, y de ajustar estas divisiones con los fenómenos periódicos observables en el cielo. Las motivaciones que les han impulsado a ello han sido muy distintas; unas de carácter práctico, como las relacionadas con el ciclo de las estaciones y la evolución de las cosechas, o con la sincronización de los vínculos sociales, comerciales y políticos; otras, más trascendentes, relacionadas con la divinidad.

Los distintos sistemas de calendario y sus reformas ponen de manifiesto la ardua labor del ser humano persiguiendo la exactitud, tratando continuamente de acercar un poco más el calendario al ciclo natural de la Tierra alrededor del Sol. Hasta que, paradójicamente, con los relojes atómicos, ha llegado a un sistema de medida del tiempo más regular y preciso que el movimiento de la misma Tierra.


El calendario, sus fundamentos e historia, es un tema extraordinariamente rico que permite desarrollar actividades didácticas con contenidos de distintas materias, como Matemáticas, Astronomía, Geografía, Historia y Lenguas. Sirvan como ejemplos los siguientes contenidos:
  • Magnitudes, unidades de medida y escalas.
  • Sistemas decimal y sexagesimal.
  • Números enteros, divisibilidad, múltiplos y divisores, máximo común divisor, mínimo común múltiplo.
  • Números decimales, cifras significativas, aproximaciones, errores absoluto y relativo.
  • Inconmensurabilidad.
  • Funciones periódicas.
  • El tiempo y su medida.
  • Esferas terrestre y celeste.
  • Movimientos de rotación y traslación de la Tierra y de la Luna.
  • Historia de la antigua Roma.
  • Historia de las religiones.
  • Etimología de los nombres de los meses y de los días de la semana en distintos idiomas.

 “El año al que le faltaron diez días”


Magini. "Ephemerides Coelestium Motuum"
Octubre de 1582, con 21 días
La lectura del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por el biólogo y divulgador científico argentino Eduardo Wolovelsky, nos ha llevado a interesarnos y profundizar en la reforma gregoriana del calendario juliano y en el propio concepto de calendario y su evolución histórica. Todo ello ha propiciado el desarrollo de unas actividades para el alumnado de 4º de la ESO. 

El mencionado relato forma parte de la publicación “Los grandes números y el ajedrez y otros relatos matemáticos” descargable en la web del Ministerio de Educación de Argentina.


Al leer el relato de Wolovelsky es difícil no hacerse numerosas preguntas sobre nuestro calendario y su evolución; y también sobre los calendarios utilizados por otras culturas.

  • ¿Por qué es tan complejo fijar las reglas que definen y organizan un sistema de calendario?
  • ¿Por qué es tan importante que el calendario sea muy preciso y no sufra desajustes?
  • ¿Cuáles fueron las causas que motivaron la necesidad de la reforma del calendario en el año 1582? De qué tipo fueron las causas más determinantes ¿religioso, político, social o económico?
  • ¿Cuál fue el principal objetivo del Papa Gregorio XIII con su reforma del calendario?
  • ¿Qué papeles jugaron los distintos poderes religiosos políticos en la implantación de la reforma? ¿Por qué algunos países prefirieron durante muchos años "estar en desacuerdo con los astros antes que estar de acuerdo con el Papa"?
  • ¿Por qué no coincide el número de días de desfase producidos en los años de vigencia del calendario juliano con el número de fechas suprimidas por la reforma gregoriana?
  • ¿Por qué usamos un calendario organizado en años de doce meses con una cantidad desigual de días?¿Por qué no un calendario basado en el sistema decimal? ¿No se le habrá ocurrido a nadie definir uno?

Algunas de estas preguntas encuentran respuesta en las raíces matemáticas en las que se basa un calendario


Actividades desarrolladas

Se ha desarrollado un conjunto de tres actividades que tratan de poner de manifiesto el importante papel de las Matemáticas en la construcción de un instrumento tan cotidiano para nosotros y con tanta trascendencia en nuestras vidas, como es el calendario.
Además de trabajar contenidos matemáticos como los sistemas decimal y sexagesimal y los errores cometidos al utilizar aproximaciones, pretenden ejercitar la lectura comprensiva, la escritura y la competencia digital del alumnado.

Actividad 1: Redactar un resumen del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por Eduardo Wolovelsky.
En la guía de realización de las actividades se propone al alumnado una serie de preguntas que deben quedar contestadas en el texto redactado como resumen, además de solicitar una breve valoración personal del texto.
- Actividad 2: Completar una hoja de cálculo.
En ella se trabaja la conversión del sistema decimal al sexagesimal y los errores absolutos y relativos, utilizando el año trópico como valor exacto y los años medios julianos y gregorianos como valores aproximados.

- Actividad 3: Contestar unas preguntas utilizando la información obtenida en la actividad 2.
Algunas de las preguntas propuestas se contestan directamente con los cálculos realizados; otras necesitan relacionar y deducir; alguna, totalmente abierta, solicita hacer conjeturas y aportar opiniones personales.

Se ha utilizado Google Classroom como herramienta que facilita enormemente la distribución entre el alumnado de los documentos con la información, instrucciones y plantillas a cumplimentar, así como la entrega de los trabajos realizados. También agiliza la evaluación y devolución de los trabajos corregidos y calificados.

"este objeto que es a la vez una herramienta milagrosa y
una jaula de momentos finitos que nos obliga a ir corriendo de un lado para otro,
intentando sacar el máximo partido del breve tiempo que nos ha tocado"
David Ewing Duncan, “El calendario”


Descarga de documentos de la actividad:

- Relato "El año al que le faltaron diez días", de Eduardo Wolovelsky. En formato PDF aquí.
- Guía con las instrucciones detalladas e información para la realización de la actividad. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Plantilla vacía para la redacción del resumen. En formato MS Word aquí.
- Hoja de cálculo Excel a completar en la actividad 2. Puedes descargarla aquí.
- Cuestionario a contestar en la actividad 3. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.


Para saber más:

- Marqués González, Néstor F. "Un año en la Antigua Roma. La vida cotidiana de los romanos a través de su calendario". Ed. Espasa. Barcelona. 2018.

- Duncan, David Ewing. "El calendario". Ed. Emecé. Barcelona. 1999.

- Grupo Azarquiel. “Matemáticas desde la Astronomía”. M.E.C. Vicens Vives. Madrid, Barcelona. 1987.

- de Orús Navarro, Juan José y otros. “Astronomía esférica y mecánica celeste”. Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona. Barcelona. 2007.
  http://www.publicacions.ub.edu/liberweb/astronomia_esferica/

- Cambio al calendario gregoriano. Wikipedia.
  https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cambio_al_calendario_gregoriano&oldid=111596719

- Length of Tropical Years 1900–2100:
  https://www.timeanddate.com/astronomy/tropicalyearlength.html

- Fourmilab's Calendar Converter - Equivalencia de fechas en distintos calendarios
http://www.fourmilab.ch/documents/calendar

“El Astrolabio Universal GeoGebra” Libro Geogebra creado por Manuel García Piqueras

- Documentación sobre la creación y manejo del Astrolabio Universal GeoGebra (en inglés)
  http://www.sociedadelainformacion.com/57/ManuelGPiqueras.pdf

“La Tierra y el Sol” Libro GeoGebra creado por Rafael Losada Liste