domingo, 30 de diciembre de 2018

¡Feliz y afortunado 2019!

Sobre lo que los matemáticos consideran "números de la suerte"




2019 es un número "feliz" y "de la suerte". En inglés suena más rotundo, "happy and lucky".


Los matemáticos somos gente ordenada... y a veces también juguetona. Nos gusta organizar y poner nombre a nuestras cosas. Por eso utilizamos numerosas clasificaciones de los números. En algunas aparecen conceptos matemáticos muy relevantes como los números primos. Otras pueden parecer un puro divertimento. Siempre es posibles utilizarlas para ejercitar el cálculo y lo que es más interesante, para practicar el razonamiento matemático y estimular la curiosidad y la capacidad de hacerse preguntas, de generalizar, de relacionar... 

Ya se ha tratado el tema de los números felices en otros artículos de este blog, como la felicitación del año 2014 o el monólogo "La felicidad del número 7" .

La comprobación de que 2019 es un número feliz es sencilla, basta aplicar el método "SES" (Separar-Elevar-Sumar):

2019 -> 4 + 0 + 1 + 81 = 86 -> 64 + 36 = 100 -> 1 + 0 + 0 = 1 -> 1 -> 1 ...

2019 además de feliz, también es un número "de la suerte".


"Lucky numbers"

La traducción al castellano de "lucky" es problemática porque puede significar tanto "que trae suerte (de la suerte, propicio)" como "que tiene suerte (afortunado)"En la literatura matemática tradicionalmente se ha traducido por "números de la suerte". Los "números afortunados" son otro tipo de números que se corresponden con los "Fortunate numbers" en inglés, que toman su nombre de Reo F. Fortune.

Los números de la suerte aparecen de un "cribado" de los números naturales (los de contar, 1,2,3...) de forma análoga a como con la criba de Eratóstenes se obtienen los números primos.

Para obtener una lista de números de la suerte hay que aplicar el método de cribado propuesto por los científicos Ulam, Metropolis, Lazarus y Gardiner en un artículo publicado en 1955. Ellos mismos sugirieron la denominación de "Criba de Flavio Josefo" para este proceso.


LuckySieve.gif en Wikipedia
Escribir una lista de números naturales (1,2,3...) y seguir los siguientes pasos:
  • Tachar el segundo número de cada grupo de dos: 2, 4, 6, 8..., dejando solo los impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... 
  • Como el segundo número que no se ha tachado es 3, de los que quedan, hay que eliminar el tercer número de cada grupo de tres. Esto tachará 5, 11, 17, 23... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25... 
  • Como el tercer número que sobrevive es 7, hay que tachar el séptimo número de cada grupo de siete: 19, 39... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31...
  • Y continuar siguiendo la misma regla.

Los cuatro científicos llamaron "lucky numbers" a la secuencia de números "supervivientes".


Algo que hace interesantes a este tipo de números es que comparten ciertas propiedades con los números primos. Por ejemplo, que son infinitos; o las proporciones en las que se distribuyen entre todos los números; o la distancia entre uno y el siguiente. Uno de los problemas más antiguos pendientes de resolver en Matemáticas es la "Conjetura de Goldbach", que hace referencia a la posibilidad de escribir todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos. Existe una conjetura semejante referida a números de la suerte, también pendiente de resolver: "Todo número par es la suma de dos números de la suerte".

La felicidad de un número depende de sus cifras, y por tanto, del sistema de representación utilizado. Por ejemplo, en el sistema binario todos los números son felices. Contrariamente, ser afortunado es algo intrínseco al número; no se puede alterar cambiando de sistema de representación. Me parece una bella alegoría.

¡Mis mejores deseos para 2019!

Ya que ser afortunado forma parte de lo aleatorio de la vida, ¡que seamos capaces de hacer todo lo posible para ser felices!


Para saber más:

Gardiner, V.; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. "On certain sequences of integers defined by sieves". Math. Mag. 29, 117-122 (1956). 

Definición de "número de la suerte" en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.

Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS).
- Artículo sobre los números de la suerte.
- Lista de los 200000 primeros números de la suerte.
- Artículo sobre los números que son "felices" y "de la suerte": "Happy-go-Lucky numbers: numbers that are both Happy (A007770) and Lucky (A000959)"
- Lista de los 10000 primeros números felices y de la suerte.


lunes, 17 de diciembre de 2018

El año al que le faltaron diez días

Las Matemáticas de la reforma gregoriana del calendario


"Los calendarios no son sólo un juego de relación entre
el cálculo de fechas y ciertos fenómenos astronómicos.
Reflejan las pasiones, creencias y tradiciones
que animan la vida de los pueblos."
Eduardo Wolovelsky,“El año al que le faltaron diez días”

Un sistema de calendario es un conjunto de reglas para llevar la cuenta del paso del tiempo organizándolo en periodos que se repiten de forma cíclica. El calendario, organizador del tiempo, al igual que los mapas, que organizan el espacio, tiene un atractivo fascinante. Es una creación del ser humano que lleva incorporada una gran cantidad de matemáticas.  Que lo utilicemos diariamente de forma natural hace que pasemos por alto su complejidad y la riqueza que encierra.
 
Divad [Public domain], from Wikimedia Commons
Los calendarios contienen la relación del ser humano con la razón, la naturaleza y la divinidad. Todas las culturas han tenido la necesidad de llevar cuenta del paso del tiempo, de estructurarlo en distintos intervalos y ciclos, y de ajustar estas divisiones con los fenómenos periódicos observables en el cielo. Las motivaciones que les han impulsado a ello han sido muy distintas; unas de carácter práctico, como las relacionadas con el ciclo de las estaciones y la evolución de las cosechas, o con la sincronización de los vínculos sociales, comerciales y políticos; otras, más trascendentes, relacionadas con la divinidad.

Los distintos sistemas de calendario y sus reformas ponen de manifiesto la ardua labor del ser humano persiguiendo la exactitud, tratando continuamente de acercar un poco más el calendario al ciclo natural de la Tierra alrededor del Sol. Hasta que, paradójicamente, con los relojes atómicos, ha llegado a un sistema de medida del tiempo más regular y preciso que el movimiento de la misma Tierra.


El calendario, sus fundamentos e historia, es un tema extraordinariamente rico que permite desarrollar actividades didácticas con contenidos de distintas materias, como Matemáticas, Astronomía, Geografía, Historia y Lenguas. Sirvan como ejemplos los siguientes contenidos:
  • Magnitudes, unidades de medida y escalas.
  • Sistemas decimal y sexagesimal.
  • Números enteros, divisibilidad, múltiplos y divisores, máximo común divisor, mínimo común múltiplo.
  • Números decimales, cifras significativas, aproximaciones, errores absoluto y relativo.
  • Inconmensurabilidad.
  • Funciones periódicas.
  • El tiempo y su medida.
  • Esferas terrestre y celeste.
  • Movimientos de rotación y traslación de la Tierra y de la Luna.
  • Historia de la antigua Roma.
  • Historia de las religiones.
  • Etimología de los nombres de los meses y de los días de la semana en distintos idiomas.

 “El año al que le faltaron diez días”


Magini. "Ephemerides Coelestium Motuum"
Octubre de 1582, con 21 días
La lectura del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por el biólogo y divulgador científico argentino Eduardo Wolovelsky, nos ha llevado a interesarnos y profundizar en la reforma gregoriana del calendario juliano y en el propio concepto de calendario y su evolución histórica. Todo ello ha propiciado el desarrollo de unas actividades para el alumnado de 4º de la ESO. 

El mencionado relato forma parte de la publicación “Los grandes números y el ajedrez y otros relatos matemáticos” descargable en la web del Ministerio de Educación de Argentina.


Al leer el relato de Wolovelsky es difícil no hacerse numerosas preguntas sobre nuestro calendario y su evolución; y también sobre los calendarios utilizados por otras culturas.

  • ¿Por qué es tan complejo fijar las reglas que definen y organizan un sistema de calendario?
  • ¿Por qué es tan importante que el calendario sea muy preciso y no sufra desajustes?
  • ¿Cuáles fueron las causas que motivaron la necesidad de la reforma del calendario en el año 1582? De qué tipo fueron las causas más determinantes ¿religioso, político, social o económico?
  • ¿Cuál fue el principal objetivo del Papa Gregorio XIII con su reforma del calendario?
  • ¿Qué papeles jugaron los distintos poderes religiosos políticos en la implantación de la reforma? ¿Por qué algunos países prefirieron durante muchos años "estar en desacuerdo con los astros antes que estar de acuerdo con el Papa"?
  • ¿Por qué no coincide el número de días de desfase producidos en los años de vigencia del calendario juliano con el número de fechas suprimidas por la reforma gregoriana?
  • ¿Por qué usamos un calendario organizado en años de doce meses con una cantidad desigual de días?¿Por qué no un calendario basado en el sistema decimal? ¿No se le habrá ocurrido a nadie definir uno?

Algunas de estas preguntas encuentran respuesta en las raíces matemáticas en las que se basa un calendario


Actividades desarrolladas

Se ha desarrollado un conjunto de tres actividades que tratan de poner de manifiesto el importante papel de las Matemáticas en la construcción de un instrumento tan cotidiano para nosotros y con tanta trascendencia en nuestras vidas, como es el calendario.
Además de trabajar contenidos matemáticos como los sistemas decimal y sexagesimal y los errores cometidos al utilizar aproximaciones, pretenden ejercitar la lectura comprensiva, la escritura y la competencia digital del alumnado.

Actividad 1: Redactar un resumen del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por Eduardo Wolovelsky.
En la guía de realización de las actividades se propone al alumnado una serie de preguntas que deben quedar contestadas en el texto redactado como resumen, además de solicitar una breve valoración personal del texto.
- Actividad 2: Completar una hoja de cálculo.
En ella se trabaja la conversión del sistema decimal al sexagesimal y los errores absolutos y relativos, utilizando el año trópico como valor exacto y los años medios julianos y gregorianos como valores aproximados.

- Actividad 3: Contestar unas preguntas utilizando la información obtenida en la actividad 2.
Algunas de las preguntas propuestas se contestan directamente con los cálculos realizados; otras necesitan relacionar y deducir; alguna, totalmente abierta, solicita hacer conjeturas y aportar opiniones personales.

Se ha utilizado Google Classroom como herramienta que facilita enormemente la distribución entre el alumnado de los documentos con la información, instrucciones y plantillas a cumplimentar, así como la entrega de los trabajos realizados. También agiliza la evaluación y devolución de los trabajos corregidos y calificados.

"este objeto que es a la vez una herramienta milagrosa y
una jaula de momentos finitos que nos obliga a ir corriendo de un lado para otro,
intentando sacar el máximo partido del breve tiempo que nos ha tocado"
David Ewing Duncan, “El calendario”


Descarga de documentos de la actividad:

- Relato "El año al que le faltaron diez días", de Eduardo Wolovelsky. En formato PDF aquí.
- Guía con las instrucciones detalladas e información para la realización de la actividad. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Plantilla vacía para la redacción del resumen. En formato MS Word aquí.
- Hoja de cálculo Excel a completar en la actividad 2. Puedes descargarla aquí.
- Cuestionario a contestar en la actividad 3. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.


Para saber más:

- Marqués González, Néstor F. "Un año en la Antigua Roma. La vida cotidiana de los romanos a través de su calendario". Ed. Espasa. Barcelona. 2018.

- Duncan, David Ewing. "El calendario". Ed. Emecé. Barcelona. 1999.

- Grupo Azarquiel. “Matemáticas desde la Astronomía”. M.E.C. Vicens Vives. Madrid, Barcelona. 1987.

- de Orús Navarro, Juan José y otros. “Astronomía esférica y mecánica celeste”. Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona. Barcelona. 2007.
  http://www.publicacions.ub.edu/liberweb/astronomia_esferica/

- Cambio al calendario gregoriano. Wikipedia.
  https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cambio_al_calendario_gregoriano&oldid=111596719

- Length of Tropical Years 1900–2100:
  https://www.timeanddate.com/astronomy/tropicalyearlength.html

- Fourmilab's Calendar Converter - Equivalencia de fechas en distintos calendarios
http://www.fourmilab.ch/documents/calendar

“El Astrolabio Universal GeoGebra” Libro Geogebra creado por Manuel García Piqueras

- Documentación sobre la creación y manejo del Astrolabio Universal GeoGebra (en inglés)
  http://www.sociedadelainformacion.com/57/ManuelGPiqueras.pdf

“La Tierra y el Sol” Libro GeoGebra creado por Rafael Losada Liste

viernes, 11 de mayo de 2018

Día Escolar de las Matemáticas 2018

En el año 2000, Año Mundial de las Matemáticas, se instituyó la celebración del día 12 de mayo como Día Escolar de las Matemáticas por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Esta fecha fue elegida en honor a Pedro Puig Adam, figura clave de la didáctica de las Matemáticas en España, nacido el 12 de mayo de 1900. 

Cada año esta celebración se dedica a un tema que vincula las Matemáticas con otro ámbito de la vida cotidiana. Este año, el XIX Día Escolar de las Matemáticas está dedicado a las "Matemáticas y el poder de los votos", magnífica ocasión para explorar la problemática de la distribución de escaños y algunos procedimientos utilizados para ello. 



Créditos: Wikipedia


Repartir sin partir


Repartir de forma equitativa una ración de 6 croquetas entre 3 amigos es muy fácil. También es posible, sin mucha complicación, repartir equitativamente 3 croquetas entre 6 amigos; o incluso entre 5. Se necesita algo más de reflexión para repartir 75 camisetas firmadas por los jugadores del Athletic entre 14 peñas de aficionados, cada una de ellas con distinto número de miembros, de forma que la cantidad de camisetas recibidas por cada peña sea proporcional a su número de socios.

Una situación análoga se da al tratar de repartir, siguiendo criterios de representación proporcional, los escaños asignables entre los partidos políticos que concurren a unas elecciones. Como el número de puestos representativos que se asigna a cada partido debe ser un número entero, no es posible una distribución exactamente proporcional a los votos obtenidos por cada partido. En España, tanto en las elecciones al Parlamento Europeo, como en las del Congreso, los parlamentos regionales o los ayuntamientos, la ley electoral vigente ordena la utilización del procedimiento conocido como ley d’Hondt. Un algoritmo matemático ideado a finales del siglo XIX por el jurista belga Victor D'Hondt.

Además del sistema de reparto hay otros factores que influyen determinantemente en la distribución final de escaños entre los partidos políticos que toman parte en unas elecciones.

Circunscripciones

La división del territorio donde se celebran las elecciones en partes en las que se aplicará el sistema de reparto de forma independiente afecta al resultado en gran medida. Son las denominadas “circunscripciones”, que tienen por objetivo gestionar la proporcionalidad en la representación territorial.
También tiene un efecto importante la determinación del número de escaños a repartir en cada circunscripción; puede ser igual en todas, proporcional a su población o un mínimo común más una cantidad dependiente de la población.

Umbral de exclusión

Otro factor que determina la asignación de escaños es el umbral de entrada en el reparto. Quedan excluidas del reparto las candidaturas que no hayan obtenido, al menos, cierto porcentaje de los votos válidos emitidos en cada circunscripción. Este umbral trata de gestionar la gobernabilidad evitando que el número de partidos que obtienen representación sea “excesivo”. Este umbral no es el mismo en las distintas elecciones: 5% en el caso de elecciones municipales; 3% en las elecciones al Congreso; no existe ningún porcentaje de exclusión en las elecciones al Parlamento Europeo; en las elecciones autonómicas depende de la propia Comunidad. En el Parlamento Vasco, desde las elecciones de 2001 se aplica un umbral de exclusión del 3%; anteriormente era del 5%.



Las actividades propuestas a continuación pretender ayudar a conocer el sistema de asignación de escaños utilizado en los procesos electorales en España, entendiendo la dificultad de la problemática que trata de resolver, los factores que influyen en el resultado final y la existencia de alternativas, que al igual que la ley d’Hondt, no están libres de controversia.



Actividad 1: Resultados de las Elecciones al Parlamento Vasco de 2016.

Buscar y localizar información relevante en la red para crear nuevos contenidos.
Actividad 2: Aplicación de la ley d’Hondt.
Partiendo de las reglas a seguir para su aplicación, y utilizando una aplicación de hoja de cálculo, comprobar la asignación de escaños de las Elecciones al Parlamento Vasco de 2016 en Álava; y simular otros escenarios, como distintos umbrales de exclusión o circunscripción única.
Actividad 3: Una alternativa a la ley d’Hondt.
En los últimos años, desde el ámbito matemático universitario, se han propuesto como solución para ganar proporcionalidad, distintos sistemas de reparto. En 2004, José Miguel Bernardo, catedrático de Estadística en la Universidad de Valencia, publicó un sistema de asignación de escaños, de fácil aplicación, que mejora la proporcionalidad producida por la ley d’Hondt. Dada su sencillez conceptual, se utiliza el procedimiento propuesto para realizar una actividad de exploración de la influencia del método de reparto en la asignación resultante.
Actividad 4: Simulación de otros escenarios de desarrollo de las Elecciones.
Utilizar un simulador electoral online para responder a cuestiones relacionadas con el reparto de escaños y el coste en votos en unas elecciones.


Descarga de documentos de la actividad:

- Puedes descargar esta actividad en formato MS Word aquí.
- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja Excel para completar por el alumnado aquí.

- Puedes descargar una hoja Excel con las actividades aquí.




Para saber más:

Información Elecciones en Euskadi
http://www.euskadi.eus/elecinf/

Archivo de resultados electorales
http://www.euskadi.eus/emaitzak/

¿Por qué no valen lo mismo los votos en los tres territorios?
http://www.eitb.eus/es/elecciones/autonomicas-vascas/detalle/971593/sistema-electoral-euskadi--asi-es-sistema-electoral-euskadi/

¿En qué se traducen sus votos? Así es el sistema electoral en Euskadi
http://www.elmundo.es/elmundo/2012/10/18/paisvasco/1350559482.html

Una alternativa a la ley d'Hondt
José Miguel Bernardo - El Páis - 02/02/2004
https://elpais.com/diario/2004/03/02/cvalenciana/1078258698_850215.html
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/electoral/art_leydhondt.pdf

Extracto elaborado para la actividad
https://drive.google.com/file/d/1Uq5qcM39hDvvDZusMAtHUAGOMH4l7Bds

Probabilidad y Estadística en los Procesos Electorales
José Miguel Bernardo - Universidad de Valencia - 28/02/2005
https://pingpdf.com/pdf-probabilidad-y-estadastica-en-los-procesos-electorales.html

Matemáticos diseñan un sistema electoral más equilibrado que acabaría con los problemas de representatividad en el Congreso de los Diputados
Victoriano Ramírez González - Universidad de Granada - 20/02/2018
https://canal.ugr.es/noticia/matematicos-sistema-electoral-equilibrado

viernes, 20 de abril de 2018

¿Abscisa, sierra o tijera?

¿Por qué las abscisas se llaman abscisas?


Algunos de los inventos más revolucionarios han tenido su origen en la idea de poner juntos dos objetos comunes ya existentes. La fregona y el "Chupa Chups" son dos buenos ejemplos de ello. De la misma manera, la "invención" de la geometría analítica, uno de los acontecimientos más trascendentes en el desarrollo de la ciencia, surge de la combinación de conceptos y técnicas ya existentes en dos campos matemáticos hasta entonces desconectados: la geometría y el álgebra.

La geometría analítica fue ideada de forma independiente por dos matemáticos en la primera mitad del siglo XVII. Este tipo de coincidencias es frecuente en el desarrollo de las Matemáticas. Habitualmente se considerada como origen de la geometría analítica la obra "La geometría" del matemático francés René Descartes (1596-1650); publicada en 1637 como tercer apéndice de su "Discurso del método". En realidad el abogado y político francés Pierre de Fermat (1601-1665), denominado el "príncipe de los aficionados" (a las matemáticas), ya aplicaba anteriormente métodos algebraicos al estudio de figuras geométricas representadas en unos ejes coordenados. Como su nuevas técnicas no fueron publicadas hasta después de su fallecimiento, no tuvieron tanta influencia como la obra de Descartes. Debido a ello se utilizan las denominaciones de geometría cartesiana y de ejes cartesianos, olvidando el papel jugado por Fermat.

En castellano denominamos "abscisa" a la coordenada representada sobre el eje horizontal de un sistema de referencia cartesiano. Y "ordenada" a la coordenada representada sobre el eje vertical.


Etimología de "abscisa"

La palabra abscisa procede del latín "abscissa linea" (línea cortada). "Abscisus-a-um" significa cortado o cortada, y tiene su origen en el verbo "scindo" (cortar, separar). De "scindo" derivan en castellano palabras como "escindir" y "rescindir". También tienen el mismo origen la palabra francesa "scie" (sierra) o la inglesa "scissor" (tijeras). Seguro que en otros idiomas habrá más palabras relacionadas ¿conoces alguna?

El término alude, probablemente, al hecho de que el sistema de referencia cartesiano utilizado para representar puntos en el plano está formado por una recta horizontal "cortada" con otra recta perpendicular a ella.

No está del todo claro cuándo fue utilizada por vez primera. Contrariamente a lo que cabría pensar, el primero en utilizar este término en el sentido actual no fue Descartes. Se acepta que fue el matemático veneciano Stefano de Angelis en su libro "Miscellaneum Hyperbolicum, et Parabolicum", publicado en 1659. Aunque el término ya aparece en "De Practica Geometrie" publicada en 1220 por Fibonacci (Leonardo de Pisa).

Etimología de "ordenada"


Y ya que estamos, ¿cuál es el origen de la palabra "ordenada" en su uso matemático? También proviene del latín, en el que se usaba "ordinatae lineae" para referirse a las líneas paralelas.

P
ara obtener la coordenada vertical de un punto, en un sistema de referencia cartesiano en el plano, se traza una paralela al eje horizontal; lo que acabó derivando en el término "ordenada".


Para saber más:

On the Word “Abscissa” en el blog "The Number Warrior" de @jdyer:
https://numberwarrior.wordpress.com/2009/03/08/on-the-word-abscissa/

En el blog "Epsilones"
http://www.epsilones.com/paginas/etimologias/etimologias-abscisa.html
http://www.epsilones.com/paginas/etimologias/etimologias-ordenada.html

domingo, 18 de marzo de 2018

El número π - David Jou

Antes de la primera danza, ¿existió el perímetro?
Los astros
no miden el camino que recorren,
en el círculo de las olas
el agua ignora al gua y cada punto sigue las leyes,
inertemente.
Hasta que alguien dividió por vez primera
el perímetro del círculo y el diámetro,
y nació, inalcanzable, el número π,
y fue como un rayo en una sala de espejos,
omnipresente,
ocupando las cúpulas celestes,
el período de los péndulos, el volumen de las estrellas,
la energía de la luz en equilibrio,
los saltos de los electrones en los átomos,
hasta perder su eco de pasos descalzos sobre la arena.


Este poema, con contenido matemático, de gran belleza y capacidad de evocación, recoge y transmite la etimología, definición, irracionalidad y omnipresencia del número π. También plantea el problema de la noción de número.

Está contenido en "πoetas - Primera antología de poesía con Matemáticas", seleccionada y prologada por el poeta y matemático Jesús Malia; ofrecida libremente en su blog "Poesía Abierta".

Su autor es David Jou, físico y poeta barcelonés nacido en Sitges en 1953. Catedrático de Física de la Materia Condensada de la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB) desde 1989. Además de su actividad académica y de contar con numerosas publicaciones de contenido científico ha desarrollado una extensa labor como divulgador. También ha traducido las principales obras de Stephen Hawking al castellano y al catalán. Como poeta ha publicado una veintena de libros de poesía en catalán, algunos de los cuales han sido traducidos al castellano, inglés, alemán, italiano o ruso.

David Jou y su obra son un magnífico ejemplo de cómo la realidad y el pensamiento no admiten compartimentos estancos, sino que se amplían con múltiples enfoques complementarios que se enriquecen unos a otros. Entiendo que el disfrute de este poema está, o sería deseable que estuviera, al alcance de cualquier persona de cultura y sensibilidad mínimamente cultivadas. 


Más información:

- "El nombre π" - Artículo en el blog "establo Pegaso". Además de en castellano, incluye este poema en catalán. También otro poema de David Jou dedicado al número π.

- "πoetas Primera Antología de Poesía con Matemáticas". Incluye una selección de poemas con contenido matemático de una decena de autores. En su prólogo, Jesús Malia repasa la conexión entre de la poesía y las matemáticas a través de la historia.

miércoles, 14 de marzo de 2018

El eπitafio de Hawking

Comenzamos con tristeza el día que la comunidad matemática de países de cultura occidental dedicamos al número π. Stephen Hawking ha fallecido esta madrugada. Lo ha hecho en la fecha en que nació Albert Einstein, en 1879. Hawking nació el 8 de enero de 1942, en la misma fecha en la que en 1642 falleció Galileo Galilei. Curiosas bromas del tiempo en la cadena de mentes extraordinarias que más han hecho avanzar el conocimiento científico del universo que habitamos; como queriendo subrayar el carácter colectivo del proceso de desarrollo de la ciencia.

Créditos: SWNS
El destino nos lanza otro guiño a la fecha de hoy con el deseo de Hawking de utilizar como epitafio para su tumba le ecuación que expresa la cantidad de entropía de un agujero negro. Stephen Hawking obtuvo tal resultado en enero de 1974 combinando la mecánica cuántica con la relatividad general. Con sorpresa, y creyendo inicialmente que se trataba de un error en los cálculos, halló que los agujeros negros debían tener entropía y temperatura; que no son absolutamente negros, que debían emitir radiación, bautizada más tarde como radiación de Hawking.

En la fórmula S significa la entropía y A el área del horizonte de eventos del agujero negro. El  resto son constantes: c la velocidad de la luz, G la constante de la gravitación universal, h la constante de Planck y k la constante de Boltzamann. Y el número π, también denominado constante de Arquímedes.

Esta ecuación contiene, usando la célebre expresión de Newton, la torre de gigantes subidos unos en los hombros de sus predecesores para divisar cada vez un horizonte más amplio y extender así el conocimiento humano. Hawking y la radiación emitida por los agujeros negros; Einstein y su teoría de la relatividad, extensión de la de la gravitación de Newton; Plank, fundador de la teoría cuántica de la física; Boltzamann, pionero en la aplicación de métodos probabilísticos a la mecánica que aportaron fundamentos teóricos a las leyes de la termodinámica; el gran Newton con su teoría de la gravitación universal. Y Arquímedes con su método exhaustivo utilizado para aproximar el valor del número π y sus trabajos sobre el área y el volumen de la esfera y el cilindro. Es oportuno señalar que Arquímedes pidió que en su tumba apareciera el dibujo de una esfera contenida dentro de un cilindro, en relación a su demostración de que el volumen de una esfera corresponde a dos terceras partes del cilindro con el mismo diámetro y altura que la contiene. Lo que también podría considerarse otro eπitafio.

¿No es emocionante tanto conocimiento condensado en una expresión tan simple?

Esta fórmula es uno de los mejores ejemplos de como, en palabras de Armand Borel, "las Matemáticas son la poesía de las ideas" y de que "las Matemáticas, cuando se comprenden bien, no solo poseen verdad, sino la belleza suprema", como decía Bertrand Russell. También es una buena muestra de la onmipresencia del número π  en las relaciones que nos permiten entender el universo donde vivimos.

Además de haber sido un científico genial, Hawking ha sido la personalización del afán de superación y de la lucha contra los límites físicos y las circunstancias adversas. Para terminar desde el lado más humano de Stephen Hawking, entre su enorme legado científico y personal, podemos recordar su maravillosa frase, de especial valor teniendo en cuenta de quien procede, "el universo no sería para tanto si no fuese porque es el lugar en el que viven las personas que amas".

DEP

Para saber más:
Termodinámica de los agujeros negrosLa radiación de HawkingExcelentes artículos de Carles Paul en su blog "ABCIENCIADE - Ciencia para pensar y pensar la ciencia".
Bekenstein-Hawking entropy. Artículo en scholarpedia.org sobre la entropía de Bekenstein-Hawking.
El pasado es un país extraño. Brillante mirada de Manuel Jabois sobre la figura de Stephen Hawking.


martes, 5 de diciembre de 2017

Geometría de Tortuga

Exploración matemática y pensamiento computacional.

 

Me gusta volver a los clásicos en estos tiempos de novedades que se presentan a un ritmo acelerado para su consumo rápido e inmediato. De la profundidad de los clásicos siempre es posible extraer algo más con cada relectura. Cualquier momento es bueno para ello. La coincidencia de esta semana académicamente tan corta con la "Computer Science Education Week" es una buena razón; tan buena como otra cualquiera.

Dentro de la CSEdWeeek, Google dedicó el pasado día 4 su "doodle" a celebrar los 50 años desde que los lenguajes de programación para niños se hicieron públicos. De hecho, el "doodle" interactivo creado por Google es un juego de programación para niños. En la década de 1960, mucho antes de la aparición de los ordenadores personales, Seymour A. Papert e investigadores del MIT desarrollaron LOGO, el primer lenguaje de codificación diseñado para niños que programando los movimientos de una tortuga tenían la oportunidad de explorar ideas de matemáticas y ciencias a la vez que adquirían confianza en una tecnología entonces incipiente. Papert y sus colegas materializaron así su visión de cómo las computadoras podrían ser utilizadas como una poderosa herramienta para la enseñanza y el aprendizaje.

El libro "Geometría de Tortuga. El Ordenador como medio de exploración de las Matemáticas", escrito por Harold Abelson en colaboración con Andrea diSessa, y publicado originalmente en 1981 por el MIT y en castellano en 1986 por Anaya Multimedia, es un clásico sobre cómo una aproximación computacional puede cambiar la relación entre los estudiantes y el conocimiento matemático. En palabras de Seymour Papert en el momento de su lanzamiento, es "el primer libro de texto para la educación matemática del futuro".

En su introducción puede leerse: "Todavía la mayor parte de cualquier plan de matemáticas está dedicado a la práctica de algoritmos rutinarios y a la repetición de antiguos teoremas. Es raro el estudiante que tiene la ocasión de aproximarse a las matemáticas haciéndolas, en vez de aprendiéndolas, mediante la investigación de nuevos fenómenos, formulando hipótesis originales o probando nuevos teoremas. La computación -en especial la actividad de programar- puede ofrecer muchas oportunidades a los estudiantes para que participen en tal tipo de actividades sin necesidad de dominar un aparato formidable". Estas palabras de hace más de 35 años parecen no haber penetrado aún en los currículos de Matemáticas de secundaria y bachillerato a tenor de sus contenidos y extensión. A pesar de ello, y afortunadamente, conozco muchos docentes que orientan su enseñanza de forma exploratoria y tratan de conseguir que sus estudiantes "construyan" Matemáticas.

En la misma introducción los autores manifiestan su deseo de "presentar un plan que muestre la influencia computacional en la elección de ideas, así como en la de actividades"; y cómo lo más importante en este empeño es "la expresión de los conceptos matemáticos en términos de formulaciones constructivas orientadas hacia procedimientos, que a menudo son más asimilables y concuerdan más con los modos intuitivos del pensamiento que con el formalismo axiomático-deductivo".

El capítulo con el que comienza "Geometría de Tortuga" hace una introducción a un tipo de Geometría, conocida con este nombre, diseñada no solo para presentar teoremas y demostraciones, sino fundamentalmente para explorar y ayudar a concebir nuevas ideas, y para pensar sobre los descubrimientos realizados y comprenderlos. El capítulo introduce también el lenguaje de esa geometría en términos de las acciones más simples necesarias para describir el movimiento de una tortuga; se trata de los conceptos básicos de LOGO. Una de las ideas más iluminadoras del capítulo es la consideración de los comandos de control de los movimientos de la tortuga como una forma de dibujar figuras en la pantalla de un ordenador y también como una forma de describir figuras.


Geometría de tortuga vs Geometría de coordenadas



Es muy reveladora la comparación entre la Geometría de tortuga y la Geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga se basa en las propiedades intrínsecas de las figuras geométricas; es decir, de aquellas propiedades que dependen únicamente de las propias figuras y no de su relación con un sistema de referencia, como en el caso de la geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga es más local que la de coordenadas; la tortuga en su movimiento solo tiene en cuenta un pequeño entorno del punto en el que se encuentra, mientras que en la Geometría de coordenadas se establecen relaciones entre puntos distantes (por ejemplo, define una circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro). La Geometría de coordenadas describe los objetos en términos de ecuaciones. La Geometría de Tortuga lo hace mejor mediante procedimientos. Ello permite establecer relaciones y aplicar conceptos y técnicas de computación, como la iteración y la recursividad, que facilitan enormemente la exploración matemática.


La actividad planteada


Durante la realización del curso "Impulso al estudio de Matemáticas mediante Computational Thinking", impartido por miembros del Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S. de Ingenieros de la UPV/EHU dentro del programa de formación Prest_Gara, encontré en el primer capítulo de "Geometría de Tortuga" un buen punto de partida para desarrollar una actividad con contenido matemático que relacionara resolución de problemas y pensamiento computacional.

Está pensada para alumnado de 3º/4º de la ESO. Su objetivo es hacer ver un polígono como un camino cerrado y guiar en el descubrimiento del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono simple de cualquier número de lados. Puedes descargar la ficha de la actividad en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOCaquí. En ella se relacionan las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se aplican en esta actividad. Está dividida en cinco fases que comprenden un total de 18 tareas.

  • Introducción al entorno para practicar la geometría de tortuga (intérprete LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell): Comenzando por la presentación del escenario de trabajo y de los comandos básicos para desplazar y dibujar gráficos con la tortuga. A través de ejemplos sencillos se introducen los conceptos de procedimiento, iteración y variable. 
  • Introducción a la Geometría de tortuga: Utilizando el triángulo equilátero y buscando provocar la sorpresa del alumno se introduce la idea de ángulo exterior y se reflexiona entre las diferencias entre la Geometría de coordenadas y fórmulas, y la Geometría de tortuga.
  • Exploración de las figuras geométricas asociadas a procedimientos sencillos: Se construye un procedimiento muy sencillo que admitiendo una longitud y un ángulo como variables avanza y gira indefinidamente. Se exploran algunos casos sencillos que producen polígonos, simples y estrellados. Se tantean algunos cambios en el valor del ángulo para estudiar su influencia en la figura que se obtiene.
  • Introducción de los conceptos de  giro total y camino cerrado. Teorema del camino cerrado: Se estudia, en algunos casos sencillos, la relación entre el ángulo indicado al procedimiento POLI y el nº de lados de la figura dibujada.  Se introducen los conceptos de giro total de un camino y de camino cerrado (que vuelve a colocar a la tortuga en su posición y con su orientación iniciales). Se conduce al alumno hacia la “deducción” del teorema del camino cerrado.
  • Teorema del camino cerrado simple y algunas aplicaciones inmediatas como propiedades de los ángulos interiores de un polígono: Se presenta el teorema del camino cerrado simple: “El giro total realizado a lo largo de cualquier camino cerrado simple es +-360º” como una generalización difícil de probar de lo observado al experimentar con el comando POLI. Se conduce al alumno, de forma alternativa a la tradicional triangularización, hacia la demostración del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. Se demuestra el valor de la medida del ángulo interior de un polígono regular de n-lados.

En la documentación para el profesorado se identifican las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se trabajan en cada tarea. También se añaden los cuadros de progreso y resultados de aprendizajes de la actividad. Puedes descargarla en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.

Puedes descargar la actividad para el alumnado en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.


Harold Abelson


Matemático e informático teórico, es profesor de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación del MIT. A principios de los 80 del pasado siglo dirigió la primera implementación del lenguaje de programación LOGO de Apple y publicó "Geometría de Tortuga", en colaboración con Andrea diSessa. A mediados de la misma década cambió la enseñanza de la computación desde un enfoque revolucionario que mucho más allá del código, la sintaxis y las máquinas, considera la programación como un modo formal y sistemático de pensar sobre cómo hacer las cosas.

Abelson, con un alto nivel de conciencia y compromiso sociales, y una visión ética de la programación, es cofundador de "Creative Commons" y de la "Free Software Foundation". También desempeñó un papel clave en la puesta en marcha del proyecto "OpenCourseWare" del MIT.

Uno de sus proyectos más recientes, en colaboración con Google, es la creación de "MIT App Inventor", un sistema de desarrollo basado en la web que facilita la creación de aplicaciones para dispositivos móviles, sin necesidad de tener grandes conocimientos técnicos de programación. Al describir sus motivaciones para el proyecto, Abelson confiesa estar un poco aterrorizado porque la tecnología se está introduciendo a las nuevas generaciones solamente como un producto de consumo, sin considerar la idea de que el teléfono móvil sea algo que se pueda querer programar.


Para saber más:


- Harold Abelson: "OCW Faculty Profile"

- LOGO:
  - LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell.
  - Centro de recursos, ejercicios y manuales del lenguaje LOGO en castellano.
  - La Academia de la Tortuga: Para aprender el lenguaje de programación Logo.

- Pensamiento computacional:
  - "CS Unplugged - Computer Science without a computer": Recursos y actividades para enseñar pensamiento computacional.
 - Brebas: Certamen sobre informática y pensamiento computacional para centros de primaria y secundaria.
  - Brebas: International Challenge on Informatics and Computational Thinking.