viernes, 20 de abril de 2018

¿Abscisa, sierra o tijera?

¿Por qué las abscisas se llaman abscisas?


Algunos de los inventos más revolucionarios han tenido su origen en la idea de poner juntos dos objetos comunes ya existentes. La fregona y el "Chupa Chups" son dos buenos ejemplos de ello. De la misma manera, la "invención" de la geometría analítica, uno de los acontecimientos más trascendentes en el desarrollo de la ciencia, surge de la combinación de conceptos y técnicas ya existentes en dos campos matemáticos hasta entonces desconectados: la geometría y el álgebra.

La geometría analítica fue ideada de forma independiente por dos matemáticos en la primera mitad del siglo XVII. Este tipo de coincidencias es frecuente en el desarrollo de las Matemáticas. Habitualmente se considerada como origen de la geometría analítica la obra "La geometría" del matemático francés René Descartes (1596-1650); publicada en 1637 como tercer apéndice de su "Discurso del método". En realidad el abogado y político francés Pierre de Fermat (1601-1665), denominado el "príncipe de los aficionados" (a las matemáticas), ya aplicaba anteriormente métodos algebraicos al estudio de figuras geométricas representadas en unos ejes coordenados. Como su nuevas técnicas no fueron publicadas hasta después de su fallecimiento, no tuvieron tanta influencia como la obra de Descartes. Debido a ello se utilizan las denominaciones de geometría cartesiana y de ejes cartesianos, olvidando el papel jugado por Euler.

En castellano denominamos "abscisa" a la coordenada representada sobre el eje horizontal de un sistema de referencia cartesiano. Y "ordenada" a la coordenada representada sobre el eje vertical.


Etimología de "abscisa"

La palabra abscisa procede del latín "abscissa linea" (línea cortada). "Abscisus-a-um" significa cortado o cortada, y tiene su origen en el verbo "scindo" (cortar, separar). De "scindo" derivan en castellano palabras como "escindir" y "rescindir". También tienen el mismo origen la palabra francesa "scie" (sierra) o la inglesa "scissor" (tijeras). Seguro que en otros idiomas habrá más palabras relacionadas ¿conoces alguna?

El término alude, probablemente, al hecho de que el sistema de referencia cartesiano utilizado para representar puntos en el plano está formado por una recta horizontal "cortada" con otra recta perpendicular a ella.

No está del todo claro cuándo fue utilizada por vez primera. Contrariamente a lo que cabría pensar, el primero en utilizar este término en el sentido actual no fue Descartes. Se acepta que fue el matemático veneciano Stefano de Angelis en su libro "Miscellaneum Hyperbolicum, et Parabolicum", publicado en 1659. Aunque el término ya aparece en "De Practica Geometrie" publicada en 1220 por Fibonacci (Leonardo de Pisa).

Etimología de "ordenada"


Y ya que estamos, ¿cuál es el origen de la palabra "ordenada" en su uso matemático? También proviene del latín, en el que se usaba "ordinatae lineae" para referirse a las líneas paralelas.

P
ara obtener la coordenada vertical de un punto, en un sistema de referencia cartesiano en el plano, se traza una paralela al eje horizontal; lo que acabó derivando en el término "ordenada".


Para saber más:

On the Word “Abscissa” en el blog "The Number Warrior" de @jdyer:
https://numberwarrior.wordpress.com/2009/03/08/on-the-word-abscissa/

En el blog "Epsilones"
http://www.epsilones.com/paginas/etimologias/etimologias-abscisa.html
http://www.epsilones.com/paginas/etimologias/etimologias-ordenada.html

domingo, 18 de marzo de 2018

El número π - David Jou

Antes de la primera danza, ¿existió el perímetro?
Los astros
no miden el camino que recorren,
en el círculo de las olas
el agua ignora al gua y cada punto sigue las leyes,
inertemente.
Hasta que alguien dividió por vez primera
el perímetro del círculo y el diámetro,
y nació, inalcanzable, el número π,
y fue como un rayo en una sala de espejos,
omnipresente,
ocupando las cúpulas celestes,
el período de los péndulos, el volumen de las estrellas,
la energía de la luz en equilibrio,
los saltos de los electrones en los átomos,
hasta perder su eco de pasos descalzos sobre la arena.


Este poema, con contenido matemático, de gran belleza y capacidad de evocación, recoge y transmite la etimología, definición, irracionalidad y omnipresencia del número π. También plantea el problema de la noción de número.

Está contenido en "πoetas - Primera antología de poesía con Matemáticas", seleccionada y prologada por el poeta y matemático Jesús Malia; ofrecida libremente en su blog "Poesía Abierta".

Su autor es David Jou, físico y poeta barcelonés nacido en Sitges en 1953. Catedrático de Física de la Materia Condensada de la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB) desde 1989. Además de su actividad académica y de contar con numerosas publicaciones de contenido científico ha desarrollado una extensa labor como divulgador. También ha traducido las principales obras de Stephen Hawking al castellano y al catalán. Como poeta ha publicado una veintena de libros de poesía en catalán, algunos de los cuales han sido traducidos al castellano, inglés, alemán, italiano o ruso.

David Jou y su obra son un magnífico ejemplo de cómo la realidad y el pensamiento no admiten compartimentos estancos, sino que se amplían con múltiples enfoques complementarios que se enriquecen unos a otros. Entiendo que el disfrute de este poema está, o sería deseable que estuviera, al alcance de cualquier persona de cultura y sensibilidad mínimamente cultivadas. 


Más información:

- "El nombre π" - Artículo en el blog "establo Pegaso". Además de en castellano, incluye este poema en catalán. También otro poema de David Jou dedicado al número π.

- "πoetas Primera Antología de Poesía con Matemáticas". Incluye una selección de poemas con contenido matemático de una decena de autores. En su prólogo, Jesús Malia repasa la conexión entre de la poesía y las matemáticas a través de la historia.

miércoles, 14 de marzo de 2018

El eπitafio de Hawking

Comenzamos con tristeza el día que la comunidad matemática de países de cultura occidental dedicamos al número π. Stephen Hawking ha fallecido esta madrugada. Lo ha hecho en la fecha en que nació Albert Einstein, en 1879. Hawking nació el 8 de enero de 1942, en la misma fecha en la que en 1642 falleció Galileo Galilei. Curiosas bromas del tiempo en la cadena de mentes extraordinarias que más han hecho avanzar el conocimiento científico del universo que habitamos; como queriendo subrayar el carácter colectivo del proceso de desarrollo de la ciencia.

Créditos: SWNS
El destino nos lanza otro guiño a la fecha de hoy con el deseo de Hawking de utilizar como epitafio para su tumba le ecuación que expresa la cantidad de entropía de un agujero negro. Stephen Hawking obtuvo tal resultado en enero de 1974 combinando la mecánica cuántica con la relatividad general. Con sorpresa, y creyendo inicialmente que se trataba de un error en los cálculos, halló que los agujeros negros debían tener entropía y temperatura; que no son absolutamente negros, que debían emitir radiación, bautizada más tarde como radiación de Hawking.

En la fórmula S significa la entropía y A el área del horizonte de eventos del agujero negro. El  resto son constantes: c la velocidad de la luz, G la constante de la gravitación universal, h la constante de Planck y k la constante de Boltzamann. Y el número π, también denominado constante de Arquímedes.

Esta ecuación contiene, usando la célebre expresión de Newton, la torre de gigantes subidos unos en los hombros de sus predecesores para divisar cada vez un horizonte más amplio y extender así el conocimiento humano. Hawking y la radiación emitida por los agujeros negros; Einstein y su teoría de la relatividad, extensión de la de la gravitación de Newton; Plank, fundador de la teoría cuántica de la física; Boltzamann, pionero en la aplicación de métodos probabilísticos a la mecánica que aportaron fundamentos teóricos a las leyes de la termodinámica; el gran Newton con su teoría de la gravitación universal. Y Arquímedes con su método exhaustivo utilizado para aproximar el valor del número π y sus trabajos sobre el área y el volumen de la esfera y el cilindro. Es oportuno señalar que Arquímedes pidió que en su tumba apareciera el dibujo de una esfera contenida dentro de un cilindro, en relación a su demostración de que el volumen de una esfera corresponde a dos terceras partes del cilindro con el mismo diámetro y altura que la contiene. Lo que también podría considerarse otro eπitafio.

¿No es emocionante tanto conocimiento condensado en una expresión tan simple?

Esta fórmula es uno de los mejores ejemplos de como, en palabras de Armand Borel, "las Matemáticas son la poesía de las ideas" y de que "las Matemáticas, cuando se comprenden bien, no solo poseen verdad, sino la belleza suprema", como decía Bertrand Russell. También es una buena muestra de la onmipresencia del número π  en las relaciones que nos permiten entender el universo donde vivimos.

Además de haber sido un científico genial, Hawking ha sido la personalización del afán de superación y de la lucha contra los límites físicos y las circunstancias adversas. Para terminar desde el lado más humano de Stephen Hawking, entre su enorme legado científico y personal, podemos recordar su maravillosa frase, de especial valor teniendo en cuenta de quien procede, "el universo no sería para tanto si no fuese porque es el lugar en el que viven las personas que amas".

DEP

Para saber más:
Termodinámica de los agujeros negrosLa radiación de HawkingExcelentes artículos de Carles Paul en su blog "ABCIENCIADE - Ciencia para pensar y pensar la ciencia".
Bekenstein-Hawking entropy. Artículo en scholarpedia.org sobre la entropía de Bekenstein-Hawking.
El pasado es un país extraño. Brillante mirada de Manuel Jabois sobre la figura de Stephen Hawking.


martes, 5 de diciembre de 2017

Geometría de Tortuga

Exploración matemática y pensamiento computacional.

 

Me gusta volver a los clásicos en estos tiempos de novedades que se presentan a un ritmo acelerado para su consumo rápido e inmediato. De la profundidad de los clásicos siempre es posible extraer algo más con cada relectura. Cualquier momento es bueno para ello. La coincidencia de esta semana académicamente tan corta con la "Computer Science Education Week" es una buena razón; tan buena como otra cualquiera.

Dentro de la CSEdWeeek, Google dedicó el pasado día 4 su "doodle" a celebrar los 50 años desde que los lenguajes de programación para niños se hicieron públicos. De hecho, el "doodle" interactivo creado por Google es un juego de programación para niños. En la década de 1960, mucho antes de la aparición de los ordenadores personales, Seymour A. Papert e investigadores del MIT desarrollaron LOGO, el primer lenguaje de codificación diseñado para niños que programando los movimientos de una tortuga tenían la oportunidad de explorar ideas de matemáticas y ciencias a la vez que adquirían confianza en una tecnología entonces incipiente. Papert y sus colegas materializaron así su visión de cómo las computadoras podrían ser utilizadas como una poderosa herramienta para la enseñanza y el aprendizaje.

El libro "Geometría de Tortuga. El Ordenador como medio de exploración de las Matemáticas", escrito por Harold Abelson en colaboración con Andrea diSessa, y publicado originalmente en 1981 por el MIT y en castellano en 1986 por Anaya Multimedia, es un clásico sobre cómo una aproximación computacional puede cambiar la relación entre los estudiantes y el conocimiento matemático. En palabras de Seymour Papert en el momento de su lanzamiento, es "el primer libro de texto para la educación matemática del futuro".

En su introducción puede leerse: "Todavía la mayor parte de cualquier plan de matemáticas está dedicado a la práctica de algoritmos rutinarios y a la repetición de antiguos teoremas. Es raro el estudiante que tiene la ocasión de aproximarse a las matemáticas haciéndolas, en vez de aprendiéndolas, mediante la investigación de nuevos fenómenos, formulando hipótesis originales o probando nuevos teoremas. La computación -en especial la actividad de programar- puede ofrecer muchas oportunidades a los estudiantes para que participen en tal tipo de actividades sin necesidad de dominar un aparato formidable". Estas palabras de hace más de 35 años parecen no haber penetrado aún en los currículos de Matemáticas de secundaria y bachillerato a tenor de sus contenidos y extensión. A pesar de ello, y afortunadamente, conozco muchos docentes que orientan su enseñanza de forma exploratoria y tratan de conseguir que sus estudiantes "construyan" Matemáticas.

En la misma introducción los autores manifiestan su deseo de "presentar un plan que muestre la influencia computacional en la elección de ideas, así como en la de actividades"; y cómo lo más importante en este empeño es "la expresión de los conceptos matemáticos en términos de formulaciones constructivas orientadas hacia procedimientos, que a menudo son más asimilables y concuerdan más con los modos intuitivos del pensamiento que con el formalismo axiomático-deductivo".

El capítulo con el que comienza "Geometría de Tortuga" hace una introducción a un tipo de Geometría, conocida con este nombre, diseñada no solo para presentar teoremas y demostraciones, sino fundamentalmente para explorar y ayudar a concebir nuevas ideas, y para pensar sobre los descubrimientos realizados y comprenderlos. El capítulo introduce también el lenguaje de esa geometría en términos de las acciones más simples necesarias para describir el movimiento de una tortuga; se trata de los conceptos básicos de LOGO. Una de las ideas más iluminadoras del capítulo es la consideración de los comandos de control de los movimientos de la tortuga como una forma de dibujar figuras en la pantalla de un ordenador y también como una forma de describir figuras.


Geometría de tortuga vs Geometría de coordenadas



Es muy reveladora la comparación entre la Geometría de tortuga y la Geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga se basa en las propiedades intrínsecas de las figuras geométricas; es decir, de aquellas propiedades que dependen únicamente de las propias figuras y no de su relación con un sistema de referencia, como en el caso de la geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga es más local que la de coordenadas; la tortuga en su movimiento solo tiene en cuenta un pequeño entorno del punto en el que se encuentra, mientras que en la Geometría de coordenadas se establecen relaciones entre puntos distantes (por ejemplo, define una circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro). La Geometría de coordenadas describe los objetos en términos de ecuaciones. La Geometría de Tortuga lo hace mejor mediante procedimientos. Ello permite establecer relaciones y aplicar conceptos y técnicas de computación, como la iteración y la recursividad, que facilitan enormemente la exploración matemática.


La actividad planteada


Durante la realización del curso "Impulso al estudio de Matemáticas mediante Computational Thinking", impartido por miembros del Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S. de Ingenieros de la UPV/EHU dentro del programa de formación Prest_Gara, encontré en el primer capítulo de "Geometría de Tortuga" un buen punto de partida para desarrollar una actividad con contenido matemático que relacionara resolución de problemas y pensamiento computacional.

Está pensada para alumnado de 3º/4º de la ESO. Su objetivo es hacer ver un polígono como un camino cerrado y guiar en el descubrimiento del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono simple de cualquier número de lados. Puedes descargar la ficha de la actividad en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOCaquí. En ella se relacionan las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se aplican en esta actividad. Está dividida en cinco fases que comprenden un total de 18 tareas.

  • Introducción al entorno para practicar la geometría de tortuga (intérprete LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell): Comenzando por la presentación del escenario de trabajo y de los comandos básicos para desplazar y dibujar gráficos con la tortuga. A través de ejemplos sencillos se introducen los conceptos de procedimiento, iteración y variable. 
  • Introducción a la Geometría de tortuga: Utilizando el triángulo equilátero y buscando provocar la sorpresa del alumno se introduce la idea de ángulo exterior y se reflexiona entre las diferencias entre la Geometría de coordenadas y fórmulas, y la Geometría de tortuga.
  • Exploración de las figuras geométricas asociadas a procedimientos sencillos: Se construye un procedimiento muy sencillo que admitiendo una longitud y un ángulo como variables avanza y gira indefinidamente. Se exploran algunos casos sencillos que producen polígonos, simples y estrellados. Se tantean algunos cambios en el valor del ángulo para estudiar su influencia en la figura que se obtiene.
  • Introducción de los conceptos de  giro total y camino cerrado. Teorema del camino cerrado: Se estudia, en algunos casos sencillos, la relación entre el ángulo indicado al procedimiento POLI y el nº de lados de la figura dibujada.  Se introducen los conceptos de giro total de un camino y de camino cerrado (que vuelve a colocar a la tortuga en su posición y con su orientación iniciales). Se conduce al alumno hacia la “deducción” del teorema del camino cerrado.
  • Teorema del camino cerrado simple y algunas aplicaciones inmediatas como propiedades de los ángulos interiores de un polígono: Se presenta el teorema del camino cerrado simple: “El giro total realizado a lo largo de cualquier camino cerrado simple es +-360º” como una generalización difícil de probar de lo observado al experimentar con el comando POLI. Se conduce al alumno, de forma alternativa a la tradicional triangularización, hacia la demostración del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. Se demuestra el valor de la medida del ángulo interior de un polígono regular de n-lados.

En la documentación para el profesorado se identifican las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se trabajan en cada tarea. También se añaden los cuadros de progreso y resultados de aprendizajes de la actividad. Puedes descargarla en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.

Puedes descargar la actividad para el alumnado en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.


Harold Abelson


Matemático e informático teórico, es profesor de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación del MIT. A principios de los 80 del pasado siglo dirigió la primera implementación del lenguaje de programación LOGO de Apple y publicó "Geometría de Tortuga", en colaboración con Andrea diSessa. A mediados de la misma década cambió la enseñanza de la computación desde un enfoque revolucionario que mucho más allá del código, la sintaxis y las máquinas, considera la programación como un modo formal y sistemático de pensar sobre cómo hacer las cosas.

Abelson, con un alto nivel de conciencia y compromiso sociales, y una visión ética de la programación, es cofundador de "Creative Commons" y de la "Free Software Foundation". También desempeñó un papel clave en la puesta en marcha del proyecto "OpenCourseWare" del MIT.

Uno de sus proyectos más recientes, en colaboración con Google, es la creación de "MIT App Inventor", un sistema de desarrollo basado en la web que facilita la creación de aplicaciones para dispositivos móviles, sin necesidad de tener grandes conocimientos técnicos de programación. Al describir sus motivaciones para el proyecto, Abelson confiesa estar un poco aterrorizado porque la tecnología se está introduciendo a las nuevas generaciones solamente como un producto de consumo, sin considerar la idea de que el teléfono móvil sea algo que se pueda querer programar.


Para saber más:


- Harold Abelson: "OCW Faculty Profile"

- LOGO:
  - LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell.
  - Centro de recursos, ejercicios y manuales del lenguaje LOGO en castellano.
  - La Academia de la Tortuga: Para aprender el lenguaje de programación Logo.

- Pensamiento computacional:
  - "CS Unplugged - Computer Science without a computer": Recursos y actividades para enseñar pensamiento computacional.
 - Brebas: Certamen sobre informática y pensamiento computacional para centros de primaria y secundaria.
  - Brebas: International Challenge on Informatics and Computational Thinking.

domingo, 19 de noviembre de 2017

Programación lineal con Desmos

Construcciones Desmos para la enseñanza/aprendizaje de programación lineal en 2º de Bachillerato.


Estos son dos de los escenarios Desmos con los que hemos trabajado en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia. Se trata de ejercicios de programación lineal en dos variables de acuerdo al currículo de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2º de Bachillerato, extraídos del libro de texto de Editorial Anaya, que representan los casos típicos de este tipo de problemas.


El primero es un ejercicio de obtención del máximo en un contexto de variables discretas. Puedes acceder a él haciendo clic aquí. En el segundo se trata de calcular el mínimo en un caso de variables continuasPuedes acceder a él haciendo clic aquí. 


En ambos casos de ofrece la resolución analítica, calculando los vértices del polígono que representa la región de validez (de soluciones factibles) y evaluando la función objetivo en ellos, y también la resolución gráfica. Se trata de construcciones simples fácilmente parametrizables con controles deslizantes para experimentar con distintas funciones objetivo o con otras restricciones.

jueves, 12 de octubre de 2017

Con Phi (Φ) de Phidias

Actividades entorno a la “divina proporción”


¿Qué tienen en común la disposición de los pétalos de una rosa, la famosa pintura de Salvador Dalí “Sacramento de la Última Cena”, las conchas de algunos moluscos,  la cría de conejos y los brazos en espiral de cierto tipo de galaxias como nuestra Vía Láctea?

Todos estos ejemplos dispares están unidos por un número conocido desde la Antigüedad, que a principios del siglo XVI, en Italia, fue denominado «Divina Proporción» y que en el siglo XIX recibió la distinción de «Número de Oro o Áureo», «Proporción Áurea» y «Sección Áurea».

Phi (Φ o φ) es un número menos conocido que otros con nombre propio como Pi (π) o e, pero mucho más fascinante en numerosos aspectos; ha seducido a lo largo de la historia a muchas de las mentes más brillantes..

Además de tener propiedades numéricas sorprendentes o expresar relaciones geométricas asombrosas, Φ aparece, relacionado con la belleza, la perfección y el caos, como conexión insospechada entre la naturaleza y las creaciones humanas.

Cotidianamente utilizamos la palabra “proporción” para expresar la relación comparativa respecto al tamaño o la cantidad que se establece entre las partes de las cosas; y para  describir una relación armónica entre diferentes partes.

En Matemáticas, la palabra “proporción” se utiliza para indicar la igualdad entre dos razones: “nueve es a tres como seis es a dos”.

La proporción áurea ofrece una mezcla intrigante de ambas definiciones.

Actividades

Comparto aquí las actividades entorno a la “divina proporción” que vengo utilizando desde hace algunos cursos con alumnado de 3º y 4º ESO, y 1º Bachiller.
0.- “Nature by Numbers” de Cristóbal Vila. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.
1.- Cociente entre un término y su anterior en sucesiones tipo Fibonacci a partir de dos números cualquiera.
2.- Definición de proporción áurea.
3.- División, con regla y compás, de un segmento en razón media y extrema.
4.- Rectángulos áureos.
5.- La ecuación de  Φ. Representación de Φ sobre la recta real utilizando regla y compás.
6.- Algunas propiedades de Φ.
7.- Cálculo Φ por medio de Raíces anidadas.
8.- Cálculo Φ por medio de fracciones continuas.


La proporción áurea es un concepto a la vez que simple en su definición, muy rico; aparece recurrentemente en múltiples campos matemáticos. Ello permite desarrollar actividades de distintos bloques de los currículos de Matemáticas de ESO y Bachillerato, que incluyen cálculos aritméticos, construcciones y razonamientos geométricos, trabajo con sucesiones, límites, … También permite trabajar de forma interdisciplinar relacionando las Matemáticas con los contenidos de otras materias.

Las actividades compartidas permiten practicar la utilización de la calculadora y de aplicaciones de “hojas de cálculo”; también realizar construcciones con regla y compás y con GeoGebra. Algunas de ellas, especialmente a las dos últimas, son fácilmente enfocables de forma que desarrollen el “pensamiento computacional”. Otras, como la primera, pueden ser presentadas como un mero divertimento matemático.

- Puedes descargar las actividades en formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja MS Excel que facilita los cálculos aquí.
- Puedes abrir el libro GeoGebra relacionado aquí.


Para saber más:

- “Nature by Numbers” cortometraje de Cristóbal Vila, de una muy cuidada e impactante realización técnica. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.Una de las mejores formas de introducirse el tema de la razón áurea
- “La teoría tras la película” ofrece interesante información complementaria a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella.

- Corbalán, Fernando, “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza”. RBA Libros. Barcelona. 2010.

- Livio, Mario, “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”. Ed Planeta. Barcelona. 2006.

viernes, 8 de septiembre de 2017

Área de un cuadrado conocida la longitud de su diagonal

“"It is better to solve one problem five different ways,
than to solve five problems in one way"
George Polya (1887 – 1985)”

La diagonal de un cuadrado mide 6 m  ¿Cuánto mide su área?

Desarrollo de la actividad

1.- Individualmente: Calcula el resultado de 2 maneras distintas

2.- En grupos de 3: Calculad el resultado de 4 maneras distintas.

3.- Individualmente: Redacta detalladamente 3 maneras distintas de calcular el resultado.
  • Explica lo que has hecho de forma que cualquier compañero que lo lea pueda comprenderlo y repetirlo.
  • Además de indicar los pasos a seguir (qué has hecho) tienes que incluir el razonamiento (por qué lo has hecho).

Solución de problemas versus resolución de problemas

Esta actividad tiene su origen en una charla impartida por Lorenzo J. Blanco Nieto, Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Extremadura dentro del “Seminario Permanente de Actualización en Matemáticas” de la Universidad de La Rioja.
 
En la conferencia, con título “Resolver problemas versus resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos”, desde el convencimiento de que la resolución de problemas debe ser el foco principal en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, el profesor Blanco reflexionó sobre la diferencia entre “resolver problemas”  y “resolución de problemas”, incidiendo sobre las dificultades mostradas por los alumnos al escribir las estrategias concretas para resolver un problema, y para diferenciar entre la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema.

Además de porque, siguiendo a Polya, estoy convencido de que aprendemos mucho más resolviendo un problema de muchas formas distintas que resolviendo muchos problemas de la misma forma, me gusta esta actividad porque permite trabajar la fase de revisión y extensión de la resolución de problemas, así como la redacción rigurosa, ordenada y precisa de las estrategias seguidas. También porque al combinar trabajo individual y en grupo permite practicar destrezas relacionadas con la comunicación oral y escrita, como son la expresión de ideas complejas y la escucha atenta.

Para acceder a un libro GeoGebra con algunas soluciones y los pasos seguidos para llegar a ellas haz clic aquí.

+ Info:
- Presentación de la conferencia “Resolver problemas vs. resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos” en la Universidad de Zaragoza.