Comparto el material utilizado en la formación en Desmos que hemos realizado en el IES Samaniego –Laguardia BHI como parte del proyecto Sare_Hezkuntza Gelan de transformación educativa a través de la utilización de metodologías activas y de tecnologías y recursos digitales.
Desmos encaja perfectamente en este planteamiento de enseñanza-aprendizaje al permitir al alumnado manipular y experimentar y así desarrollar su curiosidad e intuición, para aprender haciendo.
El objetivo de la formación ha sido conocer las posibilidades didácticas ofrecidas por el conjunto de herramientas Desmos. Se ha centrado principalmente en el desarrollo de escenarios con la “Calculadora Gráfica” y la exploración de su uso en enseñanza secundaria y bachillerato. También dedicamos una sesión a una visión panorámica de las “Actividades en el Aula” y las herramientas relacionadas “Activity Builder” y “Desmos Classes”.
Los materiales están organizados en una presentación con un esquema de los contenidos tratados y multitud de enlaces a recursos de distintos tipos:
Materiales para el aprendizaje de Desmos: guías, tutoriales, ejemplos, ejercicios, foros en redes sociales…
Repositorios de escenarios y actividades utilizables con el alumnado en la enseñanza-aprendizaje de matemáticas y física.
El trabajo de cada una de las sesiones prácticas queda recogido en su correspondiente “hoja” de la calculadora gráfica con ejemplos de uso de los elementos y funcionalidades Desmos tratados, y enlaces a construcciones analizadas y a ejercicios planteados.
Espero que estos materiales sean útiles a quienes puedan interesar. Por supuesto, se agradece cualquier sugerencia, comentario o advertencia de errores.
desmos es una herramienta gratuita, sencilla y muy potente, creada para representar gráficamente funciones de forma interactiva e instantánea. Desde su lanzamiento está en continua evolución y va incorporando nuevas funcionalidades.
Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la curiosidad y la intuición, y aprender haciendo.
Estos son algunos de los escenarios desmos con los que trabajamos en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia.
Concepto de derivada como "Tasa de Variación Instantánea".
Elementos utilizados: Funciones, puntos manejados con deslizadores, etiquetas dinámicas, carpetas, función para usar cierto número de cifras significativas.
Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
Cálculo y visualización del área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones.
Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
Cálculo y representación de la probabilidad de un intervalo en una distribución de probabilidad normal.
Elementos utilizados: Funciones, deslizadores, puntos manejados con deslizadores, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
Elementos utilizados: Funciones de dos variables, tablas de valores de funciones de dos variables, sistemas de desigualdades, funciones, deslizadores, carpetas, notas…
Modelización matemática a partir de un problema sobre depósitos en un vertedero de residuos.
Progresiones geométricas como modelo discreto y funciones exponenciales como modelo continuo.
Elementos utilizados: Funciones con restricción de dominio, deslizadores, carpetas, listas dinámicas (nº variable de elementos), índices variables, representación función discreta, histograma, función integral predefinida, utilización de desigualdades para rellenar áreas entre curvas…
Sencillo cálculo que informa de posibles riesgos en la salud relacionados con el sobrepeso.
El índice de masa corporal (IMC), o body mass index en inglés (BMI), es un indicador simple de la relación entre el peso y la talla que se utiliza frecuentemente para identificar el sobrepeso y la obesidad en los adultos. Se calcula dividiendo el peso de una persona en kilos por el cuadrado de su talla en metros, por lo que la unidad en la que se mide el IMC es kg/m2. Al IMC se le conoce también como índice de Quetelet ya que fue ideado en el siglo XIX por el matemático, astrónomo y naturista belga Adolphe Quetelet, celebre asimismo por su aplicación de la estadística a la criminología.
Es muy importante tener en cuenta que no se pueden aplicar los mismos valores de IMC en niños y adolescentes debido a su constante crecimiento y desarrollo corporal, por lo que se obtiene un IMC considerando su edad y sexo. También es necesario tener en cuenta consideraciones especiales al interpretar el IMC en el caso de personas ancianas y deportistas con gran desarrollo muscular.
El IMC no es perfecto. Tiene la ventaja de que con un cálculo muy sencillo, que cualquiera puede realizar, proporciona una indicaciónrazonablemente buena sobre el estado nutricional de una persona y de posibles riesgos en su salud relacionados con el sobrepeso y exceso de grasa. Hay otros indicadores más completos que necesitan de técnicas más complejas.
Actividades
Comencemos con unas actividades del libro “Matemáticas en la vida real”, de G. Barozzi y otros autores.
Algunas observaciones y actividades complementarias
1.La tabla anterior que indica los “estados corporales” según el IMC, además de utilizar en dos casos la abreviatura “ICM”, contiene otra errata al indicar las desigualdades. ¿Qué errata?
2.La mencionada tabla clasifica los valores del IMC en cinco intervalos.
¿Cuáles y de que tipo (abiertos, cerrados, semiabiertos o semicerrados) son?
Escríbelos usando la notación de paréntesis y corchetes.
Escribe la tabla con mayor precisión de forma que a todos los valores de IMC se les pueda asignar sin ninguna duda el correspondiente “estado corporal”.
3.En una persona con una edad en la que su estatura no cambie, por ejemplo joven o adulta, los cambios en su IMC son debidos a variaciones en su masa.
¿Cuál es la fórmula que relaciona la masa y el IMC en una persona adulta de 1,75 m de altura?
¿Se trata de una función? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la variable independiente?
Dibuja su gráfica usando como dominio de definición el intervalo 30 kg – 180 kg.
4.En un sistema de ejes cartesianos representa en el eje horizontal los valores de la masa (en kg) desde 30 hasta 180 kg. Y en el eje vertical los valores de la altura (en m) desde 1,2 hasta 2,2 m.
Marca el perímetro del rectángulo formado por todas las combinaciones masa-altura, con la masa entre 30 y 180 kg y la altura entre 1,2 y 2,2 m.
Colorea en azul los puntos del rectángulo que representan combinaciones masa-altura a las que corresponde un estado corporal “Delgado”. Haz lo mismo usando el color verde para el estado “Normal”, naranja para el “Sobrepeso”, rojo para el “Obeso” y violeta para el “Obeso grave”.
Sugerencia: Comienza por calcular y representar los puntos del perímetro del rectángulo que se corresponden con combinaciones masa-altura que tienen valores de IMC en los que cambia el “estado corporal”, es decir 18,5 , 25, 30 y 40 kg/m2.
5. Vamos a modificar ligeramente el IMC para definir un nuevo índice al que llamaremos IMC “Optimizado” o IMCo, (BMI “Prime” en inglés). Para ello dividiremos el valor obtenido como IMC entre 25 kg/m2, que es el límite superior del intervalo de valores de IMC considerados como “normales”.
Calcula el IMCo que corresponde a una persona de 79 kg de masa y 1,74 m de altura.
¿En que unidades se mide el IMCo?
Elabora la tabla del nuevo índice completando la que aparece a continuación:
¿Qué tanto por ciento de incremento supone el IMC de una persona de 79 kg de masa y 1,74 m de altura, respecto a un IMC de 25 kg/m2?¿Qué relación hay entre este % y su IMCo?
¿Qué tanto por ciento de disminución supone el IMC de una persona de 60 kg de masa y 1,75 m de altura, respecto a un IMC de 25 kg/m2?¿Qué relación hay entre este % y su IMCo?
Da una interpretación del nuevo índice que hemos definido.
En una de las actividades anteriores has deducido que en los países anglosajones de utiliza la fórmula:
Según la información oficial Concéntrico"Propone descubrir y redescubrir los espacios de interés del Centro Histórico de la ciudad. El Festival invita a recorrer estos lugares mediante instalaciones que crean una conexión entre patios interiores, espacios ocultos y pequeñas plazas que habitualmente pasan desapercibidas en el día a día de la ciudad."
Las Matemáticas forman parte de todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Matemáticas y arquitectura poseen una larga y fecunda historia conjunta. Algunos proyectos de arquitectura y diseño son un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático.
Seguramente la relación más inmediata entra Matemáticas y arquitectura sea la geometría. Como algunos tratados afirman “Toda creación arquitectónica es geometría”. Otros vínculos son menos evidentes. Este artículo pretende, siguiendo el espíritu de Concéntrico, mostrar nexos más ocultos entre algunas instalaciones del festival y las Matemáticas.
En la Plaza de Santa Ana, la instalación ARTEFACTOS, de Daniel Montes y Sara Canalejas, de Cluster Arquitectos, se basa en la construcción de tres artefactos a partir de 108 piezas tomando como referencia el "Juego de Cartas" ("House of Cards") de los diseñadores Charles y Ray Eames.
Charles y Ray Eames y las Matemáticas
El matrimonio formado por los estadounidenses Charles (1907 - 1978) y Ray (1912 – 1988) Eames ejerció una influencia muy significativa en la arquitectura y el diseño, tanto de muebles como industrial o gráfico, modernos. Algunas de sus creaciones se han convertido en referencias clásicas. La "Silla Eames" es uno de los diseños de muebles más reconocidos del siglo XX, tanto que forma parte de la colección permanente del Museo de Arte Moderno de Nueva York.Los Eames también concibieron y diseñaron exposiciones así como escribieron y dirigieron numerosos cortometrajes.
Algunas de sus producciones están dedicadas a la divulgación de las Matemáticas. Entre ellas destacan:
Fue la primera exposición producida por el matrimonio Eames. Patrocinada por IBM, "Matemática: Un mundo de los números ... y más allá" fue expuesta en el "Museo de Ciencia e Industria de California" en Los Ángeles desde marzo de 1961 hasta enero de 1988. Posteriormente en la universidad de diseño "Art Center" en Pasadena, California. En la actualidad se expone en el museo de la ciencia "New York Hall of Science" de Nueva York.El "Museo de la Ciencia de Boston" exhibe una réplica de la exposición.
Su objetivo fue ofrecer a todo el mundo la oportunidad de disfrutar de las Matemáticas y de la belleza de diseño, seleccionado historias e imágenes atractivas de diversas áreas matemáticas como probabilidad, topología, álgebra de Boole, geometría, cálculo y lógica.
La exposición sigue siendo considerada en la actualidad como un modelo para la divulgación científica.
Probablemente el cortometraje documental más famoso de los Eames. De acuerdo con su subtítulo "Una película que trata sobre el tamaño relativo de los objetos en el Universo y el efecto de añadir otro cero", presenta el concepto de orden de magnitud basado en factores de diez mostrando la escala relativa de los objetos del Universo.
A partir de un picnic en la orilla del lago en Chicago, en un ambicioso y memorable travelling, la película nos transporta a los bordes exteriores del universo. Cada diez segundos, vemos el punto de partida diez veces más lejos, hasta que nuestra propia galaxia es visible solo como un punto de luz, entre muchos otros. Volviendo a la Tierra a velocidad vertiginosa nos movemos hacia el interior del cuerpo humano con diez veces más de aumento cada diez segundos. Nuestro viaje termina dentro de un protón de un átomo de carbono de una molécula de ADN de un glóbulo blanco de la sangre.
Es un cortometraje de carácter divulgativo muy dinámico, ilustrativo e impactante.
Haz clic aquí para ver la versión original en inglés.
"IBM Mathematical Peepshows" (1961)
El film es una colección de cinco cortometrajes encargados por IBM y creados por Charles y Ray Eames para su inclusión en la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond".
Cada uno de los cinco cortos trata brevemente un concepto matemático, presentándolo de forma divulgativa a través de una simpática animación con voz en off. Una mezcla exquisita del concepto "píldora de información", tan actual, con el aroma de las animaciones de hace más de medio siglo.
Cinco años después de la inauguración de la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond", IBM publicó este cartel de grandes dimensiones (0,61 m x 3,66 m) con forma de línea de tiempo.
Basado en el "Muro de la Historia" de "Mathematica", muestra cronológicamente a través de las biografías y trabajos de los matemáticos más destacados el desarrollo de las Matemáticas del mundo occidental entre los años 1000 y 1950. IBM distribuyó este cartel a las escuelas de todo Estados Unidos. Muchos departamentos de Matemáticas de todo el mundo lo siguen mostrado con orgullo en sus paredes.
En 2012 IBM lanzó una aplicación iPad gratuita, desarrollada con la asistencia de la Oficina Eames, basada en este cartel con la línea del tiempo actualizada hasta nuestros días. Puedes descargarla aquí.
Christopher Alexander y las Matemáticas
En la plaza de San Bartolomé, la instalación 02 + 04 = ALEXANDER PLATZ, de Javier Dulín, arquitecto y profesor de Proyectos de Diseño de Interiores de la Escuela
Superior de Diseño de La Rioja (ESDIR), se fundamenta en las teorías de Christopher Alexander y su lenguaje de patrones.
Christopher Alexander es uno de los arquitectos y diseñadores más influyentes de la segunda mitad del siglo XX.
Actualmente es profesor emérito de arquitectura en la Universidad de California, Berkeley.
A lo largo de los más de 40 años de carrera profesional, Alexander ha desafiado las corrientes imperantes en arquitectura poniendo al ser
humano en el centro del diseño. Para ello ha combinado formación científica, investigación arquitectónica, enseñanza y verificación de sus
teorías a través de sus construcciones. Sus ideas innovadoras y
radicales han extendido su influencia mucho más allá del ámbito de la arquitectura, incluyendo entre otros campos, el diseño urbano, la
ingeniería de software y la sociología.
Nació el 1936 en Viena, Austria, aunque pasó sus primeros 22 años en Inglaterra. Su vinculación con las Matemáticas comienza con su formación
académica inicial. Cursó sus estudios en la Universidad de
Cambridge, donde obtuvo en 1956 un Máster en Matemáticas antes de licenciarse en Arquitectura en 1958. El mismo año en el que se trasladó a
Estados Unidos donde se doctoró en arquitectura en la Universidad de Harvard en 1963.
Sus dos obras más innovadores e influyentes son "A Pattern Language" ("Un Lenguaje De
Patrones") publicada en 1977 junto con sus alumnos Sarah Ishikawa y Murray Silverstein, y "The Timeless Way of Building" ("El modo
intemporal de construir") publicada en 1979. Según Alexander "constituyen un todo indivisible" son las dos mitades de una misma
obra que presentan "un lenguaje para construir y planificar" y "la teoría y las instrucciones necesarias para el empleo de ese
lenguaje", e "intentan describir una actitud totalmente nueva con respecto a la arquitectura y el urbanismo". En la idea de que
los usuarios son más sensibles a sus necesidades que cualquier arquitecto podría ser, Alexander propone un método estructurado que pone la
arquitectura al alcance de personas no especializadas profesionalmente en la materia.
Desde el comienzo de sus investigaciones Alexander aplicó sus conocimientos
matemáticos y el racionalismo al diseño, culminando en la publicación del libro "Notes on Synthesis of Form" ("Ensayo sobre la síntesis de la forma") en 1964.
Trata sobre el arte del diseño, lo que es, y el método para realizarlo. Las matemáticas que subyacen a este método,
basadas principalmente en en teoría de grafos y estadística, están totalmente desarrolladas en el extenso apéndice 2. Estas teoría tuvieron una fuerte influencia en los años 1960 y 1970 en ingeniería
de software, como por ejemplo en diseño de lenguajes de programación, programación modular o programación orientada a
objetos.
"Creo que una ciudad natural tiene la organización de un semirretículo; en cambio, cuando organizamos artificialmente una ciudad, lo hacemos como un árbol"
En este ensayo escrito en 1965, y considerado como una de las bases
conceptuales de la renovación del urbanismo de la época, Alexander, aplicando métodos matemáticos de teoría de conjuntos para entender la estructura de la ciudad y su estructura
conectiva, reflexiona en torno a la complejidad de las ciudades tradicionales en contraposición con la simpleza de los desarrollos
urbanos contemporáneos. En "La ciudad no es un árbol"está disponible
la traducción al castellano de este artículo.
"Tres aspectos de matemática y diseño"
Publicado en
1969 por la editorial Tusquets de Barcelona como número tres de "Cuadernos Ínfimos", agrupa tres artículos fundamentales de la primera
etapa investigadora de Alexander donde, según la editorial, trata de "hallar métodos que permitan hacer más lógicas y comprobables las
intuiciones del proyectista, acercando así el arte a la ciencia".
"Un tema muy solicitado: computadores y diseño". Traducción de
"The Question of Computers in Design" (1964)
"La ciudad no es un árbol". Traducción de "A City is Not a
Tree"(1965), mencionado anteriormente.
desmos es una herramienta en línea, gratuita para usos no comerciales, que permite de forma interactiva e instantánea representar gráficamente funciones (reales de una variable real) indicadas explícitamente o implícitamente, tanto de forma cartesiana, paramétrica o polar. Desde rectas y parábolas hasta derivadas y series de Fourier.
Además de realizar las operaciones habituales de una calculadora científica, desmos representa puntos, desigualdades y funciones definidas a trozos, maneja tablas de valores, muestra máximos, mínimos y puntos de intersección, realiza ajustes estadísticos y resuelve ecuaciones con raíces cuadradas, logaritmos, valor absoluto y más.
La plataforma desmos incorpora un buen número de funciones modelo que aparecen al crear una nueva gráfica. También ofrece un repositorio de materiales matemáticos producidos por los usuarios y otro de creaciones "artísticas" realizadas con desmos.
Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la intuición y aprender haciendo. Sin olvidar la posibilidad de generar actividades para ser realizadas por los alumnos, de las cuales desmos ofrece un repositorio, la mayoría en inglés.
Para conservar los escenarios creados es necesario registrase y archivarlos en los servicios de almacenamiento de "la nube" desmos, siendo posible decidor si se quiere, o no, hacerlos públicos.
desmos, además de en línea, también está disponible como aplicación para Android e iOS. En este caso, aunque no se disponga de acceso a la nube desmos, es posible utilizar la aplicación pero no es posible guardar las gráficas generadas. Sí es posible acceder a los ejemplos y modelos que hayan sido "cacheados" previamente.
Una última perla, el complemento ideal para desmos: GIFsmos genera GIFs animados a partir de gráficas desmos.
Sin duda desmos es una excelente herramienta, sencilla, potente y bella; totalmente recomendable.Es fácil quedarse enganchado si la pruebas.
Tal día como hoy, el 18 de marzo de 1911 nació en Hernani, Guipúzcoa, Gabriel Celaya, uno de los más destacados representantes de la poesía social española de posguerra.
La conmemoración de tal efeméride me ha traído deliciosos recuerdos de su libro de poemas "Función de Uno, Equis, Ene F (1.X.N)", publicado en 1973 por Ediciones Javalambre de Zaragoza, y de la biblioteca del colegio Mayor Pedro Cerbuna donde cayó en mis manos por primera vez. También me ha producido cierta nostalgia la visión de Celaya de la poesía como un instrumento para transformar el mundo.
Imagen de "Album fotográfico" en gabrielcelaya.com
Esta colección de poemas son un emocionante entretejido de fórmulas matemáticas y humanismo lírico donde Gabriel Celaya entre inspiración y reflexión explora, según sus propias palabras, las relaciones conflictivas entre "Uno", el yo aislado, "Ene", los otros o el colectivo y "Equis", la incógnita secreta, un implacable e incomprensible orden que se rige según leyes o reglamentos no humanos. Podemos aventurar que en la creación de estos problemas Celaya hizo uso de los conocimientos matemáticos adquiridos en sus estudios de Ingeniería industrial.
Me permito citar aquí algunos versos del poema con el que cierra la obra "Función de Amparitxu", dedicado a su gran amor, que da plenamente sentido a su vida.
¡Y al diablo los versos, y Don Uno, San Equis, y el Ene más Cero! Estoy vivo todavía gracias a tu amor, mi amor, y aunque sea un disparate todo existe porque existes, y si irradias, no hay vacío, ni hay razón para el suicidio, ni lógica consecuencia. Porque vivo en ti, me vivo, y otra vez, gracias a ti, vuelvo a sentirme niño.
Para saber más: - Espacio web de la Diputación Foral de Guipúzcoa dedicado a Gabriel Celaya
