Con Phi (Φ) de Phidias

Actividades entorno a la “divina proporción”

¿Qué tienen en común la disposición de los pétalos de una rosa, la famosa pintura de Salvador Dalí “Sacramento de la Última Cena”, las conchas de algunos moluscos,  la cría de conejos y los brazos en espiral de cierto tipo de galaxias como nuestra Vía Láctea?

Todos estos ejemplos dispares están unidos por un número conocido desde la Antigüedad, que a principios del siglo XVI, en Italia, fue denominado «Divina Proporción» y que en el siglo XIX recibió la distinción de «Número de Oro o Áureo», «Proporción Áurea» y «Sección Áurea».

Phi (Φ o φ) es un número menos conocido que otros con nombre propio como Pi (π) o e, pero mucho más fascinante en numerosos aspectos; ha seducido a lo largo de la historia a muchas de las mentes más brillantes..

Además de tener propiedades numéricas sorprendentes o expresar relaciones geométricas asombrosas, Φ aparece, relacionado con la belleza, la perfección y el caos, como conexión insospechada entre la naturaleza y las creaciones humanas.

Cotidianamente utilizamos la palabra “proporción” para expresar la relación comparativa respecto al tamaño o la cantidad que se establece entre las partes de las cosas; y para  describir una relación armónica entre diferentes partes.

En Matemáticas, la palabra “proporción” se utiliza para indicar la igualdad entre dos razones: “nueve es a tres como seis es a dos”.

La proporción áurea ofrece una mezcla intrigante de ambas definiciones.

Actividades

Comparto aquí las actividades entorno a la “divina proporción” que vengo utilizando desde hace algunos cursos con alumnado de 3º y 4º ESO, y 1º Bachiller.

0.- “Nature by Numbers” de Cristóbal Vila. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.
1.- Cociente entre un término y su anterior en sucesiones tipo Fibonacci a partir de dos números cualquiera.
2.- Definición de proporción áurea.
3.- División, con regla y compás, de un segmento en razón media y extrema.
4.- Rectángulos áureos.
5.- La ecuación de  Φ. Representación de Φ sobre la recta real utilizando regla y compás.
6.- Algunas propiedades de Φ.
7.- Cálculo Φ por medio de Raíces anidadas.
8.- Cálculo Φ por medio de fracciones continuas.

La proporción áurea es un concepto a la vez que simple en su definición, muy rico; aparece recurrentemente en múltiples campos matemáticos. Ello permite desarrollar actividades de distintos bloques de los currículos de Matemáticas de ESO y Bachillerato, que incluyen cálculos aritméticos, construcciones y razonamientos geométricos, trabajo con sucesiones, límites, … También permite trabajar de forma interdisciplinar relacionando las Matemáticas con los contenidos de otras materias.

Las actividades compartidas permiten practicar la utilización de la calculadora y de aplicaciones de “hojas de cálculo”; también realizar construcciones con regla y compás y con GeoGebra. Algunas de ellas, especialmente a las dos últimas, son fácilmente enfocables de forma que desarrollen el “pensamiento computacional”. Otras, como la primera, pueden ser presentadas como un mero divertimento matemático.

- Puedes descargar las actividades en formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja MS Excel que facilita los cálculos aquí.
- Puedes abrir el libro GeoGebra relacionado aquí.

Para saber más:

- “Nature by Numbers” cortometraje de Cristóbal Vila, de una muy cuidada e impactante realización técnica. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.Una de las mejores formas de introducirse el tema de la razón áurea

- “La teoría tras la película” ofrece interesante información complementaria a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella.

- Corbalán, Fernando, “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza”. RBA Libros. Barcelona. 2010.

- Livio, Mario, “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”. Ed Planeta. Barcelona. 2006.

Área de un cuadrado conocida la longitud de su diagonal

“"It is better to solve one problem five different ways,

than to solve five problems in one way"

George Polya (1887 – 1985)”

La diagonal de un cuadrado mide 6 m  ¿Cuánto mide su área?

Desarrollo de la actividad

1.- Individualmente: Calcula el resultado de 2 maneras distintas. 

2.- En grupos de 3: Calculad el resultado de 4 maneras distintas.

3.- Individualmente: Redacta detalladamente 3 maneras distintas de calcular el resultado.

• Explica lo que has hecho de forma que cualquier compañero que lo lea pueda comprenderlo y repetirlo.
• Además de indicar los pasos a seguir (qué has hecho) tienes que incluir el razonamiento (por qué lo has hecho).

Solución de problemas versus resolución de problemas

Esta actividad tiene su origen en una charla impartida por Lorenzo J. Blanco Nieto, Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Extremadura dentro del “Seminario Permanente de Actualización en Matemáticas” de la Universidad de La Rioja.
 

En la conferencia, con título “Resolver problemas versus resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos”, desde el convencimiento de que la resolución de problemas debe ser el foco principal en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, el profesor Blanco reflexionó sobre la diferencia entre “resolver problemas”  y “resolución de problemas”, incidiendo sobre las dificultades mostradas por los alumnos al escribir las estrategias concretas para resolver un problema, y para diferenciar entre la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema.

Además de porque, siguiendo a Polya, estoy convencido de que aprendemos mucho más resolviendo un problema de muchas formas distintas que resolviendo muchos problemas de la misma forma, me gusta esta actividad porque permite trabajar la fase de revisión y extensión de la resolución de problemas, así como la redacción rigurosa, ordenada y precisa de las estrategias seguidas. También porque al combinar trabajo individual y en grupo permite practicar destrezas relacionadas con la comunicación oral y escrita, como son la expresión de ideas complejas y la escucha atenta.

Para acceder a un libro GeoGebra con algunas soluciones y los pasos seguidos para llegar a ellas haz clic aquí.

+ Info:

- Vídeo de la conferencia “Resolver problemas versus resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos” en la Universidad de la Rioja.
- Artículo en el blog personal de Lorenzo J. Blanco Nieto ¿Qué hacemos y qué evaluamos cuando trabajamos la Resolución de Problemas en el aula de Matemáticas?

- Presentación de la conferencia “Resolver problemas vs. resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos” en la Universidad de Zaragoza.

¡¿ π = 2 ?!

Una π-Paradoja para que π-enses un rato

Hoy 14 de marzo, 3/14 según se escriben las fechas en euskera o en inglés, además del nacimiento de Albert Einstein (14 de marzo de 1879), celebramos, por primera vez oficialmente en España, el "Día de Pi". Celebración con larga tradición en Estados Unidos hasta el punto de en 2009 su Cámara de Representantes declaró oficialmente el 14 de marzo como "Día Nacional de Pi".

Es un buen motivo para reflexionar entorno a una π-Paradoja. Y no me refiero al hecho de que π sea un número "irracional", aunque curiosamente haya sido definido como la razón entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia, sino a la que nos lleva a que el valor de π es el número entero 2.

Comencemos con un segmento AB de longitud 2, construyendo una semicircunferencia tomándolo como diámetro. Así el radio de la semicircunferencia es R = 1 y su longitud es π·R = π. A continuación dividiremos el segmento AB en dos partes iguales, y tomando como diámetro cada mitad, construiremos dos semicircunferencias disponiendo una a cada lado del segmento AB. Estas dos semicircunferencias forman una línea ondulada continua cuya longitud es igual que la de la primera semicircunferencia; es decir π. En efecto, el radio de cada semicircunferencia es 1/2 y su longitud π·1/2 = π/2. Por lo que la longitud conjunta de las dos semicircunferencias es 2·π/2 = π. Continuemos este proceso indefinidamente, dividiendo el segmento AB en 4, 8, ... partes iguales y tomando como diámetro cada parte, construyendo semicircunferencias dispuestas alternativamente una a cada lado del segmento AB. Obtendremos una sucesión de líneas onduladas que se aproximan cada vez más al segmento AB.

A medida que el número de semicircunferencias aumenta se obtiene una sucesión de líneas onduladas dentro de una banda cada vez más estrecha, que contiene al segmento AB. La anchura de la franja que contiene a cada línea ondulada coincide con el diámetro de las semicircunferencias que la forman, es decir 2/n.

Pero la longitud de todas las líneas onduladas es siempre la misma, π. Y tal debe ser la longitud del límite de las líneas onduladas, es decir del segmento AB. Con lo que tenemos ¡¿π = 2?!.

El siguiente escenario GeoGebra te ayudará a visualizar la construcción.

¡¿Es posible?!

Tómate tu tiempo para pensar...y solo después de ello, si quieres conocer una explicación de esta paradoja, haz clic aquí ▼▲

Evidentemente que no lo es. π sigue siendo el número irracional 3,14159...

Detectar el fallo en la anterior argumentación necesita comprender conceptos de cierta sofisticación técnica que se estudian en el primer curso de análisis matemático de los estudios universitarios de ciencias e ingenierías.

Tratemos de ver un esquema general del razonamiento:

Al tratar las sucesión de funciones reales, se define la función límite basándose en el concepto de límite de una sucesión de números reales; y se habla de "convergencia puntual" de la sucesión de funciones hacia la función límite. Al estudiar cuestiones relacionadas con la conservación de ciertas propiedades de las funciones, se observa que no siempre el límite de una sucesión de funciones continuas es una función continua. Y lo mismo sucede con las funciones derivables e integrables; las operaciones de "paso al límite" y "derivación", o de "paso al límite" e "integración" no son siempre intercambiables.

Se continúa definiendo un tipo de convergencia de funciones más exigente que la puntual; la llamada "convergencia uniforme", que intuitivamente se visualiza como que para cualquier banda de anchura constante, simétricamente situada respecto a la gráfica de la función límite, no importa lo estrecha que sea, se puede determinar una función en la sucesión de funciones a partir de la cual todas las funciones de la sucesión tienen su gráfica dentro de la banda. En este caso de convergencia uniforme sí se puede asegurar que la función límite de una sucesión de funciones continuas, es continua. Y también que son intercambiables el "paso al límite" y la "integración". Pero el asunto de la derivación es más delicado; la convergencia uniforme tampoco asegura que el "paso al límite" y la "derivación" sean intercambiables.

El caso de la paradoja que nos ocupa es especialmente interesante. Se trata de una sucesión de funciones, las líneas onduladas, que son continuas y que convergen uniformemente a una función, el diámetro de la primera semicircunferencia. Utilizamos la operación "longitud" y, éste es precisamente el punto de fallo en el razonamiento, estamos considerando como iguales "el límite de las longitudes" (π) y "la longitud del límite" (2). La operación "longitud" implica integración y derivación. Este ejemplo es uno de los casos en los que el "paso al límite" y la "derivación" no son intercambiables, a pesar de que la convergencia de las funciones, que no de las derivadas, es uniforme.


Conclusiones

Esta paradoja es un magnífico ejemplo de la complejidad y sutileza del infinito, presente en el concepto de límite; y de la necesidad de rigor en la comprobación de las condiciones al realizar operaciones de "paso al límite". También es una muestra de cómo las visualizaciones son una buena guía para la intuición que puede facilitar la comprensión, e incluso el descubrimiento, pero que no siempre sirven como demostración. Asimismo, este ejemplo invita a reflexionar sobre el significado de conjetura, demostración y paradoja.

Un poco más alla
 
Siguiendo con este planteamiento paradójico nos podemos plantear cuestiones como ¿influye la longitud del radio de la primera semicircunferencia?¿cómo hacer variable la longitud de la sucesión de líneas onduladas?¿cambia en este caso la esencia del planteamiento inicial?¿cómo conseguir otros valores distintos para π? Se trata de unos buenos y recomendables ejercicios.

Y una vuelta de tuerca más. En realidad al definir π como el cociente entre las medidas de dos longitudes, su valor depende de la métrica utilizada y en estos casos sí, y de forma veraz, π tiene otros valores distintos al euclídeo 3,14159... Dejamos este asunto como tema para otra entrada.


Para saber más:

- Dubnov, Ya. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Lecciones populares de matemáticas. Ed. Rubiños-1860. Ávila. 1994
- Apostol, Tom M.: Calculus. Vol I. Ed. Reverté, Barcelona. 1980.
- Giaquinto, Marcus: Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study. Ed. Oxford University Press. Oxford. 2007.
- Cortés López, Juan Carlos y Aledo Sánchez, Juan Ángel: Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas. Revista Suma nº 34, junio 2000.
 

Los barcos en ruta

Divertimiento matemático publicado por José Augusto Sánchez Pérez en 1948

"Entre dos puertos, A y B, existe hace tiempo un servicio regular de barcos, que sigue una ruta fija tanto a la ida como a la vuelta. Cada día, a las 12 del día, sale un barco desde A en dirección a B, y al mismo tiempo otro barco sale desde B en dirección a A. Cada barco tarda en la travesía 6 días y tres horas. El barco que hace la travesía desde A hasta B ¿con cuántos barcos se cruza en el viaje de vuelta?"

Este reto está recogido por José Augusto Sánchez Pérez en su libro "Divertimientos matemáticos", publicado por la editorial Saeta en 1948 en Madrid, como divertimiento 107.

Para ver algunas sugerencias que quizá te ayuden haz clic aquí ▼▲

Sugerencias

Prueba a resolver un problema similar más sencillo. Por ejemplo con menos días de travesía.

También puedes intentar resolver el problema "El cruce de los metros" que aparece en este mismo artículo.

Para ver una forma de resolver el problema haz clic aquí ▼▲

Una forma de resolver el problema

Cuando el barco sale del puerto B, en la ruta AB están navegando 6 barcos, con los que se tiene que cruzar. Desde que el barco zarpa de B y llega a A habrán salido de A otros 7 barcos, con los que también se tiene que cruzar. Por lo tanto se cruza con 13 barcos. La compañía naviera necesita tener en servicio 14 barcos.

La siguiente construcción GeoGebra puede ayudarte a entender el razonamiento y hacer pruebas con otras frecuencias en la salida y otras duraciones de la travesía. Haz clic aquí para acceder a ella, o aquí para descargarla.

En "Divertimientos matemáticos" erróneamente se da como solución "se cruza con 12 barcos. La compañía naviera necesita tener en servicio 14 barcos".

"El cruce de los metros"

En el divertimiento 108, J.A. Sánchez Pérez propone este otro reto como "una curiosa variante simplificada y modernizada" [ modernizada para el año 1948 ;-) ] del anterior:

"Entre dos estaciones, Argüelles y Goya, existe una línea de "Metro" con vía doble. Entre Argüelles y Goya se encuentran 6 estaciones (San Bernardo, Bilbao, Alonso Martínez, Colón, Serrano y Velázquez). Cada 5 minutos sale un tren de cada estación. A las 11 de la mañana, con el servicio completo y normal, sale un tren de la estación de Argüelles, ¿con cuántos trenes se cruza en el trayecto Argüelles-Goya?"

Trata de resolverlo y de buscar la relación con el anterior problema.

Para ver la solución haz clic aquí.

Una casa con Geometría dinámica

Sobre disección y equicomposición de figuras

Ponerse a hacer reformas en casa es algo aterrador; nunca se sabe hasta dónde llegarán ni cómo acabarán. Por otro lado, llega a ser tedioso ver la casa siempre igual. La casa "D*Haus Dynamic", diseñada por el estudio londinense de arquitectos "D*Haus Company" puede ser una opción. En realidad va mucho más allá.

 

Esta casa "ecológica, versátil y adaptable" está diseñada para cambiar según las condiciones ambientales. Los gruesos muros externos y las pequeñas ventanas se convierten en paredes internas, a la vez que las paredes interiores de vidrio pasan a ser las fachadas. Las puertas se convierten en ventanas y viceversa. Según sus diseñadores "para la época de invierno, la casa en forma cuadrada, con pequeñas ventanas y gruesas paredes, se abraza a sí misma. Para tiempo más cálido, la casa se abre como una flor para permitir que la luz y el aire penetren en el interior del edificio y ofrecer completas vistas panorámicas de los alrededores".

D*Haus Company - D*Table - Ver vídeo

"D*Haus Company" es una firma innovadora que aplica de forma muy original la Geometría al mundo de la Arquitectura y del Diseño, siendo un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático. Además de la "casa dinámica" "D*Haus" ha diseñado también mesas y sistemas de iluminación basándose en la misma disección geométrica. 

Curiosamente, aunque las creaciones de D*Haus Company responden al estilo de vida más moderno, son la culminación de una historia que comienza hace más de un siglo.

El acertijo del mercero

Henry Ernest Dudeney (1857-1930) fue un creador inglés de ingeniosos retos y acertijos matemáticos, publicados en las revistas británicas más populares de la época y recopilados posteriormente en distintos libros. Funcionario de la Corona Británica, aunque no fue un matemático profesional sí alcanzó cierta formación matemática y, sobre todo, estuvo dotado de una gran intuición geométrica.

En 1902, Henry Dudeney publicó en el periódico semanal "Weekly Dispatch" un rompecabezas que planteaba un enigma desconcertante: cómo dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas para que recolocadas formaran un cuadrado. En 1905 Dudeney realizo sendas presentaciones del problema ante las prestigiosas sociedades científicas "Royal Society" y "Royal Institution" de Londres. El mismo año fue publicado como desafío en el diario de gran difusión "Daily Mail" y según relata el propio Dudeney, después de recibir cientos de posibles soluciones no hubo ninguna correcta.

El reto fue incluido bajo el título "El acertijo del mercero" ("The Haberdasher's Puzzle") como problema número 26 en la recopilación "Los acertijos de Canterbury" ("The Canterbury Puzzles"), libro publicado por Dudeney en 1907, que narra la historia de un grupo de peregrinos con destino al santuario de San Thomas Becket en Canterbury. Los peregrinos se proponen unos a otros rompecabezas para entretenerse durante el camino. 

"El mercero se resistía a satisfacer las demandas de los peregrinos para que propusiera un acertijo. Tanto le insistieron... que al final se decidió, pidiendo que se le diera un paño en el que recortó un triángulo equilátero perfecto. Luego, mostrándolo a los demás dijo: "¿Es alguno de vosotros tan diestro en el corte de género como yo? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, aunque el estudioso puede aprender del lacayo y el sabio del necio. Mostradme, pues, una manera de cortar este trozo de género en cuatro piezas de manera que puedan reunirse formando un cuadrado perfecto". Tras varios intentos, los más avezados mostraban soluciones cortando en triángulo en ¡cinco piezas! .... pero no en las cuatro que pedía el mercero. Mientras, él los observaba pero permanecía en silencio. Cuando finalmente le pidieron la solución casi recibe una paliza, pues, declaró que la había olvidado. Al fin, tras varias noches de incertidumbre, el acertijo quedó resuelto".

La siguiente construcción GeoGebra muestra la solución propuesta por Dudeney.

Dudeney construyó la solución al acertijo en madera de ébano uniendo las cuatro piezas con bisagras de forma que al girar las piezas con un movimiento de la mano se podía pasar de una figura a la otra. Debido a ello se denomina como "disección de Dudeney" al tipo especial de disección de figuras geométricas en la que todas las piezas están conectadas en una cadena por puntos "bisagra", de tal manera que la transformación de una figura a otra puede llevarse a cabo haciendo pivotar la cadena de forma continua, sin cortar ninguna de las conexiones. En inglés de denominan también "hinged dissections" (hinge puede ser traducido como bisagra, gozne o articulación que gira).

Disección de figuras geométricas

Los rompecabezas consistentes en seccionar figuras en piezas y reensamblarlas para formar otra, como el acertijo del mercero, se han convertido en un clásico entre los divertimentos matemáticos. Son disecciones geométricas. El empleo del método de la disección ha sido fundamental en el cálculo de áreas desde los orígenes de la Geometría y también se utiliza frecuentemente en la enseñanza para justificar las fórmulas de cálculo del área de figuras elementales.

Disecciones 2-D

Dos figuras se dicen equicompuestas si cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede, al disponer estas partes de otra forma, componer con ellas la segunda figura. Claramente, si dos figuras son equicompuestas tienen la misma área. La pregunta recíproca de si dos figuras con la misma área son equicompuestas no tiene una respuesta tan evidente.

El teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien establece que tiene una respuesta afirmativa en el caso de los polígonos: Si dos polígonos tienen igual área uno de ellos se puede dividir en partes de forma que es posible componer el segundo trasladando y rotando las piezas obtenidas en la disección. Polígono quiere decir, en este contexto, una figura limitada por un número finito de líneas quebradas formadas por un número finito de segmentos rectilíneos. Puede tener "agujeros". Lo importante es que sea posible dividir la figura en un número finito de triángulos.

La atribución de la autoría original de la demostración es una historia enrevesada. El matemático húngaro Farkas Bolyai demostró el anterior teorema en 1832 y el militar alemán aficionado a las Matemáticas P. Gerwien dio una demostración en 1833 sin tener conocimiento de la de Bolyai. Hay indicios de que el matemático escocés William Wallace ya había dado una demostración en 1807.

Según el teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien en el caso de los polígonos es equivalente equicomposición y tener la misma área.

Disecciones 3-D

Si damos el salto de dimensión 2 a dimensión 3 nos preguntaremos si con los poliedros pasa algo análogo. Dos poliedros se dicen equicompuestos si al cortar de cierto modo uno de ellos en un número finito de piezas poliédricas, se puede, al disponer estas piezas de otra forma, componer con ellas el segundo. De forma semejante al caso de los polígonos, claramente, si dos poliedros son equicompuestos tiene el mismo volumen. En este caso la pregunta recíproca de si dos poliedros con el mismo volumen son siempre equicompuestos tiene respuesta negativa.

Se trata de un problema difícil; el tercero en la famosa colección de 23 problemas compilados por Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 con el objeto de estimular la investigación matemática durante el nuevo siglo. El propio Hilbert, basándose en trabajos de Gauss, ya conjeturó la imposibilidad de equicomponer algunos poliedros del mismo volumen. Y en el mismo año 1900, el matemático Max Wilhelm Dehn, nacido en Alemania y alumno de Hilbert, demostró como contraejemplo que el cubo y el tetraedro del mismo volumen no son equicompuestos.

Según el teorema de Dehn en el caso de los poliedros no es equivalente equicomposición y tener el mismo volumen.

Fuera de Euclilandia

Si abandonamos el mundo euclídeo tenemos que, tanto en la geometría hiperbólica como en la esférica en dos dimensiones, para los polígonos sigue siendo equivalente tener la misma área y ser equicompuestos. Pero en ambas geometrías es desconocido qué sucede en tres dimensiones; no se sabe si para los poliedros es equivalente o no, tener el mismo volumen y ser equicompuestos.

"Rompecabezas" de otro tipo

Anteriormente hemos hecho referencia a teoremas y conjeturas, acabaremos mencionando una paradoja, un resultado aparentemente contrario a la lógica pero demostrado de forma totalmente rigurosa. La "Paradoja de Banach-Tarski" establece que en tres dimensiones es posible descomponer una esfera en un número finito de piezas (se ha demostrado que son suficientes 5 y que con 4 es imposible) de forma que utilizando únicamente movimientos rígidos (sin deformar las piezas), pueden ser reensambladas para componer dos copias de la esfera original. De manera informal se suele decir que "Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol".

Las aparentes contradicciones de esta paradoja con nuestra intuición y con los resultados comentados anteriormente no es tal si consideramos que las piezas en las que hay que dividir la esfera "no tienen medida". Las piezas obtenidas en la descomposición tienen una forma tan extraña que no tiene sentido hablar de su volumen.

Además la demostración de la paradoja de Banach-Tarski necesita del axioma de elección por lo que no ofrece una solución constructiva al contrario que la "D*Haus Dynamic" con la que comenzábamos. ;-) 

Para saber más:

• "D*Haus Company"
  - Empresa: http://www.thedhaus.com
  - Arquitectura: http://www.thedhaus.com/architecture
  - D*Haus Dynamic: http://www.thedhaus.com/architecture/dhaus/dynamic
  - Concepto: http://www.thedhaus.com/contact/concept.html
  - Historia: http://www.thedhaus.com/contact/history.html

• Pérez Arribas, Francisco: Triángulos cuadrados y cruces cuadradas: algunos puzzles geométricos de H. E. Dudeney. Revista de Investigación e Innovación Educativa “Pensamiento Matemático” de la Universidad Politécnica de Madrid. Número 2. Abril 2012
  http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_2/juegos_dudeney.pdf

• De Winne, Ivan: Dudeney's puzzle
  - Guía didáctica (en inglés): http://new-twinspace.etwinning.net/c/document_library/get_file?uuid=46edd6a1-2c82-4431-9301-fcf05cd88165&groupId=34128894
  - Construcción GeoGebra: http://www.geogebra.org/material/simple/id/352

• Dudeney, H. E. The Canterbury Puzzles. London: Nelson, 1907. Reprinted Mineola, NY: Dover, 1958.
  - En Project Gutenberg: http://www.gutenberg.org/ebooks/27635
  - En archive.org: https://archive.org/stream/117770747#page/n5/mode/2up

• Cut The knot : Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem: http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Bolyai.shtml

• Macho Stadler, Marta: ¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden
  https://ztfnews.wordpress.com/2012/03/30/puede-una-rana-hacerse-tan-grande-como-un-buey-banach-y-tarski-responden/

• Di Scala,Antonio J.: El Teorema de Dehn
  http://porto.polito.it/1660770/2/N05.pdf

• Boltianski, V.G.: Figuras equivalentes y equicompuestas. Lecciones Populares de matemáticas, Ed. Mir, Moscú 1981.

Esta entrada participa en la Edición 6.X "El grafo" del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas 

¿De qué color es el oso?

¿Cómo saber el color de un oso a partir de datos matemáticos?

George Polya - math.info

"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo."

Así comienza uno de los libros más influyentes de Matemáticas: "Cómo plantear y resolver problemas", publicado en 1945 en la Universidad de Princeton por el matemático húngaro George Polya (1887-1985).

Siguiendo las recomendaciones de Polya, comenzaremos con un reto de los clásicos para reactivar la mente después del verano.

Nike y Adidas - Oso solidario

Partiendo de un punto P, un oso camina un kilómetro al sur. Cambia entonces de dirección y recorre un kilómetro al este. Después, girando de nuevo a la izquierda, recorre un kilómetro hacia el norte para llegar exactamente al punto de partida P. ¿De qué color es el oso?

Para ver algunas sugerencias que quizá te sirvan de ayuda haz clic aquí ▼▲

Sugerencias

¿Cuál es la incógnita? El color del oso. Pero, ¿como se puede encontrar el color de un oso a partir de datos matemáticos? ¿Cuál es el dato? Una situación geométrica que parece contradictoria a sí misma: después de recorrer tres kilómetros de la manera descrita, ¿cómo puede el oso regresar al punto de partida?

Hay que dar por supuesto que la pregunta está idealizada y considerar la Tierra como exactamente esférica y al oso como un punto material móvil. Dicho punto describirá un arco de meridiano al desplazarse hacia el sur o hacia el norte, y un arco de paralelo al desplazarse hacia el este.

Esta construcción GeoGebra puede ayudarte a razonar y hacer pruebas.  Haz clic aquí para acceder a ella, o aquí para descargarla.

Para ver una solución haz clic aquí ▼▲

Una solución

Hay que distinguir dos casos:

Vamos a considerar en primer lugar que el oso sale de un punto P caminando 1 km hacia el sur a través de un meridiano, camina 1 km hacia el este a través de un paralelo y retorna al punto de partida P caminando 1 km hacia el norte a través de un meridiano distinto al de salida.

El punto P es un punto de la Tierra en el que se juntan, al menos, dos meridianos. Los únicos puntos de la Tierra donde confluyen meridianos son el Polo Norte y el Polo Sur. El Polo Sur queda descartado porque el oso comenzó caminando hacia el Sur y en el Polo Sur ya no se puede ir más al sur.

El Polo Norte sí cumple las condiciones del problema y por tanto se trata de un oso polar y su color es blanco. ¡Ya tenemos una solución!

¿Habrá más soluciones? Explora esta posibilidad y trata de encontrar alguna otra.

Para ver más soluciones haz clic aquí ▼▲

Más soluciones

En segundo lugar vamos a considerar que el oso sale de un punto P caminando 1 km hacia el sur a través de un meridiano, camina 1 km hacia el este a través de un paralelo y retorna al punto de partida P caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida.

Debemos tener en cuenta que todos los meridianos tienen la misma longitud, son circunferencias sobre la Tierra del mayor tamaño posible. Pero no sucede lo mismo con los paralelos. El Ecuador es el del mayor de todos (tiene la misma longitud que los meridianos), pero a medida que vamos considerando paralelos al Ecuador hacia el Norte o hacia el Sur, sus longitudes van disminuyendo hasta llegar a los polos donde desaparecen y su longitud se hace cero.

Si, por ejemplo, el oso al desplazarse hacia el este recorre un paralelo completo, volverá al punto de partida caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida. En este caso, el punto P no es el Polo Norte sino un punto de un paralelo muy cercano al Polo Sur. ¡Ya tenemos una segunda solución! En realidad tenemos infinitas soluciones más: los puntos situados sobre un paralelo cercano al Polo Sur que está 1 km al norte de un paralelo que mide 1 km.

Enseguida nos daremos cuenta que si el oso al desplazarse hacia el este da 2 vueltas completas en un paralelo, también volverá al punto de partida caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida. Y lo mismo si da 3, 4, 5, ... vueltas. Ya tenemos ¡infinitas! soluciones más: los puntos situados sobre paralelos que están 1 km al norte de un paralelo que mide 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... km. Todos ellos son puntos cercanos al Polo Sur.

Podríamos argumentar que en el Polo Sur no hay osos, ni en el Polo Norte pinguinos ;-) y descartar todas estas soluciones cercanas al Polo Sur.

Por cierto, ¿podrías justificar por qué no son solución los puntos cercanos al Polo Norte situados sobre paralelos que están 1 km al norte de un paralelo que mide 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... km?

En cualquier caso no debemos olvidar que, como menciona Polya, con los datos iniciales no podemos demostrar que el oso es blanco.

Método de Pólya para resolver problemas matemáticos

Para resolver un problema se necesita:

Fase 1: Comprender el problema

• ¿Cuáles son las incógnitas?, ¿Cuáles son los datos?
• ¿Cuáles son las condiciones? ¿Son suficientes para determinar las incógnitas? ¿Insuficientes? ¿Redundantes? ¿Contradictorias? 

Fase 2: Concebir un plan

Encontrar la conexión entre los datos y las incógnitas. Es posible que tengas que tener en cuenta problemas auxiliares.

• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
• ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
• Has encontrado un problema ya resuelto relacionado con el tuyo. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
• ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.
• Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera solo una parte de las condiciones; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
• ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado todas las condiciones? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Fase 3: Ejecutar el plan

• Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos
• ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Fase 4: Examinar la solución obtenida

• ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes verificar el razonamiento?
• ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema? 

Para saber más:

• Este reto es un clásico recogido y citado ampliamente bajo diferentes formulaciones.
• Ha sido utilizado frecuentemente en las entrevistas de selección de personal de Microsoft. Son numerosas las referencias sobre ello en internet.
• Polya también lo propone en "Cómo plantear y resolver problemas".
• En el sitio web del profesor Guillermo Verger de Universidad Nacional de Rosario, Argentina, puedes descargarte "Cómo plantear y resolver problemas" en su traducción al castellano.
• Y en el sitio web de la profesora Helga Ingimundardottir de la Universidad de Islandia (University of Iceland) en Reykjavik, ¡cerca del Polo Norte!, su versión original en inglés "How to solve It".
• El método de Polya fue adaptado por Simon Thompson para resolver problemas de programación en "How to program it".

Sorpresa en el estante de las botellas de vino

Figura 1

¿En alguna ocasión has tenido que ordenar botellas de vino en un estante que no estaba pensado para ello?. Si es así seguro que recordarás el equilibrio inestable en que quedan las botellas y como al mover una se desplazan también las demás.

El problema aquí planteado destaca un sorprendente descubrimiento en ese aparente caos.

Se trata de colocar en un estante una colección de botellas de vino todas del mismo diámetro. El estante de base horizontal y laterales verticales tiene anchura suficiente para colocar 3 botellas quedando espacio entre ellas, pero insuficiente para colocar 4. 

La Figura 1 muestra una posible disposición de las botellas en el estante. Las botellas de los extremos de la primera fila C₁₁ y C₁₃ se apoyan en los laterales del estante, la del medio C₁₂ se mantiene entre ellas. La segunda fila está formada por dos botellas C₂₁ y C₂₂ que mantienen a la botella central de la primera fila C₁₂ entre C₁₁ y C₁₃. La fila tercera está compuesta por tres botellas C₃₁, C₃₂ y C₃₃, las de los extremos apoyadas en los laterales del estante. En la cuarta fila hay dos botellas C₄₁ y C₄₂.

Si la botella central de la primera fila C₁₂ no está separada a la misma distancia de las de los extremos C₁₁ y C₁₃, las botellas de la segunda fila no estarán alineadas en el mismo plano horizontal. Tampoco las de la tercera ni las de la cuarta filas.

¿Puedes demostrar que cualquiera que sea el espacio entre las botellas de la primera fila, las tres botellas de la quinta fila siempre están alineadas de forma perfectamente horizontal?.

Si quieres ver una construcción GeoGebra que quizá te sirva de ayuda haz clic aquí.

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Ayuda

Esta construcción realizada con GeoGebra permite experimentar con el problema para comprenderlo mejor.

El primer deslizador permite cambiar la anchura del estante. La botella C₁₂ se puede desplazar horizontalmente directamente o con la ayuda del deslizador.  Al activar la casilla de control se muestran más pistas que pueden facilitar una demostración geométrica.

Para descargar el archivo GeoGebra (.ggb) desde GeoGebraTube pincha aquí.

Para ver una demostración haz clic aquí.

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Demostración

La demostración que exponemos a continuación basada en consideraciones geométricas es obra de Hung Dinh y aparece en el libro "Mathematical Diamonds" de Ross Honsbergerse.

Figura 2

En la Figura 2, podemos ver que el segmento C₅₁C₃₁ es vertical y necesitamos demostrar que el ángulo ∠C₃₁C₅₁C₅₂ = 90º.

La distancia entre los centros de dos botellas que se tocan una a otra (tangentes) es igual al diámetro de una botella. Por lo tanto C₄₁ equidista de C₃₁, C₅₁ y C₅₂, por lo que resulta ser el circuncentro del triángulo ΔC₃₁C₅₁C₅₂. Si C₄₁ se encuentra sobre C₃₁C₅₂, entonces C₃₁C₅₂ sería el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo ΔC₃₁C₅₁C₅₂, y por lo tanto el ángulo ∠C₃₁C₅₁C₅₂ será recto como deseábamos. Sólo queda demostrar que C₄₁ se encuentra sobre C₃₁C₅₂.

En el lado opuesto de la figura, sabemos que el triángulo ΔC₁₂C₁₃C₃₃ es recto en C₁₃, y que C₂₂ es su circuncentro, y por lo tanto C₂₂ es el punto medio del segmento C₁₂C₃₃.

Como todos los lados son de longitud igual al diámetro de una botella, los cuatro cuadriláteros en torno al punto C₃₂ son rombos y por lo tanto paralelogramos, y así los lados opuestos u, v y w son paralelos. De igual forma, los lados opuestos x, y, y z son paralelos. Por lo tanto u, y x, y por consiguiente C₃₁C₄₁ C₄₁C₅₂, son paralelos a la dirección C₁₂C₂₂C₃₃, como buscamos.

De igual forma el triángulo ΔC₅₂C₅₃C₃₃ es recto y llegamos a la conclusión deseada.

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Más información:

La caja de bolas

La propiedad en la que se basa este problema fue descubierta por Charles Payan del "Laboratoire de Structures Discrétes et de Didactique" de Francia, uno de los creadores del software CABRI Géomètre, una herramienta destinada a la enseñanza y aprendizaje de la geometría por manipulación dinámica.

Ch. Payan propone un problema semejante como "La caisse de boules" en "Cabriole", la revista de los usuarios de CABRI, en la página 3 del nº 3 en febrero de 1993. Payan, sitúa 4 círculos en el primer nivel y pide demostrar que en el nivel 7=4*2-1 los círculos están alineados horizontalmente, proponiendo para ello demostrar que los círculos del séptimo nivel son los homólogos por simetría central de los del primer nivel.

La demostración aparece en la página 5 del nº 4 de "Cabriole" en mayo de 1993. En ella  el autor menciona una generalización a un mayor número de bolas y a una caja con lados laterales paralelos pero oblicuos.

Trece botellas de vino

Este reto aparece como "Thirteen Bottles of Wine" el número 44 de la interesante colección de problemas elementales "Which Way Did the Bicycle Go? ... and Other Intriguing Mathematical Mysteries" publicada por Joe Konhauser, Dan Velleman y Stan Wagon, editada en 1996 por la Mathematical Association of America (MAA) como volume 18 de su "Dolciani Series". El libro contiene una selección de los mejores desafíos propuestos a lo largo de 25 años como el "problema de la semana" del Macalester College.

El estante del vino

Ron Honsberger, autor de varias colecciones de problemas con mucho éxito editorial, comienza con este mismo reto al que da el título de "The remarkable Wine-Rack property" su "Mathematical Diamonds" editada en 1996 por la Mathematical Association of America (MAA) como volumen 36 de su "Dolciani Series".

Este problema traducido al castellano como "La caja de botellas de vino" aparece en abril de 2011 en la sección "Juegos Matemáticos" del número 0 de la muy interesante revista "Pensamiento Matemático", publicación electrónica del "Grupo de Innovación Educativa" de la Universidad Politécnica de Madrid.
 

Teorema de los círculos apilados

En octubre de 2003 el canadiense Adam Brow publica un resultado intermedio ya demostrado por Charles Payan como "A Circle-Stacking Theorem" en MAA Mathematics Magazine 76, Nº 4, pág 301

Generalizaciones y applets de Java

Alexander Bogomolny en su "Kut the Knot", recomendable espacio dedicado a las Matemáticas interactivas y a los desafíos, dedica algunos artículos a variaciones y generalizaciones de este problema, en los que incluye aplicaciones interactivas para manipular y experimentar:

• Bottles in a Wine Rack: Tres botellas en la primera fila.
• More Bottles in a Wine Rack: Más de tres botellas en la primera fila.
• Bottles in a Slanted Rack: Número variable de botellas en un estante inclinado con laterales paralelos.
• A Circle-Stacking Theorem: Círculos apilados.
• Bottles in a Wine Rack: Proofs and Generalizations: Más de tres botellas en la primera fila. Estantes con los laterales inclinados no necesariamente en el mismo ángulo.