Sobre disección y equicomposición de figuras
Ponerse a hacer reformas en casa es algo aterrador; nunca se sabe hasta dónde llegarán ni cómo acabarán. Por otro lado, llega a ser tedioso ver la casa siempre igual. La casa "D*Haus Dynamic", diseñada por el estudio londinense de arquitectos "D*Haus Company" puede ser una opción. En realidad va mucho más allá.
Esta casa "ecológica, versátil y adaptable" está diseñada para cambiar según las condiciones ambientales. Los gruesos muros externos y las pequeñas ventanas se convierten en paredes internas, a la vez que las paredes interiores de vidrio pasan a ser las fachadas. Las puertas se convierten en ventanas y viceversa.
Según sus diseñadores "para la época de invierno, la casa en forma cuadrada, con pequeñas ventanas y gruesas paredes, se abraza a sí misma. Para tiempo más cálido, la casa se abre como una flor para permitir que la luz y el aire penetren en el interior del edificio y ofrecer completas vistas panorámicas de los alrededores".
"D*Haus Company" es una firma innovadora que aplica de forma muy original la Geometría al mundo de la Arquitectura y del Diseño, siendo un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático. Además de la "casa dinámica" "D*Haus" ha diseñado también mesas y sistemas de iluminación basándose en la misma disección geométrica.
Curiosamente, aunque las creaciones de D*Haus Company responden al estilo de vida más moderno, son la culminación de una historia que comienza hace más de un siglo.
El acertijo del mercero
Henry Ernest Dudeney (1857-1930) fue un creador inglés de ingeniosos retos y acertijos matemáticos, publicados en las revistas británicas más populares de la época y recopilados posteriormente en distintos libros. Funcionario de la Corona Británica, aunque no fue un matemático profesional sí alcanzó cierta formación matemática y, sobre todo, estuvo dotado de una gran intuición geométrica.
En 1902, Henry Dudeney publicó en el periódico semanal "Weekly Dispatch" un rompecabezas que planteaba un enigma desconcertante: cómo dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas para que recolocadas formaran un cuadrado. En 1905 Dudeney realizo sendas presentaciones del problema ante las prestigiosas sociedades científicas "Royal Society" y "Royal Institution" de Londres. El mismo año fue publicado como desafío en el diario de gran difusión "Daily Mail" y según relata el propio Dudeney, después de recibir cientos de posibles soluciones no hubo ninguna correcta.
El reto fue incluido bajo el título "El acertijo del mercero" ("The Haberdasher's Puzzle") como problema número 26 en la recopilación "Los acertijos de Canterbury" ("The Canterbury Puzzles"), libro publicado por Dudeney en 1907, que narra la historia de un grupo de peregrinos con destino al santuario de San Thomas Becket en Canterbury. Los peregrinos se proponen unos a otros rompecabezas para entretenerse durante el camino.
"El mercero se resistía a satisfacer las demandas de los peregrinos para que propusiera un acertijo.
Tanto le insistieron... que al final se decidió, pidiendo que se le diera un paño en el que recortó un triángulo equilátero perfecto.
Luego, mostrándolo a los demás dijo:
"¿Es alguno de vosotros tan diestro en el corte de género como yo? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, aunque el estudioso puede aprender del lacayo y el sabio del necio. Mostradme, pues, una manera de cortar este trozo de género en cuatro piezas de manera que puedan reunirse formando un cuadrado perfecto".
Tras varios intentos, los más avezados mostraban soluciones cortando en triángulo en ¡cinco piezas! .... pero no en las cuatro que pedía el mercero. Mientras, él los observaba pero permanecía en silencio. Cuando finalmente le pidieron la solución casi recibe una paliza, pues, declaró que la había olvidado.
Al fin, tras varias noches de incertidumbre, el acertijo quedó resuelto".
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Dudeney construyó la solución al acertijo en madera de ébano uniendo las cuatro piezas con bisagras de forma que al girar las piezas con un movimiento de la mano se podía pasar de una figura a la otra. Debido a ello se denomina como "disección de Dudeney" al tipo especial de disección de figuras geométricas en la que todas las piezas están conectadas en una cadena por puntos "bisagra", de tal manera que la transformación de una figura a otra puede llevarse a cabo haciendo pivotar la cadena de forma continua, sin cortar ninguna de las conexiones. En inglés de denominan también "hinged dissections" (hinge puede ser traducido como bisagra, gozne o articulación que gira).
Disección de figuras geométricas
Los rompecabezas consistentes en seccionar figuras en piezas y reensamblarlas para formar otra, como el acertijo del mercero, se han convertido en un clásico entre los divertimentos matemáticos. Son disecciones geométricas. El empleo del método de la disección ha sido fundamental en el cálculo de áreas desde los orígenes de la Geometría y también se utiliza frecuentemente en la enseñanza para justificar las fórmulas de cálculo del área de figuras elementales.
Disecciones 2-D
Dos figuras se dicen equicompuestas si cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede, al disponer estas partes de otra forma, componer con ellas la segunda figura. Claramente, si dos figuras son equicompuestas tienen la misma área. La pregunta recíproca de si dos figuras con la misma área son equicompuestas no tiene una respuesta tan evidente.
El teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien establece que tiene una respuesta afirmativa en el caso de los polígonos: Si dos polígonos tienen igual área uno de ellos se puede dividir en partes de forma que es posible componer el segundo trasladando y rotando las piezas obtenidas en la disección. Polígono quiere decir, en este contexto, una figura limitada por un número finito de líneas quebradas formadas por un número finito de segmentos rectilíneos. Puede tener "agujeros". Lo importante es que sea posible dividir la figura en un número finito de triángulos.
La atribución de la autoría original de la demostración es una historia enrevesada. El matemático húngaro Farkas Bolyai demostró el anterior teorema en 1832 y el militar alemán aficionado a las Matemáticas P. Gerwien dio una demostración en 1833 sin tener conocimiento de la de Bolyai. Hay indicios de que el matemático escocés William Wallace ya había dado una demostración en 1807.
Según el teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien en el caso de los polígonos es equivalente equicomposición y tener la misma área.
Disecciones 3-D
Si damos el salto de dimensión 2 a dimensión 3 nos preguntaremos si con los poliedros pasa algo análogo.
Dos poliedros se dicen equicompuestos si al cortar de cierto modo uno de ellos en un número finito de piezas poliédricas, se puede, al disponer estas piezas de otra forma, componer con ellas el segundo. De forma semejante al caso de los polígonos, claramente, si dos poliedros son equicompuestos tiene el mismo volumen.
En este caso la pregunta recíproca de si dos poliedros con el mismo volumen son siempre equicompuestos tiene respuesta negativa.
Se trata de un problema difícil; el tercero en la famosa colección de 23 problemas compilados por Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 con el objeto de estimular la investigación matemática durante el nuevo siglo. El propio Hilbert, basándose en trabajos de Gauss, ya conjeturó la imposibilidad de equicomponer algunos poliedros del mismo volumen. Y en el mismo año 1900, el matemático Max Wilhelm Dehn, nacido en Alemania y alumno de Hilbert, demostró como contraejemplo que el cubo y el tetraedro del mismo volumen no son equicompuestos.
Según el teorema de Dehn en el caso de los poliedros no es equivalente equicomposición y tener el mismo volumen.
Fuera de Euclilandia
Si abandonamos el mundo euclídeo tenemos que, tanto en la geometría hiperbólica como en la esférica en dos dimensiones, para los polígonos sigue siendo equivalente tener la misma área y ser equicompuestos. Pero en ambas geometrías es desconocido qué sucede en tres dimensiones; no se sabe si para los poliedros es equivalente o no, tener el mismo volumen y ser equicompuestos.
"Rompecabezas" de otro tipo
Anteriormente hemos hecho referencia a teoremas y conjeturas, acabaremos mencionando una paradoja, un resultado aparentemente contrario a la lógica pero demostrado de forma totalmente rigurosa. La "Paradoja de Banach-Tarski" establece que en tres dimensiones es posible descomponer una esfera en un número finito de piezas (se ha demostrado que son suficientes 5 y que con 4 es imposible) de forma que utilizando únicamente movimientos rígidos (sin deformar las piezas), pueden ser reensambladas para componer dos copias de la esfera original. De manera informal se suele decir que "Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol".
Las aparentes contradicciones de esta paradoja con nuestra intuición y con los resultados comentados anteriormente no es tal si consideramos que las piezas en las que hay que dividir la esfera "no tienen medida". Las piezas obtenidas en la descomposición tienen una forma tan extraña que no tiene sentido hablar de su volumen.
Además la demostración de la paradoja de Banach-Tarski necesita del axioma de elección por lo que no ofrece una solución constructiva al contrario que la "D*Haus Dynamic" con la que comenzábamos. ;-)
