En Haro, Capital del vino de Rioja, junto al torreón de la muralla medieval se halla la figura de un vinatero que rinde homenaje a tal oficio tan habitual por esas tierras.
El repartidor de vino de la escultura aparece rodeado de tres garrafones de 8, 5 y 3 litros de capacidad. El mayor de los garrafones está lleno de vino que el vinatero quiere repartir entre dos personas a partes iguales. Los otros dos garrafones están vacíos.
El repartidor de vino de la escultura aparece rodeado de tres garrafones de 8, 5 y 3 litros de capacidad. El mayor de los garrafones está lleno de vino que el vinatero quiere repartir entre dos personas a partes iguales. Los otros dos garrafones están vacíos.
Es un hombre curioso y se pregunta si podrá hacer el reparto utilizando únicamente los tres garrafones.
Después de pensar un rato está seguro de poder hacerlo. Trasvasando vino 8 veces de un garrafón a otro, puede llegar a dejar 4 litros de vino en el de 8 litros y otros 4 en el de 5.
¿Se te ocurre cómo hacerlo?
¿Será posible conseguir el mismo reparto haciendo sólo 7 trasvases?
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.
Soluciones
¿Se te ocurre cómo hacerlo?
¿Será posible conseguir el mismo reparto haciendo sólo 7 trasvases?
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.
Soluciones
Para ver una solución en 8 trasvases haz clic aquí.
Haz clic aquí para ver la respuesta completa y saber algo más sobre este desafío.
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Solución en 8 trasvases
| Garrafón de 8 litros |
Garrafón de 5 litros |
Garrafón de 3 litros |
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| Inicio | 8 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 3 | |
| 5 | 3 | 0 | |
| 2 | 3 | 3 | |
| 2 | 5 | 1 | |
| 7 | 0 | 1 | |
| 7 | 1 | 0 | |
| 4 | 1 | 3 | |
| Final | 4 | 4 | 0 |
Solución en 7 trasvases
| Garrafón de 8 litros |
Garrafón de 5 litros |
Garrafón de 3 litros |
|
| Inicio | 8 | 0 | 0 |
| 3 | 5 | 0 | |
| 3 | 2 | 3 | |
| 6 | 2 | 0 | |
| 6 | 0 | 2 | |
| 1 | 5 | 2 | |
| 1 | 4 | 3 | |
| Final | 4 | 4 | 0 |
Referencias históricas
Este problema así planteado es una recreación de uno clásico que aparece en numerosas publicaciones desde el siglo XVI.
El italiano Gerónimo Cardano en su "Práctica de la Aritmética y de las mediciones individuales" publicado en 1539 ("Practica arithmetica et mensurandi singulares", cap. 66, probl. 33, fol. 192v) propone el problema equivalente del reparto en partes iguales de un frasco que contiene 8 onzas de bálsamo utilizando otros dos frascos vacíos de 5 y 3 onzas.
Cardano da una solución realizando 7 trasvases. Es la que hemos reproducido anteriormente.
El también italiano Nicolás Tartaglia en su "Tratado General de los números y las medidas" publicado en 1556 ("General trattato di numeri et misure", Primera parte, libro XVI, art. 132, fol. 255v) propone un problema semejante, pero enunciado en términos menos políticamente correctos, sobre el reparto por 2 ladrones de un frasco robado que contiene 8 onzas de bálsamo.
Tartaglia utiliza ocho trasvases en su solución que también hemos reproducido más arriba.
El español Juan Pérez de Moya en el libro noveno de su "Arithmetica practica, y speculativa" publicada por primerra vez en 1562 propone un problema equivalente en términos de reparto de 8 arrobas de vino:
(...) dos caminantes llevaban ocho arrobas de vino, y en el camino determinaron deshacer la compañía, y de apartarse cada uno por su cabo: y habiendo de partir por mitad el vino, hallaron que no tenían sino dos medidas. La una cabía tres arrobas y la otra cinco. Pídese, ¿cómo partirán con estas dos medidas diferentes el vino, para que cada uno lleve cuatro arrobas que le vienen de su parte?Pérez de Moya da la misma solución que Tartaglia.
En el cine
En la película "La Jungla de Cristal III - La venganza" aparece este problema debidamente simplificado para adecuarlo a una película americana de acción. En ella los protagonistas, para evitar la explosión de una bomba, deben conseguir medir 4 galones del agua de una fuente usando dos garrafas de 5 y 3 galones.
El dúo cómico español "Cruz y Raya" hizo una parodia de esa escena fiel a su estilo.
El dúo cómico español "Cruz y Raya" hizo una parodia de esa escena fiel a su estilo.
Haz clic aquí para saber algo más sobre este desafío.
Un poco de perspicacia matemática
Este sencillo problema recreativo esconde mucha más riqueza que la que se aprecia en un primer vistazo y además de para pasar un rato entretenido ejercitando la mente puede servir para ilustrar y poner en práctica algunas ideas matemáticas interesantes.
Seguro que la primera forma en la que tratamos de resolver este desafío es tanteando distintas posibilidades y que tras más o menos intentos llegamos a las soluciones en ocho y en siete pasos. Si a continuación nos preguntamos si existen otras soluciones distintas o si es posible encontrar soluciones realizando menos trasvases, tendremos que dedicarle algo más de tiempo y utilizar alguna técnica que nos permita conocer más en profundidad el problema.
Notación
Este sencillo problema recreativo esconde mucha más riqueza que la que se aprecia en un primer vistazo y además de para pasar un rato entretenido ejercitando la mente puede servir para ilustrar y poner en práctica algunas ideas matemáticas interesantes.
Seguro que la primera forma en la que tratamos de resolver este desafío es tanteando distintas posibilidades y que tras más o menos intentos llegamos a las soluciones en ocho y en siete pasos. Si a continuación nos preguntamos si existen otras soluciones distintas o si es posible encontrar soluciones realizando menos trasvases, tendremos que dedicarle algo más de tiempo y utilizar alguna técnica que nos permita conocer más en profundidad el problema.
Notación
Comenzaremos por elegir cómo vamos a escribir la forma en la que el vino está distribuido en los garrafones. Una posibilidad es elegir 3 números en orden de manera que se correspondan con los litros de vino que hay en el garrafón de 8, 5 y 3 l. respectivamente y escribirlo en la forma (x, y, z).
Cada trasvase de vino hace que una distribución se transforme en otra distinta por lo que podemos escribirlo como una conexión entre esas dos distribuciones. Por ejemplo: (8,0,0) -> (5,0,3) para reflejar que tomamos el garrafón de 8 l. que está lleno y pasamos vino al garrafón de 3 l. hasta que se llene.
"Fuerza bruta", explorando todos los trasvases posibles.
Cada trasvase de vino hace que una distribución se transforme en otra distinta por lo que podemos escribirlo como una conexión entre esas dos distribuciones. Por ejemplo: (8,0,0) -> (5,0,3) para reflejar que tomamos el garrafón de 8 l. que está lleno y pasamos vino al garrafón de 3 l. hasta que se llene.
"Fuerza bruta", explorando todos los trasvases posibles.
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| Fig. 1 - Elaborada utilizando "Grafos" - Hacer click en la imagen para ampliarla. |
Siendo metódicos y con paciencia llegaremos a tener un esquema en forma de árbol donde aparezcan las distintas distribuciones que se van consiguiendo y las conexiones entre ellas. Algo parecido al de la figura, donde se han dibujado todos los trasvases que se pueden realizar salvo los que "vuelven para atras" ya que nos interesa hacer el menor número posible de trasvases y así el gráfico queda más claro.
En rosa la situación de partida: (8,0,0), 8 l. en el garrafón grande y los otros dos vacíos. En magenta el objetivo: (4,4,0), el garrafón de 3 l. vacío y 4 l. de vino en cada uno de los otros dos garrafones.
El esquema anterior nos permite ver que básicamente hay dos soluciones. Una en 7 trasvases que es la publicada por Cardano y otra en 8, publicada por Tartaglia. Todas las demás contienen algún bucle que alarga las anteriores.
Lo anterior nos permite asegurar que:
- Si dos personas distintas llegan a una solución en 8 trasvases, esa solución va a ser la misma.
- Lo mismo para 7 trasvases.
- Son necesarios al menos 7 trasvases, no se puede conseguir ni en 6 ni en menos, por lo que la de 7 es la solución óptima.
Con un poco más de agudeza matemática nos daremos cuenta de que por el hecho de coincidir el número de litros a distribuir con los litros que quedan vacíos entre todos los garrafones (8 litros) hay una "autodualidad" en el problema. Cada estado (x,y,z) puede leerse como los litros que tiene cada garrafón o como los que le faltan para completarlo. El mismo esquema sirve para representar el problema en ambos casos cambiando las distribuciones de partida y objetivo.
Un poco de teoría de grafos.
El esquema anterior se corresponde perfectamente con el concepto matemático de grafo donde los nodos son las distribuciones del vino entre los garrafones y los arcos son los trasvases.
Los métodos de optimización de la teoría de grafos, como los algoritmos de cálculo del camino mínimo nos permiten analizar y resolver el problema. En este caso se trata de "matar moscas a cañonazos" pero puede tener interés didáctico como ejemplo de modelización de un problema y de los conceptos elementales de teoría de grafos.
Una buena opción es utilizar el software Grafos, muy fácil de usar, desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos y que se distribuye bajo licencia Creative Commons (by-nc-sa). El grafo de la Fig. 1 ha sido realizado usando dicha herramienta. Hacer click aquí para ver el documento con los resultados del análisis del camino mínimo.
Usando la geometría
Los métodos de optimización de la teoría de grafos, como los algoritmos de cálculo del camino mínimo nos permiten analizar y resolver el problema. En este caso se trata de "matar moscas a cañonazos" pero puede tener interés didáctico como ejemplo de modelización de un problema y de los conceptos elementales de teoría de grafos.
Una buena opción es utilizar el software Grafos, muy fácil de usar, desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos y que se distribuye bajo licencia Creative Commons (by-nc-sa). El grafo de la Fig. 1 ha sido realizado usando dicha herramienta. Hacer click aquí para ver el documento con los resultados del análisis del camino mínimo.
Usando la geometría
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| Fig. 2 - Elaborada utilizando "GeoGebra" - Hacer click en la imagen para ampliarla. |
En seguida nos daremos cuenta de que como la cantidad de vino es siempre 8 l. podemos escribir una distribución del vino en la forma (x, y, 8-(x+y)), lo que nos permite representarla por un punto en un sistema de dos ejes cartesianos. La fig. 2 muestra esa representación. Para facilitar la lectura se ha mantenido el tercer número de cada distribución y se han usado los mismos colores que en el grafo de la fig. 1.
Sobre el eje horizontal están los litros de vino contenidos en el garrafón de 8 l. y en el eje vertical los contenidos en el garrafón de 5 l.
- El tamaño de los dos garrafones grandes nos da las condiciones: 0 ≤ x ≤ 8, 0≤ y ≤ 5.
- Como hay un total de 8 l. para distribuir: x+y ≤ 8
- Como el garrafón pequeño puede tener como mucho 3 l.: 5 ≤ x+y
- Como consecuencia, las distribuciones posibles deben estar en el borde o en el interior del paralelogramo dibujado en verde.
Hay una correspondencia entre los trasvases de vino y los movimientos del punto que representan las distribuciones de vino. Así:
- Pasar vino del garrafón de 8 l al de 3 l. ⇔ Movimiento horizontal de derecha a izquierda.
- Pasar vino del garrafón de 3 l al de 8 l. ⇔ Movimiento horizontal de izquierda a derecha.
- Pasar vino del garrafón de 5 l al de 3 l. ⇔ Movimiento vertical de arriba a abajo.
- Pasar vino del garrafón de 3 l al de 5 l. ⇔ Movimiento vertical de abajo a arriba.
- Pasar vino del garrafón de 8 l al de 5 l. ⇔ Movimiento diagonal de abajo-izquierda a arriba-derecha.
- Pasar vino del garrafón de 5 l al de 8 l. ⇔ Movimiento diagonal de arriba-derecha a abajo-izquierda.
Como los trasvases permitidos obligan a llenar o vaciar al menos uno de los dos garrafones de 5 y 3 l.:
- Todas las distribuciones de vino obtenidas tienen que estar representadas por puntos sobre los bordes del paralelogramo.
- Los vértices de los ángulos agudos del paralelogramo tienen 2 posibilidades de movimiento: al otro extremo de cada uno de los lados que lo definen.
- Los vértices de los ángulos obtusos del paralelogramo tienen 3 posibilidades de movimiento: al otro extremo de cada uno de los lados que lo definen y verticalmente hasta alcanzar otro lado.
- Los puntos que no son vértices tienen 4 posibilidades: a los 2 extremos de su lado y 2 más cambiando de lado.
La estrategia para no hacer trasvases innecesarios se traduce en hacer caminos evitando los bucles que los alarguen. Para ello hay que:
- Elegir una de las dos posibles salidas desde (8,0,0), hacia (3,5,0) o (5,0,3).
- Nunca volver a pasar por un vértice ni deshacer un movimiento volviendo para atrás.
- Ir "rebotando" en los lados.
Al seguirla llegamos a los 2 caminos básicos de 7 y 8 trasvases dibujados en rojo y azul respectivamente.
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| Fig. 3 - Elaborada utilizando "GeoGebra" - Hacer click en la imagen para ampliarla. |
Generalizaciones
Alex Bogomolny, en el árticulo "The Three Jugs Problem" dentro de su sitio web "Cut The Knot!", incluye una generalización del problema estableciendo que si las medidas, siempre números enteros, de los dos garrafones pequeños son primos entre sí y suman la capacidad del grande entonces es posible medir cualquier cantidad entre 0 y la capacidad del garrafón grande. Ofrece dos demostraciones de distinto tipo, una utilizando aritmética modular y otra geométrica introduciendo coordenadas baricéntricas. Amplía el estudio de la utilización de este tipo de coordenadas en "Barycentric coordinates. A Curious Application" donde hace un análisis muy interesante de este problema, contemplando combinaciones de otras capacidades distintas.
Para saber más:
- Cardano y la Matemática recreativa en divulgaMAT
- Cardano: "Practica arithmetica et mensurandi singulares", cap. 66, probl. 33, fol. 192v
- Tartaglia y la Matemática recreativa en divulgaMAT
- Tartaglia: "General trattato di numeri, et misure" Primera parte, libro 16, art. 132, fol. 255v
- Pérez de Moya: "Arithmetica practica, y speculativa" Madrid, Juan Muñoz 1747, fol. 200r 201v
- "La Jungla de Cristal III - La venganza" en "Matemáticas en tu mundo" por José María Sorando Muzás
- "The Three Jugs Problem" por Alex Bogomolny en "Cut The Knot!" Introducción histórica a un problema equivalente con jarras de agua, relacionadolo con Siméon Denis Poisson de quien afirma en "3 Glasses Puzzle" que al resolver este problema decidio dedicarse a las Matemáticas. Incluye una simulación con un applet Java.
- "Grafos" software desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos para la docencia y el aprendizaje de la teoría de grafos. Permite el modelado y resolución de problemas reales de cierto tamaño y complejidad. Se distribuye bajo licencia Creative Commons (by-nc-sa).
Excelente material. Ele será usado como inspiração na produção de material para aulas de resolução de problemas para alunos do ensino médio aqui no Brasil.Como autora de livros didáticos é gratificante encontrar de modo tão fácil e objetivo informações novas sobre um problema tão banalizado em publicações como almanaques e livros de quebra-cabeças.
ResponderEliminarGracias Ignez. Siempre es gratificante saber que lo que uno hace, con mucho agrado por cierto, interesa y es útil a otras personas.
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