viernes, 22 de febrero de 2013

Teorema de Tales



Puente del Alamillo en Sevilla

Si dos rectas que se cortan son atravesadas por un haz de rectas paralelas
           los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales
a los segmentos correspondientes determinados en la otra.

 

Actividad con Geogebra


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
Creado con GeoGebra a partir de una hoja de trabajo compartida por Rafael Pérez Laserna

Teorema de Thales según "Les Luthiers"


jueves, 21 de febrero de 2013

Oteiza: Geometría + Filosofía = Arte

Mirando las esculturas de Oteiza con ojos matemáticos


"Homenaje al caserío vasco",
escultura de Oteiza en Biarritz.
El Museo Oteiza ha editado un nuevo volumen de su colección Prometeo, en el que la profesora de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid Capi Corrales propone una singular mirada a la obra del escultor desde las Matemáticas.

El nuevo libro, titulado "Yo cuando veo esto, pienso esto. Relatos geométricos en la obra de Jorge Oteiza", hace un recorrido crítico por la obra del escultor, contextualizado con referencias a conceptos matemáticos y filosóficos planteados por una larga secuencia de autores, que se inicia con los geómetras presocráticos y acaba en el pensamiento contemporáneo, según informa el Museo Oteiza en una nota.

Este volumen recoge, en siete capítulos relacionados pero independientes (Cubil, Habitáculos, Euclides, Volumen, Dimensiones, Infinito y Universo), reflexiones sobre conceptos geométricos e investigaciones desarrolladas por diversos autores, surgidos de la confrontación con las obras del escultor.

Este  conjunto de reflexiones es el resultado de la voluntad de la autora de “mirar las piezas de Oteiza con ojos matemáticos” y verbalizar el resultado de esa singular mirada. Así se produce este fértil encuentro, que surge de la visión y se sumerge en el pensamiento, en el que la obra de Oteiza supone el punto de partida de una reflexión comparada en torno, por un lado, a las construcciones geométricas y nociones espaciales de matemáticos como Parménides, Euclides, Arquímedes, Johannes Kepler, Carl Gauss, Bernhard Riemann, Henri Poincaré, Max Dehn o Pavel Florenski, entre otros muchos; y, por otro, a las propuestas estéticas y filosóficas de arquitectos, artistas o pensadores como María Zambrano, Baruch Spinoza, Isidoro Valcárcel Medina, Alberto Sánchez,  Otto Frei, Buckminster Fuller o Peter Sloterdijk, entre otros.

De este modo, la autora construye una particular y personal genealogía de reflexiones,  encuentros y referencias cruzadas, fruto de una mirada multidisciplinar con la que consigue trazar una red de evocaciones y resonancias entre la estética, el arte, la ciencia, el pensamiento y la vida.

Capi Corrales Rodrigáñez

 

Es profesora Titular del Departamento de Álgebra de la Facultad de Matemáticas de  Universidad Complutense de Madrid. Doctorada en Matemáticas (Teoría de Números) por la Universidad de Michigan (Ann Arbor, 1986), combina la investigación en teoría de números con la investigación de las relaciones de las Matemáticas con otros aspectos de nuestra cultura y con la divulgación de las Matemáticas contemporáneas.

Además de publicaciones matemáticas para especialistas, es autora, entre otros trabajos de divulgación, de los libros "Contando el espacio" (ediciones despacio 2000), "Un paseo por el siglo XX de la mano de Fermat y Picasso" (Edicitorial Complutense 2000), "Un triángulo especial: Prado, Reina Sofía y Thyssen-Bornemisza. Aprendiendo a mirar de una manera abstracta" (Editorial Proyecto Sur 2005), "Cuaderno de un viaje: exploraciones del espacio 1945-2009" (Editorial Trama 2009).

Más información:
 - Nota informativa del Museo Oteiza.
 
 - Sobre Capi Corrales y sus publicaciones.

miércoles, 20 de febrero de 2013

martes, 19 de febrero de 2013

Fronteras del Conocimiento: Matemáticas al servicio de la economía

El matemático estadounidense Paul Milgrom galardonado con el premio Fronteras del Conocimiento en la categoría de Economía.


El Premio Fundación BBVA Fronteras del Conocimiento en la categoría de Economía, Finanzas y Gestión de Empresas ha sido concedido en su quinta edición al matemático estadounidense Paul Milgrom por “sus contribuciones pioneras en una inusualmente amplia variedad de campos de la economía, como las subastas, el diseño del mercado, los contratos e incentivos, la economía industrial, la economía de las organizaciones, las finanzas y la teoría de juegos” según el acta del jurado.  A ello ha unido una faceta empresarial, que le ha servido para aplicar sus teorías a través del asesoramiento a gobiernos y empresas. 

Es el tercer matemático distinguido en 2013 por los Premios Frontera del Conocimiento tras el concedido en la categoría de Ciencias Básicas a Ingrid Daubechies y David Mumford.

Paul Milgrom 

 

El jurado reconoce en Milgrom (Detroit, Estados Unidos, 1948), catedrático de Economía en la Universidad de Stanford, su contribución a la teoría de la subasta, en la que "ha analizado temas de diseño, licitación y resultados de las subastas con diferentes mecanismos. El profesor Milgrom ha diseñado mecanismos para subastas de productos o servicios complementarios, prestando especial atención a las aplicaciones prácticas, como en el caso de las subastas del radio espectro”.

Milgrom dio el salto de la teoría de juegos al mercado real a mediados de los años 90. Entonces trabajaba para la compañía telefónica Pacific Bell, de California, que pujaba en una subasta organizada por la Federal Communications Commission de Estados Unidos.  Milgrom puso en evidencia los fallos en el diseño de la subasta, que no era buena ni para los organizadores ni para los pujadores. Él y Robert Wilson  presentaron una propuesta alternativa que la FCC asumió. Se trata de la subasta de rondas múltiples simultáneas (SMR por sus siglas en inglés). En lugar del clásico sistema a sobre cerrado, Milgrom recomendó pujas abiertas, en el que cada empresa pudiera ver lo que las demás estaban ofreciendo, combinado con reglas para evitar monopolios. La subasta -pensada para la entonces nueva generación de dispositivos formada por teléfonos móviles y agendas electrónicas con acceso a internet- se saldó con un récord histórico de 7.000 millones de dólares y la demostración práctica de que la teoría de juegos era útil en la adopción de decisiones estratégicas. La SMR ha sido adoptada por administraciones de todo el mundo para subastar no solo el espectro radioeléctrico, sino también la electricidad, el gas natural, etc.

Además de ocuparse de la teoría de la subasta sus investigaciones se extienden a muchas otras áreas de la economía, incluyendo el diseño del mercado, la teoría de incentivos, la economía industrial, la historia económica, la economía de la producción, la economía de las organizaciones, y la teoría de juegos. Sus trabajos más recientes se centran en cuestiones del diseño del mercado, con especial énfasis en las formas en que los participantes del mercado expresan sus preferencias.

Entre los diversos premios que Milgrom ha recibido a lo largo de su carrera destaca el premio "Nemmers" en ciencias económicas de la Universidad de Northwestern en 2008.

The Man Behind Today’s Radio Spectrum Auction
 
En este vídeo en inglés, Milgrom responde a 10 preguntas sobre su vida como  científico
 
Más información:
 - Nota de prensa emitida por la Fundación BBVA.
 

lunes, 11 de febrero de 2013

Bárcenas y Benford - Papeles y Probabilidad

Como consecuencia de la publicación por el periódico ABC del artículo "Un matemático aplica la ley de Benford a los papeles de Bárcenas y concluye que son falsos" se ha desatado una intensa polémica en los blogs, redes sociales y foros de internet.

Resumen de los hechos

Todos conocemos las informaciones desveladas en las últimas fechas por el periódico El País sobre una presunta contabilidad B registrada por el ex-tesorero del Partido Popular Luis Bárcenas. El pasado domingo 3 de febrero, el mencionado diario publicó "Todos los papeles de Bárcenas", la relación de los registros contables anotados por Bárcenas desde 1990 hasta 2008.

El 4 de febrero, Miguel Lacruz, profesor titular de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, publica en su blog una entrada "Los papeles de Bárcenas" con los resultado de la aplicación del test de Benford a alguno de los registros publicados por El País, en concreto a "los 84 asientos que figuran en el debe desde julio de 2002 hasta diciembre de 2008". Concluyendo en dicha entrada "La gran discrepancia entre las frecuencias según Bárcenas y el valor esperado según la ley de Benford lleva a una clara conclusión: Luis Bárcenas miente". Miguel Lacruz añade los dos días siguientes sendas actualizaciones ampliando los datos con los registros desde 2008 hasta 2011 y con el cálculo de la media de las diferencias absolutas entre las frecuencias halladas de cada dígito y las esperadas por la ley de Benford.

El 6 de febrero, el periódico ABC publica una información titulada "Un matemático aplica la ley de Benford a los papeles de Bárcenas y concluye que son falsos" haciendo referencia a una carta escrita por Miguel Lacruz al director de dicho periódico. La noticia incluye referencias a los datos y conclusiones del blog de Lacruz.


Entre todo lo que he leido por internet relacionado con esta polémica me parece destacable por sus aportaciones y su análisis sereno, la publicación de Abel Fernández "La Ley de Benford y la presunta contabilidad B del PP" en el magnífico sitio "Sistenia". Me parece muy recomendable su lectura.

La Ley de Benford


Frecuencias de cada  dígito como cifra inicial
establecidas por la Ley de Benford
La ley de Benford, también conocida como ley del primer dígito, asegura que en muchos (pero no todos) tipos de números que proceden de cantidades medibles observadas en la naturaleza o producidas por las actividades desarrolladas por los seres humanos, los números que empiezan por 1 aparecen de forma mucho más frecuente que los que comienzan por 2, que a su vez son más frecuentes que los que empiezan por 3. Y que la frecuencia para cada cifra inicial va disminuyendo hasta ser mínima para el 9. 

Esta regularidad estadística es sorprendente, incluso para los expertos, por ir contra la intuición humana.

Historia de la ley de Benford


La ley de Benford tiene una llamativa historia, entre otros motivos por su curioso origen y por ser descubierta 2 veces.

Simon Newcomb
 

La primera de ellas en 1881, a partir de una curiosa observación, por Simon Newcomb (1835-1909), un astrónomo y matemático nacido en Canada, que desarrolló toda su carrera en Estados unidos.
En aquella época no había calculadoras ni ordenadores. Para realizar operaciones aritméticas con números de muchas cifras se utilizaban los logaritmos, por lo que era muy frecuente especialmente entre los astrónomos, el uso de tablas de logaritmos.

Newcomb observó que las hojas de los libros de las tablas de logaritmos no se gastaban de una forma uniforme. Las de los números que comenzaban por 1 eran las más oscurecidas, seguidas de las de los números que comenzaban por 2. La regla se mantenía en el resto de páginas, cuanto menor era la cifra inicial más gastadas estaban las páginas correspondientes. Su conclusión fue que los dígitos inicales de los números no ocurren con la misma frecuencia, la cifra 1 es por la que empiezan más números, seguida del 2, disminuyendo hasta el 9.


Newcomb, sin ofrecer ninguna demostración y recurriendo a la "evidencia", enunció el principio "los primeros dígitos están repartidos por igual en una escala logarítmica pero no en una escala lineal".


La "ley" de Newcomb cayó en el olvido, durante más de 50 años no se publicó ninguna aplicación o investigación relacionada con ella.

Frank Benford
 

En 1938 Frank Benford (1883-1948), ingeniero eléctrico y físico norteamericano, que trabajaba en General Electric, se dío cuenta de la misma regularidad.
 

Investigó tomando como muestra más de 20.000 números de muy diversas procedencias del mundo real y concluyó, al igual que Newcomb,  que la probabilidad de que un número comience por la cifra d es P(d) = log(1 + 1/d). Publicó sus resultados en una revista matemática en un artículo con el título no muy afortunado de "La ley de los números anómalos".

Roger Pinkham
 

Intuitivamente parece lógico pensar que la distribución de los dígitos en las series de datos debería mantenerse aunque se cambiaran las unidades de medida (por ejemplo, medir los ríos en metros y no en millas).

A partir de esta observación, en 1961 Roger Pinkham publica la demostración matemática de dos características de la Ley de Benford.
 -En primer lugar, la ley de Benford es "escala-invariante", es decir, se aplica con independencia de la escala, la multiplicación de los datos por una constante diferente de 0 mantiene inalterada la distribución original de dígitos.
- En segundo lugar, cualquier ley similar invariante frente a cambios de escala debe ser precisamente la Ley de Benford.




Theodore Hill
 

En la década de los 90 se producen avances significativos en la investigación y en el uso de la Ley de Benford.

Theodore Hill publica en 1996 la demostración de que la Ley de Benford “es la distribución de todas las distribuciones”, esto es, que si tomamos una serie de distribuciones seleccionadas al azar de manera no sesgada y las mezclamos, los primeros dígitos del conjunto de valores siguen la ley de Benford. Hill explica así la ubicuidad asombrosa de la ley de Benford. Mientras algunos números que describen fenómenos están bajo el control de una única distribución, muchos otros son dictados por una mezcla aleatoria de todo tipo de distribuciones.

¿Por qué? - La lógica detrás de la Ley de Benford


Por término medio, para que un número que comienza por la cifra 1 lo haga por la cifra 2 tiene que doblar su cantidad, lo que supone un incremento del 100%. Mientras que un número que comienza por la cifra 9 sólo necesita un incremento del 11% para comenzar por 1.

Tratemos de ver con un clásico y sencillo ejemplo porque muchas variables registradas se ajustan a esta distribución. Imaginemos una población de 10.000 habitantes. Supongamos también que esta población crece a un ritmo del 10% anual.

La cifra “1” será la primera del censo de esta población hasta que alcance los 20.000 habitantes, lo que tardará bastante tiempo en ocurrir según la tasa del 10% de crecimiento. Cuando la población tenga 20.000 habitantes, y manteniendo constante la tasa de crecimiento, el tiempo que transcurra hasta tener 30.000 habitantes será menor que el de pasar de los 10.000 a los 20.000, pero este período será a su vez mayor que el que tardará en pasar de los 30.000 a los 40.000. Esta sucesión se repetirá cuando la población alcance los 100.000 habitantes, volviéndose a establecer el valor “1” como primera cifra.


¿Cuándo funciona la ley de Benford?


¿Cuándo debe esperarse encontrar una distribución tipo Benford?

No todos los conjuntos de datos siguen la Ley de Benford, las dos reglas de oro son:

  • la muestra de números debe ser lo suficientemente grande como para dar a las proporciones predichas la oportunidad de "expresarse".
  • los números deben estar libres de límites artificiales.

Está claro que es inútil esperar, por ejemplo, que los precios de 10 tipos diferentes de cerveza cumplan con la ley de Benford. No sólo la muestra es muy pequeña, sino que además, y esto es más importante, los precios se ven obligados a permanecer dentro de un rango fijo y estrecho por las fuerzas del mercado.

Por otro lado, los números realmente aleatorios no se ajustan a la ley de Benford ya que las proporciones de los dígitos iniciales de ese número son, por definición iguales.


La Ley de Benford se aplica a datos que no son ni totalmente aleatorios ni demasiado restringidos por unos límites, sino que se encuentran en algún punto intermedio. Estos datos son típicamente el resultado de varios procesos con muchas influencias. Por ejemplo, el número de habitantes de las poblaciones puede variar desde menos de una decena hasta cientos de miles o millones, y se ve afectado por una gran variedad de factores.

¿Qué necesita una lista de números para estar distribuidos según la ley de Benford?
 

La distribución debe ser suave y amplia, extenderse a través de una amplia gama de valores y sin sesgo debido a máximos, mínimos o limitaciones especiales:

  • Deben ser distribuciones con una enorme variedad.
  • Datos distribuidos en varios órdenes de magnitud.
  • Más numeros pequeños que grandes.
  • No debe haber límites máximos o mínimos que sesgen los datos, como p.e. en las alturas de las personas.
  • No deben ser asignados, como p.e. los números de teléfono.
  • Los datos se distribuyan de forma "suave" entre todos los numeros. P.e. no valdrían los numeros que la gente elige para de lotería porque se evitan ciertos números por superstición.
Son distribuciones Benford:
  • La población de las ciudades de un país.
  • Los ingresos de un gran número de personas de poblaciones de numerosos países del mundo.
  • Un conjunto de números tomados de las declaraciones de impuestos de un país.
No son distribuciones Benford:
  • Los resultados de un generador de números aleatorios.
  • Los resultados de la lotería.
  • Las alturas o el coeficiente intelectual de una población.

¿Por qué esta distribución de dígitos es tan omnipresente?

De acuerdo con los trabajos de Theodore Hill la ley de Benford es “la distribución de todas las distribuciones”. Ello es admitido como la clave para explicar la asombrosa ubicuidad de datos que cumplen esta ley: numerosas magnitudes son el resultado de la interferencia aleatoria de muchas otras.
También hay que considerar la necesidad de que la medida de ciertos fenómenos no dependa de la escala aplicada ni del sistema de numeración empleado.



Aplicaciones de la ley de Benford


La idea de dar usos prácticos a la ley de Benford partió de Mark Nigrini, siendo estudiante graduado en la Universidad de Cincinnati en 1992, en su tesis doctoral titulada "La detección de la evasión de ingresos a través de un análisis de distribución digital"

Estudiando un gran número de declaraciones de la renta de Estados Unidos, Nigrini comprobó que se ajustaban con gran exactitud a la ley Benford. Al estudiar datos fraudulentos del condado de King, Nueva York, comprobó que las contabilidades y las nóminas no seguían la ley de Benford. Los datos fraudulentos o inventado tenían muchos menos números empezando por 1 y muchos más por 5 o 6 que los datos verdaderos.



Algunos de los usos actuales de la ley de Benford son la detección de fraude en las declaraciones de impuestos, de contabilidades falsas o alteradas y de fraude electoral. 

Es célebre la participación de la ley de Benford en el descubrimiento del fraude de la empresa estadounidense Enron. Al comprobar que los números de sus balances no cumplían con la ley de Benford se inicio a una investigación en profundidad que concluyo con la caida de dos gigantes: Enron y su empresa auditora Arthur Andersen.


Otra aplicación más reciente tiene que ver con el diseño de ordenadores. Se consigue optimizar el almacenamiento de datos mediante la asignación de espacio en disco de acuerdo con las proporciones dictadas por la ley de Benford.

También se utiliza para detectar irregularidades en los datos obtenidos en ensayos clínicos, como proceso de depuración o de detección de falsificación. 

La ley de Benford en "La aventura del Saber" de La 2 de RTVE





¿Qué matemáticas tienen en común los ríos, el fraude fiscal y las direcciones postales?
Javier Gómez Sánchez y Guadalupe Castellanos hablan sobre la Ley Benford

Benford's Law Online Calculator


Aquí está disponible una utilidad para calcular de forma online la Ley de Benford de cualquier serie numérica que podamos pegar en la página.


Conclusiones


Como profesor de mates, el hecho de que tengan una presencia importante en los medios de comunicación en relación con asuntos de la actualidad conocidos por todos es una gran noticia para los que nos gustan las Matemáticas y nos dedicamos a su enseñanza y divulgación para tratar que otros también las disfruten.

Como ciudadano indignado, no me queda claro si los papeles de Bárcenas deberían o no cumplir la ley de Benford, pero no tengo ninguna duda de si Bárcenas y algunos otros que deberían cumplir las leyes españolas lo hacen.



Agradecimientos y reconocimientos

Quiero aprovechar para hacer mención y recomendar el magnífico sitio "Estadísistica para todos" con muchos contenidos de gran calidad: talleres, historia, biografias, webquest, enlaces a fuentes de datos y software estadísticos, orientados principalmente a la enseñanza secundaria. En particular contiene un interesante taller sobre la "Ley de Benford" que me ha sido muy útil en la preparación de este artículo.

Así mismo me parecen destacables los artículos:
 - "Looking out for number one" de Jon Walthoe, que puede encontrarse traducido en
 - "En busca del número uno"  en
Matematicalia 
 - "La ley de Benford: ¿aprender a defraudar o a detectar fraudes?"  de Christiane Rousseau en el Blog Proyecto Klein.

sábado, 9 de febrero de 2013

Criptogramas

Los criptogramas son juegos de lógica clásicos. Cada letra sustituye a un dígito, letras distintas se corresponden con dígitos diferentes y el primer dígito de cada número no puede ser cero. 

Estos dos aparecen en el libro "La sonrisa de pitágoras" de Lamberto García del Cid.


SEIS              ARQ
+ SEIS + UIM
______ ______
DOCE EDES

No son difíciles, hay que razonar de forma ordenada. Ya sabéis ¡Pensar es entretenido y no duele!

Si quieres ver las soluciones selecciona el texto oculto en las siguientes líneas:
"SEIS + SEIS = DOCE. Dos soluciones distintas: 4814 + 4814 = 9628; 3643 + 3643 = 7286"
"ARQ + UIM = EDES: 689 + 325 = 1014"

La sonrisa de pitágoras

Matemáticas para diletantes.


Ficha del libro
en Editorial Mondadori
Se trata de un libro de divulgación matemática en el que se relatan numerosas curiosidades numéricas, episodios históricos, anécdotas y cometarios realizados por matemáticos. También se muestran trucos y se plantean criptogramas y acertijos de diversos tipos.

Responde a las expectativas creadas por la sinopsis de la contraportada "un libro que invita a mirar en el interior de la matemática sin recelo, casi con espíritu aventurero, para descubir - de la mano de los grandes genios, sus curiosas anécdotas y las principales teorías- los enigmas y pasadizos que encierra el arte de los números y las fórmulas."

De lectura sencilla y fácilmente comprensible, está escrito en un estilo siempre ameno, directo y desenfadado, a veces gamberro y deliciosamente políticamente incorrecto. Para pasar un rato entretenido y agradable disfrutando de la cara lúdica y recreativa de las matemáticas.

viernes, 8 de febrero de 2013

2013 - Año Internacional de la Estadística


Este 2013 se celebra en todo el mundo el "Año Internacional de la Estadística" (Statistics2013). Más de 1.600 sociedades científicas, universidades, institutos de investigación y organizaciones de 113 países de todo el mundo se han unido en esta iniciativa para divulgar el importe papel que juega la estadística en nuestras vidas  y su participación en el avance de nuestra sociedad.

Según lo establecido por los organizadores, los objetivos principales del proyecto son:
  • Aumentar la conciencia pública sobre el poder y el impacto de las estadísticas en todos los aspectos de nuestra sociedad.
  • Fomentar la estadística como una profesión, especialmente entre los jóvenes.
  • Promover la creatividad y el desarrollo de las ciencias de la probabilidad y la estadística. 

Mejorando el bienestar humano
 

 (En inglés con subtítulos en castellano)

La estadística es más que una tecnología para el análisis de datos, ayuda a moldear el mundo en el que vivimos. Las estadísticas permiten comprender mejor la sociedad, ver su evolución, identificar sus necesidades y evaluar la eficacia de las políticas públicas.

Las organizaciones que han lanzado este Año Internacional son la American Statistical Association, el Institute of Mathematical Statistics, la International Biometric Society, el International Statistical Institute, y la Royal Statistical Society.

En España, al evento se ha unido la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa (SEIO), así como numerosos departamentos universitarios.

Sitio oficial Statistics2013: http://www.statistics2013.org/

Incluye un espacio con materiales curriculares para distintos niveles educativos relacionados con esta iniciativa.

jueves, 7 de febrero de 2013

Matemáticas para predecir el cáncer

Héctor Gómez, de 32 años, ha sido nombrado mejor investigador de España. En su carrera de 10 años acumula 25 publicaciones de prestigio y ha conseguido una financiación de 1,4 millones de euros para un proyecto de 5 años. El objetivo, estudiar cómo las matemáticas pueden servir para predecir tumores. Un equipo de 9 personas le ayudará a conseguir "los mejores resultados". 

viernes, 1 de febrero de 2013

3º ESO - Ecuaciones

Buscando la X


Os pongo un enlace con contenidos y actividades. Los iremos trabajando en las sesiones de clase. También pueden servir como repaso o para hacer más ejercicios.