”bozeto” de exopto

Un vino pitagórico

Las etiquetas de las botellas de vino intentan ser impactantes para llamar la atención del pretendido comprador y tratar de permanecer en su memoria. También tratan de transmitir un mensaje, en ocasiones conceptual. Todas tienen contenido matemático relacionado con los números: volumen contenido, grado alcohólico, cosecha, porcentajes de las distintas variedades de uva empleadas en la elaboración, código de barras… Pero algunas destacan especialmente al contemplarlas con mirada matemática.

Es el caso de la etiqueta de “bozeto” de Bodegas Exopto de Laguardia,  muy lograda estéticamente. Según la propia bodega, “bozeto” es su primer proyecto, en el que presentan las grandes líneas de toda su gama de vinos. Para expresar la marca se ha elegido un decágono regular inscrito en una circunferencia en el que se han dibujado todas sus diagonales usando distintos trazos y colores. Una imagen de gran belleza por su complejidad, estructura ordenada y simetría. Y muchas matemáticas.

Apreciada con sensibilidad y emulando el estilo de las “notas de cata” de los vinos, podríamos decir que 

“la imagen presenta una aritmética sofisticada alcanzando la combinatoria. Una geometría ordenada basada en la semejanza y la proporcionalidad, en la que aparece con abundancia la divina proporción. Y un álgebra que estructura armoniosamente la complejidad de todos los componentes. De final largo y sabroso. Muy elegante.”

Entre las numerosas proporciones áureas que se pueden encontrar en la figura de la etiqueta destacan tres que merecen especial atención:

1. El radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono regular y su lado están en proporción áurea (r = φ·l).
2. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su tercero consecutivo  (que es el lado del decágono regular estrellado) y el radio de la circunferencia en la que está inscrito el decágono están en proporción áurea (d = φ·r).
3. La diagonal del decágono regular definida por un vértice y su cuarto consecutivo  (que es el lado del pentágono regular estrellado) y la diagonal del decágono definida por un vértice y su segundo consecutivo  (que es el lado del pentágono regular convexo) están en proporción áurea (d’ = φ·l’).

El pentágono regular estrellado, denominado “pentalfa”, es una figura a la que, en distintas culturas y desde los tiempos más remotos hasta la actualidad, se ha atribuido un fuerte poder simbólico y místico. En particular, fue usado por los pitagóricos como distintivo identificador de su secta.

La imagen de la etiqueta puede ser interpretada desde la teoría matemática de grafos, englobando conceptos de geometría, aritmética, álgebra, topología y combinatoria. Se trata del “grafo completo de orden 10” (K₁₀), La teoría de grafos es un área de las Matemáticas que trata de abstraer una idea tan general como es la de “relaciones entre elementos”. Por ello encuentra aplicaciones prácticas en multitud de contextos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.

Desde un punto de vista algebraico, la imagen representa al “grupo cíclico de orden 10”  (Z₁₀). La importancia de los grupos cíclicos está en que son los "bloques elementales" con los que se construye una clase muy amplia de grupos. El concepto de “grupo” es clave en las Matemáticas, tanto puras como aplicadas. Encuentran utilización práctica en campos muy diversos que se extienden por todas las ciencias, naturales y sociales, y llegan hasta el arte.

Actividades

Identificar proporciones áureas en la etiqueta de “bozeto” es una magnífica forma de aprender geometría y de ejercitar el razonamiento lógico y el pensamiento matemático. Acepta el reto e intenta demostrar las anteriores proposiciones sobre proporciones áureas.

Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

También es una actividad interesante calcular con algún razonamiento el número de segmentos que hay en la etiqueta uniendo los diez vértices.

Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.

Con Phi (Φ) de Phidias

Actividades entorno a la “divina proporción”

¿Qué tienen en común la disposición de los pétalos de una rosa, la famosa pintura de Salvador Dalí “Sacramento de la Última Cena”, las conchas de algunos moluscos,  la cría de conejos y los brazos en espiral de cierto tipo de galaxias como nuestra Vía Láctea?

Todos estos ejemplos dispares están unidos por un número conocido desde la Antigüedad, que a principios del siglo XVI, en Italia, fue denominado «Divina Proporción» y que en el siglo XIX recibió la distinción de «Número de Oro o Áureo», «Proporción Áurea» y «Sección Áurea».

Phi (Φ o φ) es un número menos conocido que otros con nombre propio como Pi (π) o e, pero mucho más fascinante en numerosos aspectos; ha seducido a lo largo de la historia a muchas de las mentes más brillantes..

Además de tener propiedades numéricas sorprendentes o expresar relaciones geométricas asombrosas, Φ aparece, relacionado con la belleza, la perfección y el caos, como conexión insospechada entre la naturaleza y las creaciones humanas.

Cotidianamente utilizamos la palabra “proporción” para expresar la relación comparativa respecto al tamaño o la cantidad que se establece entre las partes de las cosas; y para  describir una relación armónica entre diferentes partes.

En Matemáticas, la palabra “proporción” se utiliza para indicar la igualdad entre dos razones: “nueve es a tres como seis es a dos”.

La proporción áurea ofrece una mezcla intrigante de ambas definiciones.

Actividades

Comparto aquí las actividades entorno a la “divina proporción” que vengo utilizando desde hace algunos cursos con alumnado de 3º y 4º ESO, y 1º Bachiller.

0.- “Nature by Numbers” de Cristóbal Vila. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.
1.- Cociente entre un término y su anterior en sucesiones tipo Fibonacci a partir de dos números cualquiera.
2.- Definición de proporción áurea.
3.- División, con regla y compás, de un segmento en razón media y extrema.
4.- Rectángulos áureos.
5.- La ecuación de  Φ. Representación de Φ sobre la recta real utilizando regla y compás.
6.- Algunas propiedades de Φ.
7.- Cálculo Φ por medio de Raíces anidadas.
8.- Cálculo Φ por medio de fracciones continuas.

La proporción áurea es un concepto a la vez que simple en su definición, muy rico; aparece recurrentemente en múltiples campos matemáticos. Ello permite desarrollar actividades de distintos bloques de los currículos de Matemáticas de ESO y Bachillerato, que incluyen cálculos aritméticos, construcciones y razonamientos geométricos, trabajo con sucesiones, límites, … También permite trabajar de forma interdisciplinar relacionando las Matemáticas con los contenidos de otras materias.

Las actividades compartidas permiten practicar la utilización de la calculadora y de aplicaciones de “hojas de cálculo”; también realizar construcciones con regla y compás y con GeoGebra. Algunas de ellas, especialmente a las dos últimas, son fácilmente enfocables de forma que desarrollen el “pensamiento computacional”. Otras, como la primera, pueden ser presentadas como un mero divertimento matemático.

- Puedes descargar las actividades en formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja MS Excel que facilita los cálculos aquí.
- Puedes abrir el libro GeoGebra relacionado aquí.

Para saber más:

- “Nature by Numbers” cortometraje de Cristóbal Vila, de una muy cuidada e impactante realización técnica. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.Una de las mejores formas de introducirse el tema de la razón áurea

- “La teoría tras la película” ofrece interesante información complementaria a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella.

- Corbalán, Fernando, “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza”. RBA Libros. Barcelona. 2010.

- Livio, Mario, “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”. Ed Planeta. Barcelona. 2006.