martes, 14 de marzo de 2017

¡¿ π = 2 ?!

Una π-Paradoja para que π-enses un rato


Hoy 14 de marzo, 3/14 según se escriben las fechas en euskera o en inglés, además del nacimiento de Albert Einstein (14 de marzo de 1879), celebramos, por primera vez oficialmente en España, el "Día de Pi". Celebración con larga tradición en Estados Unidos hasta el punto de en 2009 su Cámara de Representantes declaró oficialmente el 14 de marzo como "Día Nacional de Pi".

Es un buen motivo para reflexionar entorno a una π-Paradoja. Y no me refiero al hecho de que π sea un número "irracional", aunque curiosamente haya sido definido como la razón entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia, sino a la que nos lleva a que el valor de π es el número entero 2.

Comencemos con un segmento AB de longitud 2, construyendo una semicircunferencia tomándolo como diámetro. Así el radio de la semicircunferencia es R = 1 y su longitud es π·R = π. A continuación dividiremos el segmento AB en dos partes iguales, y tomando como diámetro cada mitad, construiremos dos semicircunferencias disponiendo una a cada lado del segmento AB. Estas dos semicircunferencias forman una línea ondulada continua cuya longitud es igual que la de la primera semicircunferencia; es decir π. En efecto, el radio de cada semicircunferencia es 1/2 y su longitud π·1/2 = π/2. Por lo que la longitud conjunta de las dos semicircunferencias es 2·π/2 = π. Continuemos este proceso indefinidamente, dividiendo el segmento AB en 4, 8, ... partes iguales y tomando como diámetro cada parte, construyendo semicircunferencias dispuestas alternativamente una a cada lado del segmento AB. Obtendremos una sucesión de líneas onduladas que se aproximan cada vez más al segmento AB.

A medida que el número de semicircunferencias aumenta se obtiene una sucesión de líneas onduladas dentro de una banda cada vez más estrecha, que contiene al segmento AB. La anchura de la franja que contiene a cada línea ondulada coincide con el diámetro de las semicircunferencias que la forman, es decir 2/n.

Pero la longitud de todas las líneas onduladas es siempre la misma, π. Y tal debe ser la longitud del límite de las líneas onduladas, es decir del segmento AB. Con lo que tenemos ¡¿π = 2?!.

El siguiente escenario GeoGebra te ayudará a visualizar la construcción.

¡¿Es posible?!

Tómate tu tiempo para pensar...y solo después de ello, si quieres conocer una explicación de esta paradoja, haz clic aquí ▼▲

sábado, 4 de febrero de 2017

Las Matemáticas de los billetes en Euros

Desde el 1 de enero de 2002 los billetes y monedas en euros forman parte de la vida cotidiana de los más de trescientos millones de ciudadanos de la zona del euro. Los billetes, que plasman los estilos arquitectónicos representativos de siete épocas de la historia cultural europea, son idénticos para todos los países miembros de la eurozona.

Existen billetes en euros por valor de 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500 euros.

Las monedas y billetes en euros entraron en circulación el 1 de enero de 2002. Los billetes de la nueva serie, llamada «Europa», están siendo introducidos de forma gradual a lo largo de varios años, comenzando por el billete de 5 euros, puesto en circulación en mayo de 2013, el de 10 euros en septiembre de 2014 y el de 20 euros en noviembre de 2015. Posteriormente se seguirá el mismo proceso con el resto de billetes de euro, por orden creciente de valor.

Números de serie de los billetes de la primera serie 

Cada billete en euros de la primera serie es identificado por su número de serie impreso en la parte superior derecha y en la inferior izquierda del reverso.

El número de serie está formado por una letra seguida de una cadena de 11 dígitos. La letra indica el país del banco central que encargó la impresión de dicho billete, que no es necesariamente el banco del país en que se fabricó. La correspondencia entre letras y países figura en la tabla 1.

Por ejemplo, el billete de la imagen, con un número de serie que comienza por la letra «V», fue fabricado por encargo del Banco de España.

Como sistema de detección de errores, los números de serie tienen que cumplir dos condiciones:
  1. Si sustituimos la letra del número de serie por su posición en el alfabeto internacional, en el que no aparece la Ñ, (A=1, B=2, C=3,…,V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26) y dividimos el nuevo número de serie por 9, debe dar siempre como resto 8. Por ejemplo, en el billete V26075846857, sustituimos la V por 22 y obtenemos el número de serie 2226075846857. Al dividir 2.226.075.846.857:9 da como cociente 247.341.760.761 y de resto 8.
  2. Al dividir entre 9 el número formado por los 11 dígitos, debe dar como resto el indicado en la tabla 1 en la columna “Suma de verificación” de la fila correspondiente a la letra inicial del número de serie. Por ejemplo, en el billete V26075846857, 26.075.846.857:9 da como cociente 2.897.316.317 y de resto 4, que aparece en la tabla 1 en la fila de España.
En las actividades profundizaremos en este sistema de detección de errores e intentaremos descubrir algunas propiedades interesantes.

Números de serie de los billetes de la serie Europa (Billetes de 5, 10, y 20 €)

Los números de serie de los billetes de la serie Europa son los dos números impresos en el reverso: uno en la parte superior derecha, en horizontal, en negro, y otro en el centro, en vertical, en otro color.

El número horizontal consta de dos letras y diez dígitos. Ya no existe el código de país. La primera letra identifica a la fábrica de billetes. La correspondencia entre letras y fábricas aparece en la tabla 2. La segunda letra no tiene ningún significado concreto, simplemente hace posible que haya más números de serie. El número vertical y más corto, está formado por los últimos 6 dígitos del número de serie horizontal.

En las actividades estudiaremos si el número de serie de los billetes de la serie Europa incluye algún sistema de detección de errores semejante al de la primera serie de billetes.







Actividades

Estos son algunos ejemplos de números de serie de billetes en euros para que puedas hacer comprobaciones y formular conjeturas:



Billetes de la primera serie 

1.- Comprueba el funcionamiento del sistema de detección de errores en el número de serie de varios billetes. Por ejemplo, comprueba que se cumplen las condiciones a) y b) en los billetes de 5 euros de la serie 2002 de la tabla 3.

2.- Se te ocurre alguna forma rápida de hallar, utilizando una calculadora, el resto de dividir un número entre 9. Puedes probar con números pequeños para formular una conjetura e intentar justificarla después.

3.- ¿Recuerdas el criterio utilizado para saber si un número es divisible por 9?

4.- Se te ocurre alguna forma rápida de hallar mentalmente el resto de dividir un número entre 9.

5.- Fíjate en los números de serie de los billetes de 10 € que empiezan por X de la tabla 3. ¿Observas algo especial? Puedes llegar a establecer un patrón que se repita. ¿Cuántos billetes hay entre los que tienen número de serie X53918260706 y X53918260751, ellos incluidos? ¿Cuántos billetes hay que tengan número de serie que comience por X539182607? ¿Y cuántos que comience por X53918260? Trata de buscar una regla general.

6.- Fíjate en los números de serie de los billetes de 500 € que empiezan por X de la tabla 3. ¿Observas algo especial? Sin hacer ninguna operación matemática ¿puedes llegar a alguna conclusión interesante?

7.- Invéntate un nº de serie de un billete encargado por el banco de Bélgica. Otro encargado por el banco de Portugal. Otro encargado por el banco de Irlanda.

8.- Invéntate un nº de serie que parezca el de un billete (una letra seguida de una cadena de 11 dígitos) y que puedas asegurar que es imposible que haya un billete que lo tenga.

9.- Teniendo en cuenta que los números de serie no pueden repetirse, ¿cuántos billetes de la primera serie se podrían llegar a imprimir?
10.- ¿Puede cumplir el número de serie de un billete la condición a) de detección de errores mencionada anteriormente y no cumplir la condición b)? ¿Y al revés? ¿Por qué?

11.- Alguien ha emborronado el último dígito del número de serie de un billete que comienza por X5391826075 ¿Cuál es la cifra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete que comienza por X5391826076 ¿Podrías decir cuál es la cifra ilegible en este caso?

12.- También hemos encontrado un billete que tiene emborronados los dos últimos dígitos del número de serie que comienza por P123456789 ¿Cuáles son las cifras tachadas?

13.- Y también hemos detectado un billete, fabricado en el año 2002, con la letra de su número de serie emborronada. Los  once dígitos del número de serie son  46789402142 ¿Cuál es la letra tachada? (Pista: Lituania ingresó en la zona del euro el 1 de enero de 2015). Ha pasado lo mismo en otro billete en el que vemos 36892747759 ¿Podrías decir cuál es la letra en este caso?

14.- Trata de inventar algún truco “matemágico” utilizando tus descubrimientos.

Billetes de la serie Europa

1.- Usando los números de serie de los billetes de la serie Europa de la tabla 3, comprueba si en este caso se cumple, como sistema de detección de errores, una condición semejante a la condición a) de los billetes de la primera serie.

2.- Comprueba también si se cumple una condición semejante a la condición b).

3.- Invéntate un nº de serie de un billete fabricado por la “Banque Nationale de Belgique”. Otro fabricado por “Valora” que es la fábrica de billetes de Portugal. Otro fabricado por el “Central Bank of Ireland”.

4.- Invéntate un nº de serie que parezca el de un billete (dos letras seguidas de una cadena de 10 dígitos) y que puedas asegurar que es imposible que haya un billete que lo tenga.

5.- Teniendo en cuenta que los números de serie no pueden repetirse, ¿cuántos billetes de la serie Europa se podrían llegar a imprimir? ¿Es un número mayor o menor que el de la primera serie?

6.- Alguien ha emborronado el último dígito del número de serie de un billete que comienza por PA234567890 ¿Cuál es la cifra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete que comienza por SD724472093 ¿Podrías decir cuál es la cifra ilegible en este caso?

7.- También hemos detectado un billete con la primera letra de su número de serie emborronada. El resto del numero de serie es  B6789402147 ¿Cuál es la letra tachada? Ha pasado lo mismo en otro billete en el que vemos C6892747758 ¿Podrías decir cuál es la letra en este caso?

8.- Si llegaste a inventar algún truco “matemágico” con los billetes de la primera serie ¿sigue funcionando bien con los billetes de la serie Europa?

9.- La web contraposicion.org publicó el 17 de junio de 2013 un artículo (https://contraposicion.org/2013/06/17/exploracion-del-nuevo-billete-jose-maria-barja-perez/) sobre el nuevo billete de 5 euros que fue publicado de nuevo al día siguiente por la web www.mundiario.com (http://www.mundiario.com/articulo/economia/el-nuevo-billete-de-5-euros-lleva-9-acronimos-del-banco-central-en-vez-de-los-5-anteriores-2/20130618111204003821.html). En ese artículo puede leerse:
“parece mantenerse que la “reducción a una cifra” sigue siendo 8; lo cual no se encuentra en la documentación publicada, pero se cumple en al menos una media docena de casos comprobados personalmente. Esa evidencia experimental no tiene valor probatorio en matemáticas”.
Con “reducción a una cifra” se refiere al método de sumar las cifras de un número para calcular el resto obtenido al dividir entre 9. ¿Te parece correcta la información publicada por estas webs?¿Por qué?

10.- Los códigos de detección de errores aparecen con frecuencia en otros escenarios de la vida cotidiana. Por ejemplo, la letra del NIF y el DC (dígito de control) de las cuentas corrientes cumplen esta función. También los códigos de barras llevan incorporado uno. Si te interesa este tema, es fácil encontrar información sobre ello en internet.

Descarga de documentos:

- Puedes descargar esta actividad en formato MS Word aquí.
- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja Excel que facilita los cálculos aquí.

martes, 17 de enero de 2017

Parecidos RAZONables

¿Se inspiró Calatrava en el edificio del I.E.S. Samaniego de Laguardia para diseñar la bodega Ysios?




El edificio donde se aloja el I.E.S. Samaniego - Laguardia B.H.I. desde el curso 1994-1995 es el resultado de la rehabilitación y ampliación del antiguo Hospital San Raimundo, diseñado por el arquitecto vitoriano Julián Apraiz Arias e inaugurado el 1920. El edificio fue rehabilitado para ser utilizado como zona de oficinas de dirección y administración, sala de profesores, departamentos, salón de actos, laboratorios, bodega y aulas con distintos usos. Además se añadieron edificios de nueva construcción dedicados principalmente a aulario y gimnasio.

También en Laguardia, pegado a la Sierra de Cantabria, rodeado de viñedos e integrado en el paisaje se ubica el espectacular edificio de Bodegas Ysios, obra del arquitecto de prestigio mundial Santiago Calatrava. El edificio fue inaugurado en 2001. Su construcción supuso un hito arquitectónico y hoy en día es un símbolo paisajístico en el entorno.

Las Matemáticas forman parte de todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Matemáticas y Arquitectura poseen una larga y fecunda historia conjunta en la que seguramente la relación más inmediata sea la geometría. Como algunos tratados afirman “Toda creación arquitectónica es geometría”. Otros vínculos son menos evidentes.

¿Se inspiró Calatrava en el edificio de nuestro instituto para diseñar la bodega Ysios?¿Permiten las Matemáticas descubrir y analizar relaciones entre ambos edificios?


En esta entrada, siguiendo la metodología de “Aprendizaje Basado en Proyectos”, iremos desarrollando la situación de aprendizaje planteada. Utilizaremos las Matemáticas para, buscando semejanzas y diferencias, profundizar en las relaciones entre las fachadas de estos dos edificios tan antagónicos a primera vista.

Iremos actualizando la entrada para reflejar los avances del proyecto.

Mariló Montero no sabe usar la calculadora

El siguiente vídeo muestra los problemas de la presentadora de televisión Mariló Montero al manejar la calculadora para hallar su índice de masa corporal.


Para contestar a las siguientes cuestiones conviene que veas el vídeo completo por lo menos una vez sin pararlo y que posteriormente lo veas de forma más detallada, haciendo paradas y repeticiones.

1. En el instante 00:25 el experto indica que hay que dividir “lo que tu pesas en kg por tu altura al cuadrado”. ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso?¿Queda claro cómo hay que usar la altura? Indica tú de una forma correcta el procedimiento a seguir para calcular el IMC.

2. En el intervalo entre 00:30 y 00:50 Mariló calcula el cuadrado de su altura. ¿Detectas algún error?

3. En el momento 00:56 el experto exclama: “¡No puede ser! No te puede dar 0,51” ¿Cómo es posible que haya obtenido tal resultado?

4. En 01:00 se puede ver que Mariló repite la operación y obtiene 60 como resultado. ¿Se te ocurre alguna explicación para ello?

5. Hacia 01:23, el experto realiza mentalmente una estimación: “Si tu pesas 60 kg y dividimos 1,75 por 1,75, que eso te da 3 y algo, lo que tú has dicho … estamos en 22, ..., 23, que tú tendrías normopeso” ¿Te parece una buena estimación? ¿Podrías dar, de forma razonada, una mejor?

6. Entre 00:30 y 00:40 Mariló calcula el cuadrado de su altura. Mariló dice que mide 1,75 m por lo que su altura al cuadrado es 3,0625 m2. Mariló lee, posiblemente porque necesita gafas de presbicia y no se las ha puesto, 3,625. El experto repite la cifra como 3,65.
  • ¿Calcula los errores relativos y absolutos cometidos por Mariló y por el experto al dar la cifra del cuadrado de la altura?
  • Calcula también los errores relativos y absolutos cometidos al calcular el IMC utilizando esas cifras?

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Índice de Masa Corporal

Sencillo cálculo que informa de posibles riesgos en la salud relacionados con el sobrepeso.


El índice de masa corporal (IMC), o body mass index en inglés (BMI), es un indicador simple de la relación entre el peso y la talla que se utiliza frecuentemente para identificar el sobrepeso y la obesidad en los adultos. Se calcula dividiendo el peso de una persona en kilos por el cuadrado de su talla en metros, por lo que la unidad en la que se mide el IMC es kg/m2. Al IMC se le conoce también como índice de Quetelet ya que fue ideado en el siglo XIX por el matemático, astrónomo y naturista belga Adolphe Quetelet, celebre  asimismo por su aplicación de la estadística a la criminología.

Es muy importante tener en cuenta que no se pueden aplicar los mismos valores de IMC en  niños y adolescentes debido a su constante crecimiento y desarrollo corporal, por lo que se obtiene un IMC considerando su edad y sexo. También es necesario tener en cuenta consideraciones especiales al interpretar el IMC en el caso de personas ancianas y deportistas con gran desarrollo muscular.

El IMC no es perfecto. Tiene la ventaja de que con un cálculo muy sencillo, que cualquiera puede realizar, proporciona una indicación razonablemente buena sobre el estado nutricional de una persona y de posibles riesgos en su salud relacionados con el sobrepeso y exceso de grasa. Hay otros indicadores más completos que necesitan de técnicas más complejas.

Actividades


Comencemos con unas actividades del libro “Matemáticas en la vida real”, de G. Barozzi y otros autores.


Algunas observaciones y actividades complementarias


1. La tabla anterior que indica los “estados corporales” según el IMC, además de utilizar en dos casos la abreviatura “ICM”, contiene otra errata al indicar las desigualdades. ¿Qué errata?

2. La mencionada tabla clasifica los valores del IMC en cinco intervalos.
  • ¿Cuáles y de que tipo (abiertos, cerrados, semiabiertos o semicerrados) son?
  • Escríbelos usando la notación de paréntesis y corchetes.
  • Escribe la tabla con mayor precisión de forma que a todos los valores de IMC se les pueda asignar sin ninguna duda el correspondiente “estado corporal”.

3. En una persona con una edad en la que su estatura no cambie, por ejemplo joven o adulta, los cambios en su IMC son debidos a variaciones en su masa.
  • ¿Cuál es la fórmula que relaciona la masa y el IMC en una persona adulta de 1,75 m de altura?
  • ¿Se trata de una función? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la variable independiente?
  • Dibuja su gráfica usando como dominio de definición el intervalo 30 kg – 180 kg.

4. En un sistema de ejes cartesianos representa en el eje horizontal los valores de la masa (en kg) desde 30 hasta 180 kg. Y en el eje vertical los valores de la altura (en m) desde 1,2 hasta 2,2 m.
  • Marca el perímetro del rectángulo formado por todas las combinaciones masa-altura, con la masa entre 30 y 180 kg y la altura entre 1,2 y 2,2 m.
  • Colorea en azul los puntos del rectángulo que representan combinaciones masa-altura a las que corresponde un estado corporal “Delgado”. Haz lo mismo usando el color verde para el estado “Normal”, naranja para el “Sobrepeso”, rojo para el “Obeso” y violeta para el “Obeso grave”
Sugerencia: Comienza por calcular y representar los puntos del perímetro del rectángulo que se corresponden con combinaciones masa-altura que tienen valores de IMC en los que cambia el “estado corporal”, es decir 18,5 , 25,  30 y 40 kg/m2.
5. Vamos a modificar ligeramente el IMC para definir un nuevo índice al que llamaremos IMC “Optimizado” o IMCo, (BMI “Prime” en inglés). Para ello dividiremos el valor obtenido como IMC entre 25 kg/m2, que es el límite superior del intervalo de valores de IMC considerados como “normales”.



  • Calcula el IMCo que corresponde a una persona de 79 kg de masa y 1,74 m de altura.
  • ¿En que unidades se mide el IMCo?
  • Elabora la tabla del nuevo índice completando la que aparece a continuación:

  • ¿Qué tanto por ciento de incremento supone el IMC de una persona de 79 kg de masa y 1,74 m de altura, respecto a un IMC de 25 kg/m2?¿Qué relación hay entre este % y su IMCo?
  • ¿Qué tanto por ciento de disminución supone el IMC de una persona de 60 kg de masa y 1,75 m de altura, respecto a un IMC de 25 kg/m2?¿Qué relación hay entre este % y su IMCo?
  • Da una interpretación del nuevo índice que hemos definido.
  • En una de las actividades anteriores has deducido que en los países anglosajones de utiliza la fórmula:

  • Deduce ahora la fórmula que utilizan para el BMIo

Para saber más:




http://www.octaedro.com/es/producto:Cos/1/otras-colecciones/horizontes/matematicas-en-la-vida-real/1001

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sábado, 10 de diciembre de 2016

Las cuatro cartas de Wason

Un problema lógico convertido en experimento psicológico


Cada carta tiene un número en una cara y un rayado en la otra.

El objetivo es, girando el menor número de cartas posible, demostrar la veracidad de la siguiente afirmación:
“Si una carta tiene un número par en una cara, entonces la cara opuesta tiene rayas oblicuas"
¿A qué carta o cartas hay que dar la vuelta para comprobar si es cierta?

Para ver la solución haz clic aquí ▼▲


Otro problema lógico del mismo estilo


Cuatro personas están bebiendo en un bar. A simple vista podemos asegurar que la primera bebe algo sin alcohol, la segunda bebe una bebida alcohólica, la tercera tiene más de 18 años y la cuarta tiene menos de 18 años.

El objetivo es, haciendo el menor número de preguntas posible, determinar si se cumple la siguiente norma:
“Para beber alcohol en un bar se debe tener por lo menos 18 años"
¿A qué persona o personas hay que preguntar sobre su bebida o sobre su edad para comprobar si se está cumpliendo la norma?

Para ver la solución haz clic aquí ▼▲

sábado, 6 de agosto de 2016

Logicómix - Una búsqueda épica de la verdad

Una tragedia con final feliz


Tratar de contar en forma de cómic uno de los empeños más ambiciosos y audaces de la especie humana, como es el intento de llegar a través de la razón a los límites del conocimiento sobre el mundo en que vivimos, no parece una tarea fácil. El resultado conseguido por Logicómix es sorprendentemente eficaz y apasionante.

Esta novela histórica de ficción en forma de cómic creada por Apostolos Doxiadis y Christos Papadimitriou como guionistas, Alecos Papadatos como dibujante y Annie Di Donna como colorista fue publicada originalmente en inglés en 2009 y ha sido traducida a numerosos idiomas. En castellano fue publicada en el año 2011 por Ediciones Sins Entido y de nuevo en 2014 por Salamandra Graphic. Doxiadis es también autor de la novela superventas internacional "El tío Petros y la conjetura de Goldbach" que narra una historia personal desarrollada en el ámbito de las Matemáticas. Es posible establecer una correspondencia entre ciertos elementos de "El tío Petros" y Logicómix que deja patente la marca "Doxiadis". Papadimitriou es profesor de Informática de la Universidad de California en Berkeley y uno de los investigadores más prestigiosos a nivel mundial en el campo de la complejidad computacional. También es autor de la novela "Turing (A Novel about Computation)".

La novela trata de la persecución de la verdad absoluta; de la forma de obtener conocimiento cierto sobre el mundo; de qué es la certidumbre y de qué podemos estar seguros sin lugar a dudas. Los hechos narrados acontecen entre las dos últimas décadas del siglo XIX y el estallido de la Segunda Guerra Mundial. Tomando las Matemáticas como el mayor logro humano en cuanto a exactitud y certeza, la novela relata una de las etapas más intensas del desarrollo de esa ciencia, la de la búsqueda de la esencia de su naturaleza y de sus fundamentos lógicos y, como diría Morris Kline, la de "la pérdida de la certidumbre".
 

El relato, interesado principalmente en los aspectos humanos de los personajes, sus vacilaciones, arrogancias, debilidades, en cómo sus ideas y sus acciones surgen de sus pasiones, plantea la relación entre la construcción de los fundamentos lógicos de las Matemáticas y la locura. ¿Los problemas mentales conducen hacia la búsqueda de la verdad o, contrariamente, la búsqueda de la verdad está abocada a la locura como una maldición divina?
 

Así mismo se explora el choque entre un racionalismo ideal y la compleja realidad, quizá inaprensible para la especie humana, en la que vivimos y de la que formamos parte.

El contexto matemático en el que se desarrolla Logicómix

Aún en nuestros días las Matemáticas son utilizadas frecuentemente, incluso por personas con formación científica, como el paradigma de la exactitud y la certeza. Desde la década de los años treinta del siglo XX los matemáticos saben que no es así.
Desde el nacimiento mismo de las Matemáticas, los matemáticos han perseguido la verdad aplicando con rigor el método deductivo, garantía de la necesidad y universalidad de sus resultados. Los conceptos matemáticos y sus aplicaciones fueron la base de notables teorías científicas para entender el mundo.


Los trabajos sobre los fundamentos de la Matemática de finales del siglo XIX y principios del siglo XX pusieron de manifiesto las limitaciones de la mente humana. Las geometrías no euclídeas desarrolladas al comienzo del siglo XIX forzaron a los matemáticos a admitir la separación entre las Matemáticas y las leyes de la naturaleza. Ello condujo a la duda sobre la certeza de sus creaciones y a una revisión amplia y profunda de las mismas. La consternación fue general al descubrir que las Matemáticas descansaban en unos cimientos poco sólidos; a pesar de ello seguían proporcionando una descripción eficaz de la naturaleza. En la segunda mitad del siglo XIX los matemáticos se dedicaron a la "rigorización de las Matemáticas"; a dotarlas de una estructura lógica inexistente y a reconstruir las partes defectuosas.

Vino vs Cerveza. Francia vs Alemania.
Intuicionismo vs Formalismo.
Poincaré vs. Hilbert.
En 1900 los matemáticos creían haber logrado ya su meta. Antes de terminar de brindar por su éxito, el descubrimiento de las paradojas lógicas y semánticas puso de manifiesto contradicciones en los nuevos cimientos. La resolución de estas contradicciones fue acometida por los principales matemáticos y filósofos de la época que formularon y propusieron diferentes aproximaciones a las Matemáticas: logicismo, platonismo, formalismo e intuicionismo. Todas trataban de resolver las contradicciones conocidas y de asegurar que fuera imposible que aparecieran otras nuevas; trataban de establecer la consistencia de las Matemáticas. En 1931 el desastre se cernió de nuevo cuando Kurt Gödel demostró que a partir de los principios lógicos aceptados por las distintas escuelas es imposible probar la consistencia de las Matemáticas, es decir, es imposible aseguran que las Matemáticas no contengan contradicciones.

Sin embargo, como consuelo, nos queda la pregunta clave de los fundamentos de las Matemáticas: ¿por qué, a pesar de sus fundamentos inciertos, las Matemáticas han demostrado ser tan incleíblemente efectivas?



Una novela compleja sobre la complejidad

La novela, de arquitectura y contenido complejos, se estructura en varias líneas narrativas que se van entretejiendo de forma muy dinámica; cada una de ellas con un estilo gráfico distinto.

La primera es el relato de la creación del propio Logicómix. Utilizando colores vivos y una luz brillante, el cómic y sus creadores aparecen dentro del mismo cómic. Este recuso narrativo con forma de guiño autoreferencial, como la paradoja del barbero de Russell, que también aparecerá más adelante en Logicómix, ayuda mucho a trasmitir las claves de la historia.

En segundo lugar, en colores fríos y con una luz apagada, aparece la conferencia de Bertrand Russell en una universidad estadounidense, en septiembre de 1939, en el contexto del dilema de si los Estados Unidos de América deberían o no unirse a la guerra del Reino Unido contra el nazismo.

Esta conferencia se transforma en la tercera y principal línea narrativa que hace de hilo conductor de toda la novela. Russell expone la historia de la lógica a través del relato de su propia vida, desde niño hasta el momento de la conferencia.


Haz clic aquí para saber ¿Quién es quien?
Este relato comprende su vida personal (curiosidades y temores infantiles, amores, matrimonios, activismo político, miedo a la locura, ...) y sus actividades como matemático, lógico y filósofo en la búsqueda de los fundamentos lógicos de las Matemáticas. A lo largo de esta narración van apareciendo los principales matemáticos y filósofos de la época como Frege, Cantor, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein, Gödel o Brouwer, entre otros. Los autores explican en algunas de las viñetas autoreferenciales y advierten en una nota al final de la obra que el cómic no puede considerarse una obra histórica, sino una novela gráfica de ficción, ya que aunque los personajes están basados en los reales, en algunas ocasiones han sacrificado la exactitud de los hechos en aras de una narración con mayor coherencia y profundidad.


La integración entre forma y contenido queda patente a lo largo de toda la obra

Inicialmente sorprende por su audacia la utilización del formato cómic para tratar una temática tan abstracta como es el caso de esta novela. La pregunta "¿por qué en cómic?" es formulada explícitamente por Papadimitriou en el metacómic al inicio de la novela. Doxiadis responde que "¡Es un formato perfecto para protagonistas con grandes aspiraciones!", identificando a los personajes de esta historia con superhéroes fascinantes. Los autores exploran y explotan con gran habilidad las capacidades del formato cómic alcanzando un resultado brillante. Los distintos estilos gráficos utilizados en cada una de las líneas narrativas de la novela funcionan con gran eficacia, aportando claridad al relato; también son usados con maestría para representan los distintos estados de ánimo de los personajes.


El proceso de creación de Logicómix y sus autores aparecen dentro del mismo cómic, como un "metacómic", una autoreferencia del estilo de la de la paradoja del barbero que es relatada en las páginas 166 y 167. La viñeta en la que Annie se imagina a sí misma imaginándose a sí misma, ... muestra de forma muy sencilla y muy elocuente el concepto de autoreferencia recursiva.

En cierto sentido Logicómix es el "Principia" de Doxiadis y Papadimitriou. Puede establecerse un paralelismo entre Logicómix, Doxiadis y Papadimitriou por una parte y "Principia Matemathica", Russell y Whitehead por otra. En el metacómic queda reflejado el proceso de colaboración entre Doxiadis y Papadimitriou en la elaboración de la historia, incluyendo algunas de sus discrepancias.

Presentar la historia contada como una conferencia es una decisión inteligente que además de incorporar un contexto temporal aporta agilidad y es utilizada, con muy buenos resultados divulgativos, para introducir "píldoras" que contienen conceptos matemáticos: lógica, teoría de conjuntos, el infinito, postulado de las paralelas, ... La conferencia pronunciada por Russell tiene todos los ingredientes para ser calificada de magnífico ejemplo a seguir; claro hilo conductor, contenidos conceptuales, notas históricas, anécdotas, toques de humor, hincapié en el lado humano de los personajes mencionados, recapitulación de lo anterior, búsqueda de la implicación del público. Evidentemente todo ello se traslada a la novela.


La Orestiada de los lógicos

En cierto sentido la "Búsqueda" está estructurada siguiendo el esquema de la tragedia clásica griega, con su prólogo, sus episodios y su éxodo final en el que el héroe reconoce su error y donde aparece una enseñanza moral.
La Razón y el Instinto se viligan con recelo
La "Búsqueda" comienza, siguiendo el género épico, como una Odisea sobre las hazañas de los matemáticos y lógicos, que son presentados como héroes, en su lucha por llegar a la verdad absoluta, que juega el papel de Ítaca. Hacia su mitad, en el "Entreacto", la obra se encamina por el género de la tragedia griega, donde encajan perfectamente los reveses sufridos por la obra lógica de Russell debido a los embates asestados por los trabajos de Wittgenstein y Gödel. Finalmente la "Búsqueda", con su final feliz, sigue la senda de la "Orestiada". Profundizando en este paralelismo, la "Búsqueda" puede entenderse como una "Orestida" donde la maldición cae sobre los lógicos en forma de locura. En ambas aparece el enfrentamiento entre la razón y "el instinto, la emoción y el hábito", para finalizar con una moraleja semejante. La de la "Búsqueda" queda recogida en el final de la conferencia de Russell, en su reconocimiento a la idea de Wittgenstein de que "todos los hechos de la ciencia no bastan para entender el sentido del mundo"; no hay fórmulas ni soluciones dadas para enfrentarse a problemas serios de verdad. Ambas tragedias son la metáfora de una transformación: el paso de una sociedad gobernada por los instintos a una sociedad regida por la razón.


Un resultado brillante con aplicaciones didácticas
 
Sin ninguna duda los autores de Logicómix han conseguido, con su buen oficio y su atrevimiento para asumir riesgos, un resultado brillante; una historia interesante contada con eficacia, con un guión muy documentado y una realización gráfica muy elaborada, llena de detalles. A pesar de ser una novela compleja en la forma y en el contenido, su lectura es asequible a un tipo de público muy amplio; se lee de forma fluida y engancha desde el principio. Como toda obra interesante, permite lecturas con distintos niveles de profundidad, todas ellas con sentido completo. En definitiva se trata de una creación audaz, llena de matices, decididamente recomendable para públicos muy variados; desde los interesados en las Matemáticas, la lógica y la filosofía con prejuicios sobre las posibilidades del cómic para desarrollar estos temas, hasta los entusiastas del cómic que se arrugan ante temáticas tan sesudas como las tratadas por Logicómix.

En el ámbito didáctico, Logicómix es un magnífico ejemplo de cómo instruir deleitando; de la conveniencia de la simplificación y del sacrificio de algo de rigor en aras de la claridad; y de los buenos resultados de mostrar el lado humano de los protagonistas de los hechos tratados. Logicómix reúne todos los requisitos para ser explotado didácticamente con alumnos de bachillerato, y posiblemente también de segundo grado de la ESO, desde perspectivas diferentes, en distintas asignaturas; o mejor aún, para aplicar un enfoque de aprendizaje basado en proyectos.


Para saber más:

  • Logicómix - Una búsqueda épica de la verdad. Página oficial (en inglés): http://www.logicomix.com/en/
  • KLINE, Morris: La pérdida de la certidumbre. Siglo XXI Editores. Madrid 1985. http://www.sigloxxieditores.com/libros/MatemAticas/9788432305290
  • DOU, Alberto: Fundamentos de la matemática. Ed. Labor. Barcelona 1970.
  • BARROW, John D.: ¿Por qué el mundo es matemático?. Ed. Grijalbo Mondadori, S.A. Barcelona 1997.
  • Tegmark, Max: Nuestro universo matemático. En busca de la naturaleza última de la realidad. Antoni Boch Editor. Barcelona 2015. http://www.antonibosch.com/libro/nuestro-universo-matematico