A partir del desafío
matemático “Un piano gigantesco”
presentado por José Garay de Pablo, catedrático jubilado de Matemáticas de la
Universidad de Zaragoza y publicado por “El
País” hemos elaborado esta
actividad para desarrollar el
pensamiento matemático y trabajar la resolución de problemas con contenidos de sucesiones y progresiones.
Sabemos que al pulsar
las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete
notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el
piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la
escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número
limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un
teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos solo las teclas blancas.
Primero pulsamos el
primer Do que tenemos por la
izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un
Re. Luego saltamos una tecla (Mi) y
tocamos el Fa. Ahora saltamos dos
teclas (Sol y La) y tocamos el Si.
Seguidamente saltamos tres teclas (Do, Re y Mi) y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y
continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior.
Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos
supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1.- ¿Cuántas teclas
habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2.- ¿Habrá alguna
nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si
acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas,
hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que
entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro
imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000.
Relacionando nuestro piano con las sucesiones y
progresiones
Supongamos que todas
las teclas de nuestro gigapiano están numeradas, tanto las que tocamos como
las que no. El primer Do (que tocamos) es la tecla 1, la siguiente, un Re (que
también tocamos) es la 2, la siguiente, un Mi (que no tocamos) es la 3, y así
sucesivamente:
Considerando la
sucesión de los números de las teclas que vamos tocando:
3.- ¿Qué número tiene
la séptima tecla que pulsamos?
4.- ¿Y la octava?¿Y
la que tocamos en decimocuarto lugar?
5.- Escribe una
relación de recurrencia entre dos términos consecutivos de la sucesión (tn
y tn-1)
6.- Escribe la
expresión del término general de la sucesión (tn)
7.- ¿Cuántas teclas
debe tener, como mínimo, el piano?
“Como todo el mundo sabe” una de las características de un sonido es su frecuencia (de oscilación de la onda que
lo provoca), que en música se denomina altura.
Cada nota musical tiene su altura que la identifica como más grave (menor
frecuencia) o más aguda (mayor frecuencia). Como mencionamos anteriormente, al
pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las
siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re… aumentando
la frecuencia de las notas. La frecuencia del segundo Do es el doble que la
frecuencia del primer Do. En realidad se sigue una regla más general, la
frecuencia de una nota cualquiera es el doble de la frecuencia de la anterior
nota con el mismo nombre.
La primera tecla que
tocamos en nuestro gigapiano, el primer Do que tenemos por la izquierda, tiene
una frecuencia de 32,7032 Hz.
8.- ¿Cuál es la
frecuencia del segundo Do que pulsamos?
9.- ¿Y la del tercero
(tercer Do que pulsamos)?
10.- ¿Y la del último
Do que pulsamos?
Reformulado el problema
Nuestro dilema
musical convertido en una cuestión amorosa:
El desesperado matemático
Desiderio, incapaz de poner fin a su relación con la inaccesible y deseada
Euterpe, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le
hace. La visita un lunes. Tras (casi) un día sin verla, la visita el martes.
Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo.
Tras cuatro más, la visita el jueves, y así sucesivamente. Finalmente llega a
visitarla en 7.000 ocasiones.
1.- ¿Cuántas veces la
habrá visitado en lunes?
2.- ¿Habrá algún día
de la semana en que no la haya visitado?
Descarga de documentos de la actividad:
- Puedes descargar esta actividad en formato PDF aquí, y en formato DOC aquí.
- Puedes descargar un programa "Octave" que genera un archivo con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.
- Puedes descargar el archivo generado por el anterior programa "Octave" con los términos de las sucesiones de las teclas pulsadas y las notas correspondientes aquí.
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