domingo, 30 de diciembre de 2018

¡Feliz y afortunado 2019!

Sobre lo que los matemáticos consideran "números de la suerte"




2019 es un número "feliz" y "de la suerte". En inglés suena más rotundo, "happy and lucky".


Los matemáticos somos gente ordenada... y a veces también juguetona. Nos gusta organizar y poner nombre a nuestras cosas. Por eso utilizamos numerosas clasificaciones de los números. En algunas aparecen conceptos matemáticos muy relevantes como los números primos. Otras pueden parecer un puro divertimento. Siempre es posibles utilizarlas para ejercitar el cálculo y lo que es más interesante, para practicar el razonamiento matemático y estimular la curiosidad y la capacidad de hacerse preguntas, de generalizar, de relacionar... 

Ya se ha tratado el tema de los números felices en otros artículos de este blog, como la felicitación del año 2014 o el monólogo "La felicidad del número 7" .

La comprobación de que 2019 es un número feliz es sencilla, basta aplicar el método "SES" (Separar-Elevar-Sumar):

2019 -> 4 + 0 + 1 + 81 = 86 -> 64 + 36 = 100 -> 1 + 0 + 0 = 1 -> 1 -> 1 ...

2019 además de feliz, también es un número "de la suerte".


"Lucky numbers"

La traducción al castellano de "lucky" es problemática porque puede significar tanto "que trae suerte (de la suerte, propicio)" como "que tiene suerte (afortunado)"En la literatura matemática tradicionalmente se ha traducido por "números de la suerte". Los "números afortunados" son otro tipo de números que se corresponden con los "Fortunate numbers" en inglés, que toman su nombre de Reo F. Fortune.

Los números de la suerte aparecen de un "cribado" de los números naturales (los de contar, 1,2,3...) de forma análoga a como con la criba de Eratóstenes se obtienen los números primos.

Para obtener una lista de números de la suerte hay que aplicar el método de cribado propuesto por los científicos Ulam, Metropolis, Lazarus y Gardiner en un artículo publicado en 1955. Ellos mismos sugirieron la denominación de "Criba de Flavio Josefo" para este proceso.


LuckySieve.gif en Wikipedia
Escribir una lista de números naturales (1,2,3...) y seguir los siguientes pasos:
  • Tachar el segundo número de cada grupo de dos: 2, 4, 6, 8..., dejando solo los impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... 
  • Como el segundo número que no se ha tachado es 3, de los que quedan, hay que eliminar el tercer número de cada grupo de tres. Esto tachará 5, 11, 17, 23... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25... 
  • Como el tercer número que sobrevive es 7, hay que tachar el séptimo número de cada grupo de siete: 19, 39... quedando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31...
  • Y continuar siguiendo la misma regla.

Los cuatro científicos llamaron "lucky numbers" a la secuencia de números "supervivientes".


Algo que hace interesantes a este tipo de números es que comparten ciertas propiedades con los números primos. Por ejemplo, que son infinitos; o las proporciones en las que se distribuyen entre todos los números; o la distancia entre uno y el siguiente. Uno de los problemas más antiguos pendientes de resolver en Matemáticas es la "Conjetura de Goldbach", que hace referencia a la posibilidad de escribir todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos. Existe una conjetura semejante referida a números de la suerte, también pendiente de resolver: "Todo número par es la suma de dos números de la suerte".

La felicidad de un número depende de sus cifras, y por tanto, del sistema de representación utilizado. Por ejemplo, en el sistema binario todos los números son felices. Contrariamente, ser afortunado es algo intrínseco al número; no se puede alterar cambiando de sistema de representación. Me parece una bella alegoría.

¡Mis mejores deseos para 2019!

Ya que ser afortunado forma parte de lo aleatorio de la vida, ¡que seamos capaces de hacer todo lo posible para ser felices!


Para saber más:

Gardiner, V.; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. "On certain sequences of integers defined by sieves". Math. Mag. 29, 117-122 (1956). 

Definición de "número de la suerte" en Wolfram MathWorld y en la Wikipedia.

Recursos en la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS).
- Artículo sobre los números de la suerte.
- Lista de los 200000 primeros números de la suerte.
- Artículo sobre los números que son "felices" y "de la suerte": "Happy-go-Lucky numbers: numbers that are both Happy (A007770) and Lucky (A000959)"
- Lista de los 10000 primeros números felices y de la suerte.


lunes, 17 de diciembre de 2018

El año al que le faltaron diez días

Las Matemáticas de la reforma gregoriana del calendario


"Los calendarios no son sólo un juego de relación entre
el cálculo de fechas y ciertos fenómenos astronómicos.
Reflejan las pasiones, creencias y tradiciones
que animan la vida de los pueblos."
Eduardo Wolovelsky,“El año al que le faltaron diez días”

Un sistema de calendario es un conjunto de reglas para llevar la cuenta del paso del tiempo organizándolo en periodos que se repiten de forma cíclica. El calendario, organizador del tiempo, al igual que los mapas, que organizan el espacio, tiene un atractivo fascinante. Es una creación del ser humano que lleva incorporada una gran cantidad de matemáticas.  Que lo utilicemos diariamente de forma natural hace que pasemos por alto su complejidad y la riqueza que encierra.
 
Divad [Public domain], from Wikimedia Commons
Los calendarios contienen la relación del ser humano con la razón, la naturaleza y la divinidad. Todas las culturas han tenido la necesidad de llevar cuenta del paso del tiempo, de estructurarlo en distintos intervalos y ciclos, y de ajustar estas divisiones con los fenómenos periódicos observables en el cielo. Las motivaciones que les han impulsado a ello han sido muy distintas; unas de carácter práctico, como las relacionadas con el ciclo de las estaciones y la evolución de las cosechas, o con la sincronización de los vínculos sociales, comerciales y políticos; otras, más trascendentes, relacionadas con la divinidad.

Los distintos sistemas de calendario y sus reformas ponen de manifiesto la ardua labor del ser humano persiguiendo la exactitud, tratando continuamente de acercar un poco más el calendario al ciclo natural de la Tierra alrededor del Sol. Hasta que, paradójicamente, con los relojes atómicos, ha llegado a un sistema de medida del tiempo más regular y preciso que el movimiento de la misma Tierra.


El calendario, sus fundamentos e historia, es un tema extraordinariamente rico que permite desarrollar actividades didácticas con contenidos de distintas materias, como Matemáticas, Astronomía, Geografía, Historia y Lenguas. Sirvan como ejemplos los siguientes contenidos:
  • Magnitudes, unidades de medida y escalas.
  • Sistemas decimal y sexagesimal.
  • Números enteros, divisibilidad, múltiplos y divisores, máximo común divisor, mínimo común múltiplo.
  • Números decimales, cifras significativas, aproximaciones, errores absoluto y relativo.
  • Inconmensurabilidad.
  • Funciones periódicas.
  • El tiempo y su medida.
  • Esferas terrestre y celeste.
  • Movimientos de rotación y traslación de la Tierra y de la Luna.
  • Historia de la antigua Roma.
  • Historia de las religiones.
  • Etimología de los nombres de los meses y de los días de la semana en distintos idiomas.

 “El año al que le faltaron diez días”


Magini. "Ephemerides Coelestium Motuum"
Octubre de 1582, con 21 días
La lectura del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por el biólogo y divulgador científico argentino Eduardo Wolovelsky, nos ha llevado a interesarnos y profundizar en la reforma gregoriana del calendario juliano y en el propio concepto de calendario y su evolución histórica. Todo ello ha propiciado el desarrollo de unas actividades para el alumnado de 4º de la ESO. 

El mencionado relato forma parte de la publicación “Los grandes números y el ajedrez y otros relatos matemáticos” descargable en la web del Ministerio de Educación de Argentina.


Al leer el relato de Wolovelsky es difícil no hacerse numerosas preguntas sobre nuestro calendario y su evolución; y también sobre los calendarios utilizados por otras culturas.

  • ¿Por qué es tan complejo fijar las reglas que definen y organizan un sistema de calendario?
  • ¿Por qué es tan importante que el calendario sea muy preciso y no sufra desajustes?
  • ¿Cuáles fueron las causas que motivaron la necesidad de la reforma del calendario en el año 1582? De qué tipo fueron las causas más determinantes ¿religioso, político, social o económico?
  • ¿Cuál fue el principal objetivo del Papa Gregorio XIII con su reforma del calendario?
  • ¿Qué papeles jugaron los distintos poderes religiosos políticos en la implantación de la reforma? ¿Por qué algunos países prefirieron durante muchos años "estar en desacuerdo con los astros antes que estar de acuerdo con el Papa"?
  • ¿Por qué no coincide el número de días de desfase producidos en los años de vigencia del calendario juliano con el número de fechas suprimidas por la reforma gregoriana?
  • ¿Por qué usamos un calendario organizado en años de doce meses con una cantidad desigual de días?¿Por qué no un calendario basado en el sistema decimal? ¿No se le habrá ocurrido a nadie definir uno?

Algunas de estas preguntas encuentran respuesta en las raíces matemáticas en las que se basa un calendario


Actividades desarrolladas

Se ha desarrollado un conjunto de tres actividades que tratan de poner de manifiesto el importante papel de las Matemáticas en la construcción de un instrumento tan cotidiano para nosotros y con tanta trascendencia en nuestras vidas, como es el calendario.
Además de trabajar contenidos matemáticos como los sistemas decimal y sexagesimal y los errores cometidos al utilizar aproximaciones, pretenden ejercitar la lectura comprensiva, la escritura y la competencia digital del alumnado.

Actividad 1: Redactar un resumen del relato “El año al que le faltaron diez días”, escrito por Eduardo Wolovelsky.
En la guía de realización de las actividades se propone al alumnado una serie de preguntas que deben quedar contestadas en el texto redactado como resumen, además de solicitar una breve valoración personal del texto.
- Actividad 2: Completar una hoja de cálculo.
En ella se trabaja la conversión del sistema decimal al sexagesimal y los errores absolutos y relativos, utilizando el año trópico como valor exacto y los años medios julianos y gregorianos como valores aproximados.

- Actividad 3: Contestar unas preguntas utilizando la información obtenida en la actividad 2.
Algunas de las preguntas propuestas se contestan directamente con los cálculos realizados; otras necesitan relacionar y deducir; alguna, totalmente abierta, solicita hacer conjeturas y aportar opiniones personales.

Se ha utilizado Google Classroom como herramienta que facilita enormemente la distribución entre el alumnado de los documentos con la información, instrucciones y plantillas a cumplimentar, así como la entrega de los trabajos realizados. También agiliza la evaluación y devolución de los trabajos corregidos y calificados.

"este objeto que es a la vez una herramienta milagrosa y
una jaula de momentos finitos que nos obliga a ir corriendo de un lado para otro,
intentando sacar el máximo partido del breve tiempo que nos ha tocado"
David Ewing Duncan, “El calendario”


Descarga de documentos de la actividad:

- Relato "El año al que le faltaron diez días", de Eduardo Wolovelsky. En formato PDF aquí.
- Guía con las instrucciones detalladas e información para la realización de la actividad. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Plantilla vacía para la redacción del resumen. En formato MS Word aquí.
- Hoja de cálculo Excel a completar en la actividad 2. Puedes descargarla aquí.
- Cuestionario a contestar en la actividad 3. En formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.


Para saber más:

- Marqués González, Néstor F. "Un año en la Antigua Roma. La vida cotidiana de los romanos a través de su calendario". Ed. Espasa. Barcelona. 2018.

- Duncan, David Ewing. "El calendario". Ed. Emecé. Barcelona. 1999.

- Grupo Azarquiel. “Matemáticas desde la Astronomía”. M.E.C. Vicens Vives. Madrid, Barcelona. 1987.

- de Orús Navarro, Juan José y otros. “Astronomía esférica y mecánica celeste”. Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona. Barcelona. 2007.
  http://www.publicacions.ub.edu/liberweb/astronomia_esferica/

- Cambio al calendario gregoriano. Wikipedia.
  https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cambio_al_calendario_gregoriano&oldid=111596719

- Length of Tropical Years 1900–2100:
  https://www.timeanddate.com/astronomy/tropicalyearlength.html

- Fourmilab's Calendar Converter - Equivalencia de fechas en distintos calendarios
http://www.fourmilab.ch/documents/calendar

“El Astrolabio Universal GeoGebra” Libro Geogebra creado por Manuel García Piqueras

- Documentación sobre la creación y manejo del Astrolabio Universal GeoGebra (en inglés)
  http://www.sociedadelainformacion.com/57/ManuelGPiqueras.pdf

“La Tierra y el Sol” Libro GeoGebra creado por Rafael Losada Liste