viernes, 31 de enero de 2014

Sorpresa en el estante de las botellas de vino


Figura 1
¿En alguna ocasión has tenido que ordenar botellas de vino en un estante que no estaba pensado para ello?. Si es así seguro que recordarás el equilibrio inestable en que quedan las botellas y como al mover una se desplazan también las demás.

El problema aquí planteado destaca un sorprendente descubrimiento en ese aparente caos.

Se trata de colocar en un estante una colección de botellas de vino todas del mismo diámetro. El estante de base horizontal y laterales verticales tiene anchura suficiente para colocar 3 botellas quedando espacio entre ellas, pero insuficiente para colocar 4. 

La Figura 1 muestra una posible disposición de las botellas en el estante. Las botellas de los extremos de la primera fila C11 y C13 se apoyan en los laterales del estante, la del medio C12 se mantiene entre ellas. La segunda fila está formada por dos botellas C21 y C22 que mantienen a la botella central de la primera fila C12 entre C11 y C13. La fila tercera está compuesta por tres botellas C31, C32 y C33, las de los extremos apoyadas en los laterales del estante. En la cuarta fila hay dos botellas C41 y C42.

Si la botella central de la primera fila C12 no está separada a la misma distancia de las de los extremos C11 y C13, las botellas de la segunda fila no estarán alineadas en el mismo plano horizontal. Tampoco las de la tercera ni las de la cuarta filas.

¿Puedes demostrar que cualquiera que sea el espacio entre las botellas de la primera fila, las tres botellas de la quinta fila siempre están alineadas de forma perfectamente horizontal?.

Si quieres ver una construcción GeoGebra que quizá te sirva de ayuda haz clic aquí.

Haz clic aquí para ver la ver una demostración y saber algo más sobre este desafío.

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