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| Figura 1 |
¿En alguna ocasión has tenido que ordenar botellas de vino en un estante que no estaba pensado para ello?. Si es así seguro que recordarás el equilibrio inestable en que quedan las botellas y como al mover una se desplazan también las demás.
El problema aquí planteado destaca un sorprendente descubrimiento en ese aparente caos.
Se trata de colocar en un estante una colección de botellas de vino todas del mismo diámetro. El estante de base horizontal y laterales verticales tiene anchura suficiente para colocar 3 botellas quedando espacio entre ellas, pero insuficiente para colocar 4.
La Figura 1 muestra una posible disposición de las botellas en el estante. Las botellas de los extremos de la primera fila C11 y C13 se apoyan en los laterales del estante, la del medio C12 se mantiene entre ellas. La segunda fila está formada por dos botellas C21 y C22 que mantienen a la botella central de la primera fila C12 entre C11 y C13. La fila tercera está compuesta por tres botellas C31, C32 y C33, las de los extremos apoyadas en los laterales del estante. En la cuarta fila hay dos botellas C41 y C42.
Si la botella central de la primera fila C12 no está separada a la misma distancia de las de los extremos C11 y C13, las botellas de la segunda fila no estarán alineadas en el mismo plano horizontal. Tampoco las de la tercera ni las de la cuarta filas.
¿Puedes demostrar que cualquiera que sea el espacio entre las botellas de la primera fila, las tres botellas de la quinta fila siempre están alineadas de forma perfectamente horizontal?.
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Ayuda
Esta construcción realizada con GeoGebra permite experimentar con el problema para comprenderlo mejor.
El primer deslizador permite cambiar la anchura del estante. La botella C12 se puede desplazar horizontalmente directamente o con la ayuda del deslizador. Al activar la casilla de control se muestran más pistas que pueden facilitar una demostración geométrica.
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Demostración
La demostración que exponemos a continuación basada en consideraciones geométricas es obra de Hung Dinh y aparece en el libro "Mathematical Diamonds" de Ross Honsbergerse.
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| Figura 2 |
En la Figura 2, podemos ver que el segmento C51C31 es vertical y necesitamos demostrar que el ángulo ∠C31C51C52 = 90º.
La distancia entre los centros de dos botellas que se tocan una a otra (tangentes) es igual al diámetro de una botella. Por lo tanto C41 equidista de C31, C51 y C52, por lo que resulta ser el circuncentro del triángulo ΔC31C51C52. Si C41 se encuentra sobre C31C52, entonces C31C52 sería el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo ΔC31C51C52, y por lo tanto el ángulo ∠C31C51C52 será recto como deseábamos. Sólo queda demostrar que C41 se encuentra sobre C31C52.
En el lado opuesto de la figura, sabemos que el triángulo ΔC12C13C33 es recto en C13, y que C22 es su circuncentro, y por lo tanto C22 es el punto medio del segmento C12C33.
Como todos los lados son de longitud igual al diámetro de una botella, los cuatro cuadriláteros en torno al punto C32 son rombos y por lo tanto paralelogramos, y así los lados opuestos u, v y w son paralelos. De igual forma, los lados opuestos x, y, y z son paralelos. Por lo tanto u, y x, y por consiguiente C31C41 C41C52, son paralelos a la dirección C12C22C33, como buscamos.
De igual forma el triángulo ΔC52C53C33 es recto y llegamos a la conclusión deseada.
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Más información:
La caja de bolas
La propiedad en la que se basa este problema fue descubierta por Charles Payan del "Laboratoire de Structures Discrétes et de Didactique" de Francia, uno de los creadores del software CABRI Géomètre, una herramienta destinada a la enseñanza y aprendizaje de la geometría por manipulación dinámica.
Ch. Payan propone un problema semejante como "La caisse de boules" en "Cabriole", la revista de los usuarios de CABRI, en la página 3 del nº 3 en febrero de 1993. Payan, sitúa 4 círculos en el primer nivel y pide demostrar que en el nivel 7=4*2-1 los círculos están alineados horizontalmente, proponiendo para ello demostrar que los círculos del séptimo nivel son los homólogos por simetría central de los del primer nivel.
La demostración aparece en la página 5 del nº 4 de "Cabriole" en mayo de 1993. En ella el autor menciona una generalización a un mayor número de bolas y a una caja con lados laterales paralelos pero oblicuos.
Trece botellas de vino
Este reto aparece como "Thirteen Bottles of Wine" el número 44 de la interesante colección de problemas elementales "Which Way Did the Bicycle Go? ... and Other Intriguing Mathematical Mysteries" publicada por Joe Konhauser, Dan Velleman y Stan Wagon, editada en 1996 por la Mathematical Association of America (MAA) como volume 18 de su "Dolciani Series". El libro contiene una selección de los mejores desafíos propuestos a lo largo de 25 años como el "problema de la semana" del Macalester College.
El estante del vino
Ron Honsberger, autor de varias colecciones de problemas con mucho éxito editorial, comienza con este mismo reto al que da el título de "The remarkable Wine-Rack property" su "Mathematical Diamonds" editada en 1996 por la Mathematical Association of America (MAA) como volumen 36 de su "Dolciani Series".
Este problema traducido al castellano como "La caja de botellas de vino" aparece en abril de 2011 en la sección "Juegos Matemáticos" del número 0 de la muy interesante revista "Pensamiento Matemático", publicación electrónica del "Grupo de Innovación Educativa" de la Universidad Politécnica de Madrid.
Teorema de los círculos apilados
Generalizaciones y applets de Java
Alexander Bogomolny en su "Kut the Knot", recomendable espacio dedicado a las Matemáticas interactivas y a los desafíos, dedica algunos artículos a variaciones y generalizaciones de este problema, en los que incluye aplicaciones interactivas para manipular y experimentar:
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